4.5. Кривые второго порядка.

Если в уравнении F(x, y) = 0 линии на плоскости функция F(x, y) есть многочлен некоторой степени от двух переменных, то такая линия называется алгебраической, степень многочлена называется порядком кривой. Например, прямая – алгебраическая линия первого порядка (независимо от системы координат). Рассмотрим линии второго порядка.

Определение 4.3.

Эллипсомназывается геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний которых до двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.

Найдем уравнение эллипса. Для этого возьмем систему координат так, чтобы начало координат располагалось по середине между фокусами, ось ОХ проходила через фокусы. Пусть расстояние между фокусами F₁ и F₂ равно 2с, а сумма расстояний от точки М(х, у) эллипса до фокусов равна 2а: r₁ + r₂ = 2a, 2a > 2с.

Тогда фокусы имеют координаты F₁(с, 0) и F₂(–с, 0), расстояния до фокусов равны соответственно

r₁ = , r₂ = .

Отсюда находим уравнение эллипса

+ = 2а

Упрощая уравнение, получим

Полагая здесь а² – с² = b², получим уравнение эллипса

, (18)

которое называется каноническим уравнением эллипса.

Исследуем форму эллипса, используя это уравнение.

1. Нетрудно видеть, что если точка (х, у) принадлежит эллипсу, то ему принадлежат и точки (–х, у), (х, –у) , (–х, –у), т.е. эллипс симметричен относительно осей координат и относительно начала координат.

2. Запишем уравнение (1) в виде откуда следует, чтох[–a; a], y [–b, b].

3. В силу симметрии достаточно изучить характер линии при х[0; a].

Когда х растет от 0 до а, убывает от b до 0, т.к. у = < 0 для всехх[0, a). Кроме того, кривая выпуклая: у = < 0 прих[0, a).

Учитывая эти исследования, построим график функции при х[0, a] и отразим его симметрично относительно осей координат и начала координат.

Точки А, В, С, D пересечения эллипса с осями координат называются вершинами эллипса, точка О называется центром эллипса, отрезок АО = ОС = а называется большой полуосью, а ОВ = OD = b – малой полуосью эллипса, расстояния r₁ и r₂ от точки эллипса до фокусов называются фокальными радиусами.

Если бы мы расположили фокусы эллипса на оси ОУ, уравнение эллипса имело бы точно такой же вид, как и уравнение (1), только большой полуосью следовало бы считать b. В дальнейшем, договоримся, что большая полуось соответствует оси, на которой лежат фокусы эллипса, и наоборот, из уравнения эллипса по большему параметру а или b можно определить, на какой оси координат лежат фокусы эллипса.

На практике по заданному каноническому уравнению построить эллипс можно так: от начала координат влево и вправо по оси ОХ отложить отрезки длиной а, а по оси ОУ вверх и вниз – отрезки длины b. Через полученные точки-вершины провести правильный овал.

Если а = b = , тос = 0, фокусы эллипса сливаются в одну точку – начало координат – и эллипс вырождается в окружность

х² +у² = а²

с центром в начале координат и радиусом а.

Определение 4.4.

Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, модуль разности расстояний которых до двух заданных точек (фокусов) есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами.

Если расположить фокусы гиперболы на оси ОХ так, чтобы начало координат оказалось по середине между ними, обозначить расстояние между фокусами 2с, модуль разности расстояний – 2а, 2a > 2с , то символьное уравнение гиперболы будет иметь вид |r₁ – r₂| = 2a, а в координатной форме оно запишется так:

–= 2а.

Преобразовав это уравнение так же как и в случае эллипса, и обозначив b² = с² – а² , получим каноническое уравнение гиперболы

, (19).

Исследуя форму гиперболу, находим, что

1. кривая симметрична относительно осей и начала координат, поэтому исследование формы достаточно провести для части кривой, расположенной в первой четверти и являющейся графиком функции , х  [а, +);

2. точки пересечения с осью ОХ (–а, 0) и (а, 0) – эти точки называются вершинами гиперболы; с осью ОУ кривая не пересекается;

3. прямые у = – асимптоты гиперболы. При изменениих от а до бесконечности функция возрастает от 0 до бесконечности, т.к. у = > 0 для всехх[a , +). Кроме того, эта часть кривой выпуклая: у = > 0 прих[a , +). Изобразив часть гиперболы в первой четверти в соответствии с этими исследованиями, затем отобразим эту линию симметрично относительно осей и начала координат на остальные четверти, получим искомую гиперболу.

На практике по заданному каноническому уравнению гиперболу строят так.

1. Сначала строят осевой прямоугольник: слева и справа от начала координат на расстоянии апроводят прямые, параллельные оси ОУ, а сверху и снизу на расстоянииbот начала координат – прямые, параллельные оси ОХ.

2. Прямые, на которых лежат диагонали полученного прямоугольника, есть асимптоты гиперболы.

3. Точки пересечения сторон прямоугольника с осью ОХ – вершины гиперболы. От вершин к асимптотам в левой и правой полуплоскости проводят ветви гиперболы.

Точки А(–а, 0) и С(а, 0) называются вершинами гиперболы, точка О (начало координат) – центром гиперболы. Отрезок ОА = ОС = а называется действительной полуосью гиперболы, отрезок ОВ = OD = b – мнимой полуосью. Оси координат при этом так же называют соответственно действительной осью (ее гипербола пересекает в двух точках) и мнимой осью (ее гипербола не пересекает). Расстояния r₁ и r₂ от точки гипербол до фокусов называются фокальными радиусами.

Если фокусы гиперболы расположить на оси ОУ, то ее уравнение будет иметь вид

, или , (20).

гдеа –мнимая полуось, b – действительная. Гиперболы (2) и (3) называются сопряженными. Они имеют одни и те же асимптоты.

Таким образом, по каноническому уравнению гиперболы легко определить, какая из осей является действительной (та, что входит в уравнение с плюсом), а какая – мнимой (входит с минусом).

Если а = b, гипербола называется равносторонней (равнобочной), ее асимптоты перпендикулярны друг другу.

Определение 4.5.

Параболой называется геометрическое место точек, равноудаленных от заданной точки (фокуса) и от заданной прямой (директрисы).

Найдем уравнение параболы, используя это определение.

Пустьр – расстояние между фокусом F и директрисой D. Расположим систему координат так чтобы директриса была параллельна оси ОУ, фокус находился на оси ОХ, начало координат располагалось посередине между фокусом и директрисой. Пусть М(х, у) –текущая точка параболы, фокус F(,0), уравнение директрисых = – , проекция точки М на директрису – точка К(–,х). Тогда символьное уравнение параболы |FM| = |MK| в координатной форме примет вид

.

После преобразований получаем у² = 2рх.

Если фокус параболы поместить в точку F(–, 0), а директрисой взять прямуюх = , то уравнение приобретет виду² = –2рх. Поэтому каноническим уравнением параболы называют уравнение вида

у² = 2рх, (21)

где р – параметр произвольного знака.

Исследуем расположение параболы по ее каноническому уравнению (4).

1. Проходит через начало координат (0, 0).

2. Кривая симметрична относительно оси ОХ: точки (х, у) и (х, –у) принадлежат параболе. Ось ОХ при этом называют осью параболы.

3. В силу симметрии исследование достаточно провести при у > 0. Рассмотрим функцию , прир > 0 область определения этой функции х[0, +); при р < 0 область определения х(–, 0]. Производные этой функции равны у =,у=. Для р>0 эта функция возрастает при х(0, +), убывает при х(–, 0), а в точке (0, 0) имеет минимум. Для р < 0, наоборот, при х(0, +) убывает, при х(–, 0) возрастает, в точке (0, 0) – максимум. Точу (0, 0) называют вершиной параболы. При р>0 и при у < 0, значит, кривая выпуклая.

4. По этим исследованиям вырисовывается следующая кривая

Если фокус параболы расположить на оси ОУ, директрису провести параллельно оси ОХ, начало координат расположить по-прежнему посередине между фокусом и директрисой, то получим уравнение параболы в виде

х² = 2ру, (22)

которое также называется каноническим уравнением параболы. Эта парабола имеет вершиной начало координат, осью симметрии ось ОУ; при р >0 ветви параболы направлены вверх, при р < 0 – вниз.