44

Тема 3 . Элементы векторной алгебры

3.1.Векторы и операции над ними.

Понятие вектора и простейшие операции над векторами вы изучали еще в школе. Вспомним кратко, что:

• геометрический вектор – это направленный отрезок прямой. Обозначается вектор: а, , , , где А – начало вектора, В – конец; В математике рассматриваются только свободные векторы, т.е. векторы, начало которых выбирают произвольно.

• длиной (модулем) вектора называется расстояние между его началом и концом, обозначается модуль вектора ||, или ||;

• вектор, начало и конец которого совпадают, называется нулевым вектором, обозначается `0 или 0, направление этого вектора не определяется, дина его равна 0;

• вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором или ортом;

• вектор называется противоположным вектору , для вектора противоположный обозначается –.

• два вектора называются равными, если они имеют равные модули и одинаково направлены, записывают: `a =`b .

• н

  Рис.5.1

  енулевые векторы называютколлинеарными, если они лежат на одной или на параллельных прямых, обозначают`а | |`b. Коллинеарные векторы называют сонаправленными, если их направления совпадают, обозначают`а `b, в противном случае векторы противоположно направленные, это обозначают `а `b;

• ортом вектора `а называется вектор `а^о такой, что `а `а^о и =1(рис.1);

• ненулевые векторы называются компланарными, если они лежат в одной или в параллельных плоскостях;

• углом между векторами называется наименьший угол, на который нужно повернуть один из них, чтобы направления этих векторов совпали; обозначают угол между векторами `а и`b символом ;

• векторы называютсяортогональными, если угол между ними равен 90^о; ортогональность векторов `а и`b обозначают `а `b ;

• проекцией вектора а на вектор b называется число .

Линейными операциями над векторами называют сложение векторов и умножение вектора на число.

Суммойвекторов`аи`bназываетсявектор , который можно найти:

а) по правилу треугольника(рис. 2);

б) по правилу параллелограмма(рис.3).

Разностьвекторов `аи`b определяется равенством=+ (–`b), где () – вектор, противоположный векторуb.

Напомним, что в параллелограмме ОАСВ (рис.2) сумма есть вектор-диагональ , исходящая из общего начала О векторов и`b, а разность этих векторов есть другая вектор-диагональ – вектор, направленный из конца вычитаемого вектора к концу уменьшаемого.

Произведением вектора на число a ¹ 0 называется вектор a, модуль которого равен |a|^.||, а направление совпадает с направлением вектора , если a > 0, и противоположно направлению вектора , если a < 0 (рис.4).

Используя операцию умножения и определение орта вектора, а можно записать: = ||^.`а<sup>о</sup> и наоборот, `а^о = .

Справедлива также следующая теорема:

Теорема3.1.

Векторы `а и`b коллинеарны тогда и только тогда, когда существует отличное от нуля число  такое, что = .

Доказательство: 1) если = ,   0, то , по определению произведения вектора на число, `а и`b коллинеарны.

2) Пусть `а и`b коллинеарны. Рассмотрим `а<sup>о</sup> и `b^о, они, очевидно, тоже коллинеарны. Значит, либо `а<sup>о</sup> `b^о, либо `а<sup>о</sup> `b^о и |`а<sup>о</sup>| = |`b^о| = 1. Но тогда либо `а<sup>о</sup> =`b^о, `а<sup>о</sup> = –`b^о, откуда =, или= –. Следовательно, либо, либо, но это и означает, что существует  = такое, что = . ЧТД.

Нетрудно показать, что введенные выше линейные операции обладают свойствами:

1)

2)

3) + (–) =0

4. ( + ) =  + 

5. () = ()

6. ( + ) =  + 

7. 

8.