196 А.В. Федоров, А.В. Баранов

В противном случае, когда такое перекрывание имеет место, необходимо использовать представление о единой системе оптических фононов для всего макроскопического образца с граничными условиями (4.33). При этом, как и для акустических фононов, для таких оптических колебательных волн эффект размерного квантования отсутствует.

4.1.2. Электрон-фононное взаимодействие в квантовых точках

Как уже упоминалось ранее, трехмерное пространственное ограничение элементарных возбуждений квантовой точки приводит не только к эффекту размерного квантования их энергетического спектра, но и к модификации взаимодействия возбуждений друг с другом. В частности, существенно изменяется связь между электронной и колебательной подсистемами, которая играет важную роль во многих физических эффектах и процессах в этих объектах.

Изучение электрон-фононного взаимодействия в квантовых точках началось практически одновременно с исследованием их электронной структуры. Анализу влияния трехмерного конфайнмента на электрон-колебательную связь в таких квазинульмерных объектах посвящено большое число экспериментальных и теоретических работ. Поскольку квантовая точка сохраняет свойства кристаллов, то для ее описания наиболее продуктивным является подход, основанный на методах физики объемных твердых тел. В его рамках удается выделить основные особенности электрон-фононного взаимодействия, характерные для квантовых точек.

Рассмотрим различные типы электрон-фононного взаимодействия в квантовых точках. В физике твердого тела [13] принято различать четыре типа электрон-фононной связи. Это, прежде всего, деформационное взаимодействие электронной подсистемы кристалла с акустическими фононами. Когда кристаллическая решетка деформируется, электронные и экситонные энергии меняются пропорционально тензору деформации. Коэффициент пропорциональности Dac называется деформационным потенциалом, причем его величина зависит от того, к каким именно энергетическим зонам принадлежат электроны и дырки. Вообще говоря, явная форма взаимодействия через деформационный потенциал зависит от симметрии кристалла, но в большинстве интересных случаев главный вклад в потенциальную энергию электронов и дырок можно описать выражением

В дальнейшем мы ограничимся анализом именно этой части деформационного взаимодействия акустических фононов с электронной подсистемой квантовых точек. В частности, согласно (4.19) и (4.34) в изолированных сферических нанокристаллах электроны и дырки связаны лишь со сфероидальными акустическими модами

где r – радиус-вектор носителя заряда. В случае экситона его потенциальная энергия взаимодействия с акустическим фононами является линейной комбинацией выражений типа (4.35). Оценки, основанные на результатах предыдущего параграфа, показывают, что деформационное взаимодействие электронной подсистемы квантовой точки с акустическими фононами зависит от ее радиуса R как

В пьезоэлектрических полупроводниках деформация решетки, обусловленная акустическими колебаниями, сопровождается возникновением электрической поляризации, которая воздействует на заряженные частицы. Таким образом, осуществляется пьезоэлектрическое взаимодействие между электронной подсистемой квантовой точки и акустическими фононами [35]. При однородной акустической деформации, характеризуемой тензором

электрическая поляризация может быть в континуальном приближении представлена в декартовых координатах (k = x; y; z) следующим образом:

где ki j – пьезомодули. Этой поляризации соответствует распределенный в пространстве связанный заряд

являющийся источником электрического поля, потенциал которого '(r) удовлетворяет уравнению Пуассона

Потенциальная энергия заряженных частиц, обусловленная пьезоэлектрическим взаимодействием с акустическими фононами, определяется этим потенциалом (4.40):

Более подробное изложение этого вопроса применительно к квантовым точкам можно найти в работе [33]. Важно отметить, что в отличие от деформационного взаимодействия (4.36) пьезоэлектрическое взаимодействие зависит от радиуса квантовой точки R как

198 А.В. Федоров, А.В. Баранов

Следующим типом электрон-фононного взаимодействия в квантовых точках является связь их электронной подсистемы с оптическими фононами через деформационный потенциал. Однородная оптическая деформация кристалла с двумя атомами в элементарной ячейке описывается вектором u(r) = u1(r) −u2(r), задающим относительное смещение этих атомов. Соответствующая потенциальная энергия носителей заряда в деформационном потенциале оптических фононов может быть представлена в виде скалярного произведения

=x;y;z

где Dopi – константы деформационного потенциала оптических фононов. Из (4.43) видно, что для такого взаимодействия в кристалле должен существовать материальный вектор Dop. В кубических полупроводниках для невырожденных электронных (дырочных) энергетических зон с экстремумами в центре зоны Бриллюэна вектор Dop “некуда направить”, и деформационное взаимодействие с оптическими фононами отсутствует. Такова, например, ситуация в зоне проводимости GaAs и в верхней валентной зоне CuCl. В то же время для сложных зон, таких как четырехкратно вырожденная валентная зона Si, Ge и GaAs, деформационное взаимодействие с оптическими фононами отлично от нуля [7]. Применительно к квантовым точкам проблема связи экситонов с оптическими фононами через деформационный потенциал детально рассмотрена в работе [36].

Наконец, четвертым и самым изученным типом связи электронной и колебательной подсистем квантовых точек является полярное взаимодействие с оптическими фононами (см., например, [15, 36–41]. Особый интерес к связи этого типа определяется тем, что большинство исследовавшихся квантовых точек были изготовлены из материалов с достаточно высокой степенью ионности. Как уже упоминалось в предыдущем разделе, продольные оптические колебания решетки таких материалов сопровождаются электрическим полем. Воздействие этого поля на заряженные частицы и приводит к полярному электрон-фононному взаимодействию. В случае квантовых точек электрическое поле индуцируются не только чисто продольными фононами, но и колебаниями смешанного типа (4.32). Потенциальная энергия электронов и дырок в этом поле имеет следующий вид:

где электрический потенциал 'op(r) получается в ходе решения задачи о собственных оптических колебаниях в квантовой точке (4.27)–(4.29). В одной из первых работ, посвященных полярному электрон-фононному взаимодействию в нанокристаллах [37], потенциал 'op(r) был вычислен для квантовых точек сферической формы. Авторы этой работы использовали упрощенную модель оптических колебаний решетки, в рамках которой они пренебрегали пространственной дисперсией фононов. В этом случае смешанные оптические моды не возникают и в квантовых точках существуют чисто продоль-

ные и чисто поверхностные оптические фононы, индуцирующие электрические поля. В частности, было показано, что продольные оптические фононы с квантовыми числами n; l; m сопровождаются электрическим полем с потенциалом

а поверхностные оптические фононы (SO) c квантовыми числами l; m индуцируют внутри квантовой точки электрический потенциал

где "* = "−∞1 − "−0 1, "d – диэлектрическая проницаемость окружающей нанокристалл среды, !Sl O – частоты поверхностных оптических фононов

Эта же упрощенная модель оптических колебаний квантовых точек была использована в работах [15, 36] для описания экситон-фононного взаимодействия. В [39] полярное электрон-фононное взаимодействие исследовалось с учетом пространственной дисперсии.

4.1.3. Динамика электронных возбуждений квантовой точки

Эффект размерного квантования и модификация взаимодействия элементарных возбуждений друг с другом приводят к тому, что в квантовых точках существенно изменяются скорости различных квантовых переходов и, следовательно, процессы энергетической и фазовой релаксации по сравнению с объемными материалами. Действительно, из-за дискретности энергетического спектра электронных, дырочных и экситонных состояний для перехода между какими-либо двумя электронными уровнями E2(R) и E1(R) должно существовать элементарное возбуждение (например, фонон), энергия которого ~! попадает а резонанс с этими уровнями (см. рис. 4.6). Если предположить, что эффект размерного квантования имеет место не только для электронной подсистемы квантовой точки, но и для других ее подсистем, то такой резонанс мог бы быть реализован лишь при определенном размере R* квантовой точки, который удовлетворяет соотношению E2(R*) − E1(R*) = ~!(R*). При другом размере R , R* резонанс отсутствует и переходы между уровнями E2(R) и E1(R) с участием возбуждения ~!(R) будут запрещены законом сохранения энергии. Эта ситуация иллюстрирует одно из возможных проявлений эффекта “бутылочного горла” в процессе энергетической релаксации электронной подсистемы квантовых точек. Другим проявлением этого эффекта

200 А.В. Федоров, А.В. Баранов

E2 hω

E1

E0

Рис. 4.6. Схема, иллюстрирующая переход электрона квантовой точки из состояния E2 в состояние E1 с испусканием элементарного возбуждения с энергией ~!.

является замедление скорости релаксации в квантовых точках при уменьшении их размера. Такое замедление было теоретически предсказано в работах [42, 43], в которых рассматривалась релаксация с участие акустических фононов. Начиная с работы [42] возник не ослабевающий до сих пор интерес к проблеме динамики электронных возбуждений квантовых точек, который поддерживается не только наличием важных физических эффектов в таких системах, но и широкими перспективами их практического использования для создания различных электронных и оптоэлектронных устройств.

На начальном этапе исследований главным образом изучалась динамика носителей заряда квантовых точек, вызванная взаимодействием с различными элементарными возбуждениями, которые локализованы внутри самих точек или на их поверхности. Так, например, в работах [44–46] исследовалось влияние размерно-квантованных оптических фононов на электронную динамику квантовых точек, а в [47] была рассмотрена роль поверхностных оптических фононов в процессе внутризонной релаксации. Была исследована также многофононная релаксация с участием продольных оптических и акустических фононов [47–49]. Оказалось, что во многих случаях скорости квантовых переходов не столь сильно ослаблены, как этого следовало бы ожидать, исходя из существования эффекта “бутылочного горла”. Для объяснения достаточно быстрой внутризонной кинетики носителей заряда в квантовых точках, наблюдавшейся в экспериментах, предлагался многофононный механизм с участием дефектов [50–52]. Кроме того, в качестве эффективного механизма внутризонной релаксации в квантовых точках рассматривался Оже-процесс [53, 54].

Следует отметить, что реально исследуемые образцы с квантовыми точками представляют собой сложные гетероструктуры, состоящие из многих структурных компонентов, например матриц, покрывающих, буферных и смачивающих слоев и т.п. (рис. 4.2 и 4.3). Несмотря на это, относительно мало работ посвящено изучению влияния элементарных возбуждений окружения на электронную динамику квантовых точек [34, 42, 43, 46, 47]. В них исследовалось взаимодействие электронной подсистемы квантовых точек с барьер-