144 Е.Л. Ивченко

где безразмерный коэффициент DN стремится к конечному значению при

√

уменьшении отношения a= B, в частности D0 → =2. [17] Таким образом, энергия (3.132) растет линейно с увеличением B благодаря квантованию Лан-

дау и содержит дополнительный отрицательный вклад, пропорциональный

√

B и возникающий из-за кулоновского взаимодействия.

3.5. Вторичное свечение гетероструктур

В полупроводниках в зависимости от характера излучательных процессов различают люминесценцию собственную, несобственную и экситонную. Собственная, или зона-зонная, люминесценция обусловлена рекомбинацией свободных электронов и дырок. Несобственная, или примесная, люминесценция возникает при излучательной рекомбинации свободного электрона с дыркой, связанной на акцепторе, или свободной дырки со связанным на доноре электроном, а также при излучательной донорно-акцепторной рекомбинации или оптических переходах между энергетическими уровнями одного и того же примесного центра. Экситонная люминесценция формируется в результате рекомбинации экситонов, свободных, связанных на примеси или локализованных. Среди других экситонных механизмов вторичного свечения отметим также экситон-поляритонную, биэкситонную и трионную люминесценцию. Если кинетическая энергия свободных носителей или экситонов, вовлеченных в рекомбинационное излучение, существенно превышает тепловую энергию, вторичное свечение называется горячей люминесценцией.

Низкотемпературная люминесценция структур с квантовыми ямами обычно связывается с излучательной рекомбинацией экситонов, локализованных на шероховатостях интерфейсов и флуктуациях состава твердого раствора. Флуктуации в ширине ямы и составе модулируют сверхструктурный потенциал и порождают локализованные состояния, формируя хвост локализованных экситонных состояний. Если туннельные прыжки между локализованными состояниями неэффективны, то форма полосы фотолюминесценции определяется полностью плотностью этих состояний. В режиме многократных прыжков заселенность хвоста экситонных состояний, а значит, и спектр фотолюминесценции формируются в результате конкуренции между экситонной рекомбинацией и индуцированным акустическим фононом переходом с верхних на нижние локализованные уровни.

При умеренно высоких температурах экситоны делокализуются и характеризуются квазиравновесным больцмановским распределением

f (K‖) = C exp (−~2K‖2=2MkBT ) ;

где K‖ — 2D-волновой вектор экситона, kB — постоянная Больцмана, нормировочный коэффициент C пропорционален T N, N — 2D-концентрация экситонов. Следовательно, эффективное излучательное время жизни определяется

что только экситоны с K‖ < (!0=c)nb могут испускать фотоны, а экситоны с K‖ > (!0=c)nb этим свойством не обладают, приходим к следующему соотношению для времени затухания фотолюминесценции

При выводе предполагалось, что значение теплового волнового вектора экситона KT = (2MkBT=~2)1=2 значительно превосходит значение волнового вектора света nb!0=c.

Локализованные экситоны, их тонкая структура

Обычно оптические свойства наноструктур изучаются при освещении макроскопической области образца. Поэтому макроскопическая спектроскопия фотолюминесценции исследует большие ансамбли локализованных состояний в квантовых ямах. В этом случае узкие спектральные особенности индивидуальных квазиодномерных экситонов скрыты в спектральном пике фотолюминесценции, неоднородно уширенном и сглаженном. В настоящее время в спектроскопии фотоили катодолюминесценции появилась возможность зондировать всего несколько центров локализации с использованием техники микронного и даже субмикронного разрешения в комбинации с высоким спектральным и временным´ разрешением. Это достигается или путем уменьшения размера лазерного пятна на образце, или за счет уменьшения области образца, доступной для освещения, например покрытием полупроводниковой структуры тонкой непрозрачной металлической пленкой и созданием в пленке круглых отверстий малого диаметра [19]. Эта новая измерительная методика получила название микроспектроскопии.

С учетом спина свободных носителей основное состояние экситона n = 1 вырождено даже для простых зон. Для прямозонных экситонов в -точке вырождение основного состояния равно произведению чисел вырожденных состояний в точке k = 0 зоны проводимости и валентной зоны. При преобразованиях симметрии волновые функции вырожденного основного состояния преобразуются по представлению Dexc = e × h, где представленияe и h характеризуют симметрию электронных и дырочных состояний в точке экстремума. Представление Dexc приводимо и может быть разложено на неприводимые представления группы симметрии рассматриваемой системы, объемного материала или наноструктуры. Электронно-дырочное обменное взаимодействие частично снимает вырождение экситонных состояний и приводит к расщеплению экситонного уровня 1s на подуровни, отвечающие неприводимым представлениям.

146 Е.Л. Ивченко

Мы рассмотрим здесь тонкую структуру нульмерных экситонов, сосредоточившись на анизотропном расщеплении радиационного дублета тяжелого экситона e1 − hh1(1s), локализованного на флуктуациях ширины квантовой ямы типа I или на одном из интерфейсов в гетероструктуре типа II. В структурах, выращенных вдоль оси z ‖ [001], обменные расщепления для обоих типов экситонов описываются единой матрицей обменного взаимодействия. В базисе экситонных состояний |1 ; | − 1 ; |2 ; | − 2 эта матрица имеет вид

0 0 ei 1 1 − 0

Здесь ±1; ±2 — проекции углового момента экситона на ось z, равные суммам проекций электронного спина s = ±1=2 и дырочного углового момента m = ±3=2; константы 0; 1; 2 соответственно описывают расщепления

экситонного квартета на дублеты | ± 1 и | ± 2 , нерадиационного дублета

√

на состояния (|2 ± ei 1 | − 2 )= 2 и радиационного дублета на состояния

√

(|1 ± ei 2 | − 1 )= 2, которые являются дипольно активными в направлении прямоугольных осей, повернутых вокруг оси z на угол 2=2 относительно фиксированных осей x и y. Заметим, что расщепление 0 сохраняется даже в приближении аксиальной симметрии, отличное от нуля значение 1 возникает с учетом тетрагональной симметрии D2d идеальной квантовой ямы, а расщепление, связанное с 2, полностью определяется пониженной симметрией потенциала, локализующего экситон. Удобно ввести частоты j ( j = 0; 1; 2),

Рисунок 3.5 иллюстрирует зависимости энергии и обменного расщепления основного и возбужденных состояний локализованного экситона от размера островка, или флуктуации ширины ямы. За пределами островка квантовая яма состоит из целого числа N мономолекулярных слоев (в GaAs ширина

= : ˚

монослоя a0 2 = 2 8 A), один из интерфейсов является плоским, а второй интерфейс в области островка сдвинут на монослой в сторону барьера, т.е. в этой области ширина ямы равна (N + 1)a0=2. Островок выбран в форме прямоугольника, ориентированного вдоль осей x и y. По оси ординат на рис. 3.5a отложена энергия локализованного экситона Enn′ , отсчитанная от энергии свободного 2D-экситона в идеальной яме шириной (N + 1)a0=2. Вследствие дальнодействующего обменного взаимодействия уровень Enn′ расщепляется на два подуровня Enn′;x; Enn′;y, поляризованные вдоль осей x и y соответственно. Знак расщепления 2 ≡ Enn′;x − Enn′;y в основном определяется знаком разности между средними квадратами Kx2 и Ky2 . При n = n′ расщепление уровня Enn′ отрицательно, если Ly < Lx, и положительно, если Ly > Lx, что

согласуется с кривыми 11 и 22 на рис. 3.5b. По мере роста квантового числа n (или n′) дисперсия Kx2 (или Ky2 ) возрастает. Поэтому при близких размерах Lx и Ly знаки разностей Enn′;x − Enn′;y и n −n′ совпадают. Если стороны прямоугольного островка развернуть вокруг относительно фиксированных осей x; y на угол , в спиновом гамильтониане (3.136) угол 2 становится отличным от нуля и равным 2 .

В работе [19] изучена фотолюминесценция структур с квантовой ямой GaAs/AlGaAs в режиме ближнего поля и измерен спектр вторичного излучения одиночной квантовой точки, сформированной большим мономолекулярным островком. При этом впервые удалось обнаружить тонкую структуру основного и возбужденных состояний локализованного экситона. Каждый из обнаруженных экситонных уровней состоял из двух подуровней, линей-

но поляризованных в ортогональных направлениях [1¯0] и [110]. Величина

1

расщепления подуровней зависела от номера уровня и менялась в пределах

± (20 − 50) мкэВ. Последовательность знаков расщепления для основного и четырех возбужденных уровней, наблюдаемая в [19], воспроизводится на

˚

рис. 3.5b для значений Ly, лежащих между 420 и 480 A.

Оптическая ориентация спинов свободных носителей и угловых моментов экситонов

В последние годы возник большой интерес к спинтронике, нацеленной на изучение роли электронных спинов в физике твердого тела и влияния на спиновую динамику электрического и магнитного полей, а также на создание электронных приборов, использующих спиновую степень свободы. По той же причине интерес представляет и поведение не только электронных, но и дырочных или экситонных спинов в полупроводниках и полупроводниковых гетероструктурах.

Принципы оптической ориентации

Начиная с пионерской работы Лампеля [20] оптическая ориентация спинов свободных носителей и экситонов стала эффективным методом бесконтактного неразрушающего исследования зонных и кинетических параметров полупроводников. Суть этого метода заключается в наблюдении зависимости поляризации фотолюминесценции от состояния поляризации возбуждающего света. Вначале сформулируем основные принципы оптической ориентации свободных носителей, а затем обсудим особенности поляризованной люминесценции экситонов.

Принцип 1. При междузонном оптическом возбуждении циркулярно поляризованным светом проекция ±1 углового момента циркулярно поляризованного фотона ± преобразуется в ориентированный угловой момент (или спин) фотоносителя.

В условиях стационарного возбуждения уравнения кинетики для плотностей n+ и n− электронов со спином ↑ (или 1=2) и ↓ (или −1=2) имеют простой вид

Здесь g± — скорости фотогенерации, 0 — время жизни фотоэлектронов в зоне проводимости, s — время их спиновой релаксации. Введем обозначения: n = n+ +n− для полной концентрации фотоэлектронов, g = g+ +g− для полной скорости генерации, sz = (n+−n−)=2 для полного среднего электронного спина

и

T — время жизни ориентированного спина фотоэлектрона.

Отсюда следует Принцип 2: если время жизни фотоэлектрона 0 не слишком длинное по сравнению со временем спиновой релаксации s, то ориентированные по спину электроны сохраняют спиновую поляризацию при стационарном возбуждении:

Начальная степень спиновой поляризации p0 пропорциональна степени циркулярной поляризации падающего света: p0 = P0c . Коэффициент пропорциональности зависит от правил отбора: для междузонных переходов 8 → 6 в объемном полупроводнике типа GaAs = −1=2, а для оптических переходов hh1 → e1 в структурах с квантовыми ямами на основе GaAs = −1.

Принцип 3. В силу тех же правил отбора для междузонных оптических переходов рекомбинационное излучение спин-поляризованных фотоносителей оказывается циркулярно поляризованным. Для степени циркулярной поляризации фотолюминесценции имеем

Это уравнение справедливо для рекомбинации фотоэлектронов с неполяризованными дырками. Если степень спиновой поляризации дырок ph также отлична от нуля, то выражение для Pc имеет более сложный вид. В частности, для рекомбинации электронов e1 и тяжелых дырок hh1 в квантовой яме, т.е. при = −1, это выражение принимает вид

Принцип 4. Поперечное магнитное поле приводит к деполяризации фотолюминесценции. При падении света вдоль оси z, изотропном g-факторе электрона и магнитном поле B ‖ x получаем

где sz(0) — средний электронный спин в отсутствие магнитного поля, L = | L| — частота ларморовой прецессии спина в магнитном поле, равная g B|B|=~ ( B — магнетон Бора). Видно, что в поперечном поле средний спин поворачивается вокруг вектора L и деполяризуется. Такое действие магнитного поля на спин называется эффектом Ханле.

Оптическая ориентация и выстраивание экситонов в квантовых ямах

Аналогично свободным носителям экситонные спины (или угловые моменты) также можно оптически ориентировать. В отсутствие внешнего магнитного поля спин-поляризованные экситоны генерируются при циркулярно поляризованном возбуждении. Согласно (3.71) матричные элементы оптического возбуждения тяжелого экситона в базисе m = ±1; ±2 можно представить в виде

M±1 = M0(ex iey) ; M±2 = 0 ;

где e ( = x; y) — компоненты единичного вектора поляризации света,

M — постоянный коэффициент. При нормальном падении на квантовую

0 √ √

яму циркулярно поляризованного света + имеем ex = 1= 2; ey = i= 2 и M1 ex − iey , 0, M−1 ex + iey = 0, тогда как при −-возбуждении M1 = 0, M−1 , 0, в согласии с законом сохранения проекции углового момента (3.72). Из этого же правила отбора следует, что рекомбинация спин-поляризованных экситонов сопровождается излучением циркулярно поляризованного света, что допускает оптическое детектирование спиновой поляризации.

Оптическая ориентация экситонных спинов является частным случаем более общего явления — селективного оптического возбуждения экситонных подуровней. Другим примером селективного фотовозбуждения является так называемое оптическое выстраивание экситонов линейно поляризованным излучением: в отличие от оптической ориентации, означающей различие в заселенности экситонных состояний |m со спином m = ±1, линейно поляри-

зованное возбуждение приводит к преимущественному заселению состояния

√

(|1 +ei |−1 )= 2 с определенным направлением осциллирующего дипольного момента (фаза определяется направлением плоскости линейной поляризации).

Для расчета селективного заселения экситонных подуровней решается кинетическое уравнение для спиновой матрицы плотности экситонов mm′ . Если экситонное состояние представлено волновой функцией = ∑m cm m, где m

— одна из экситонных базисных функций, матрица плотности определяется как mm′ = cmc*m′ . В смешанном состоянии произведение cmc*m′ усредняется по

150 Е.Л. Ивченко

статистическому ансамблю. Диагональные компоненты mm определяют вероятность найти экситон в состоянии m, а недиагональные компоненты mm′ с m , m′ — корреляцию между состояниями m и m′. Для чистых состояний

| mm′ |2 = mm m′m′ .

Чтобы сделать рассмотрение поляризованной фотолюминесценции физически более понятным, представим здесь упрощенный подход к описанию оптической ориентации и выстраивания экситонов на языке эффективного псевдоспина. В условиях резонансного возбуждения и в отсутствие спиновой релаксации экситонов между парами состояний m = ±1 и ±2 оптически неактивные подуровни остаются незаселенными, отличны от нуля компоненты спиновой матрицы плотности экситонов mm′ с m; m′ = ±1 и экситон e1-hh1(1s) ведет себя как двухуровневая система. Напомним, что любые два квантовых уровня (или подуровня) можно рассматривать как два состояния эффективного трехмерного псевдоспина S = 1/2. Спиновая матрица плотности mm′ (m; m′ = ±1), имеющая размерность 2×2, может быть выражена через компоненты среднего псевдоспина в виде

где ˜ ( = x; y; z) — псевдоспиновые матрицы Паули и N — стационарная концентрация экситонов. Чистые экситонные состояния |1 и | − 1 эквивалентны состояниям псевдоспина, поляризованного соответственно параллельно или антипараллельно оси z. Экситонные состояния

√ √

|X = (|1 + | − 1 )= 2 ; |Y = −i (|1 − | − 1 )= 2 ;

дипольно активные в направлениях осей x и y, описываются псевдоспином

ют псевдоспину с отличной от нуля компонентой S y = 1=2 или −1=2. Отсюда следует простая связь между степенями поляризации экситонной фотолюминесценции Pl; Pl′ ; Pc и компонентами псевдоспина

где параметры Стокса P0l ; P0l′ и P0c характеризуют поляризацию возбуждающего света, S0 — экситонный псевдоспин в момент фотовозбуждения. Следует

отметить, что если экситоны формируются в результате связывания свобод-

ных электронов и дырок, то матрица ˆ пропорциональна произведению одно-

G

частичных спиновых матриц плотности ˆe ˆh в момент связывания электрона и дырки. В этом случае можно наблюдать только оптическую ориентацию экситонов.

Воздействие магнитного поля на поляризацию экситонного излучения также удобно интерпретировать в псевдоспиновых терминах. В частности, экситонный спин-гамильтониан (3.137) вместе с зеемановским членом в продольном магнитном поле B ‖ z сводятся к следующему гамильтониану для псевдоспина:

где ~ ‖ — зеемановское расщепление состояний | ± 1 , энергия отсчитывается от ~ 0. Псевдоспин S вращается вокруг вектора = ( 1; 2; ‖) с эффектив-

прецессия приводит к деполяризации составляющей исходного псевдоспина, перпендикулярной к вектору , тогда как компонента, параллельная , остается неизменной. Это означает, что стационарное значение S можно получить простым проектированием вектора S0 на направление вектора , т.е. S = ( S0)=| |2. Следовательно, соотношение между вторичной и исходной поляризациями можно представить как

где матрица ˆ определена согласно

Видно, что при ненулевом анизотропном обменном расщеплении 2 продольное магнитное поле в условиях циркулярно поляризованного возбуждения восстанавливает циркулярную поляризацию фотолюминесценции и индуцирует линейную. Отсюда также следует, что при линейно поляризованном возбуждении магнитное поле приводит к двум эффектам: подавляет выстраивание и частично переводит линейную поляризацию фотолюминесценции в циркулярную.

В работе [21] вместо измерения степеней поляризации фотолюминесценции Pl, Pl′ и Pc при фиксированном положении поляризатора использовалась модуляционная методика, в которой анализатор находится в фиксированном положении, а образец возбуждается светом, поляризация которого модулируется во времени на некоторой частоте, меняясь скачками от циркулярной или

152 Е.Л. Ивченко

линейной на ортогональную. В этом случае измеряются эффективные степени поляризации

где I обозначает интенсивность фотолюминесценции в конфигурации (; ) анализатора и поляризатора и ; — линейные поляризации вдоль осей [100],

в условиях резонансного возбуждения и в пренебрежении эффектами антипересечения уровней набор (3.153) совпадает со степенями поляризации Pl , Pl′ и Pc , где указывает положение поляризатора.

На рис. 3.6 представлены зависимости c (Bz) и l (Bz), измеренные с одной из сверхрешеток GaAs/AlAs типа II в области спектрального максимума

в слабых полях Bz ≈ 20 Гс резко возрастает от 2.5 до 5% и затем нарастает медленнее до уровня 20% при Bz = 2.5 кГс. Рисунок 3.6b ясно демонстрирует индуцированную полем конверсию ориентация–выстраивание: c110(Bz) достигает максимального значения 5% в поле Bz ≈ 0.7 кГс и меняет знак при инверсии поля. Более того, в согласии с теорией c110(Bz) отличается зна-

ком от измеренной зависимости c ¯ (Bz). Влияние продольного магнитного

110

поля на выстраивание проиллюстрировано на рис. 3.6c. Заметим, что основное изменение l110 происходит в тех же магнитных полях Bz ≈ 0.7 кГс, что и для функции c + (Bz) на рис. 3.6a. Рисунок 3.6d подтверждает, что эффект преобразования ориентации в выстраивание обратим: экспериментальные зависимости c110(Bz) и l + (Bz) близки друг к другу.

Сплошные кривые на рис. 3.6 представляют теоретическую подгонку с использованием теории оптической ориентации экситонов, в которой учтено обменное расщепление с 1 , 0; 2 = 0 в соответствии с механизмом анизотропного обменного расщепления в короткопериодных сверхрешетках GaAs/AlAs типа II [22]. Быстрый рост c + в слабом поле связан, по-видимому, с вкладом в фотолюминесценцию пар пространственно разделенных локализованных электронов и дырок, которые характеризуются малыми значениями обменного расщепления. При подгонке этот вклад учитывается добавлением постоянного значения 5% к рассчитанной кривой c + (Bz). За исключением узкой области вблизи нуля, экспериментальные данные удовлетворительно описываются при дополнительном учете спиновой релаксации экситонов между излучательными и безызлучательными состояниями, а также с учетом потерь ориентации и выстраивания в процессе квазирезонансного фотовозбуждения [21]. Так как в сверхрешетке GaAs/AlAs типа II имеются два сорта экситонов, локализованных на противоположных интерфейсах GaAs/AlAs и AlAs/GaAs и различающихся знаком 1, рассчитанные кривые, описывающие конверсию ориентации в выстраивание и выстраивания в ориентацию, нужно умножить на фактор разбаланса

N(+) − N(−)

f = N(+) + N(−) ;

где N(±) обозначает концентрацию экситонов, локализованных на интерфейсах AlAs-на-GaAs и GaAs-на-AlAs соответственно. Таким образом, измерение индуцированной магнитным полем конверсии между циркулярной и линейной поляризациями позволяет оценить важный структурный параметр, а именно фактор разбаланса f . Кривые на рис. 3.6 рассчитаны при 2 = 1:8 мкэВ и f = 0:9. Так как в сверхрешетках GaAs/AlAs типа II частота 2 равна нулю и 1 1, теория в полном согласии с экспериментом предсказывает отсутствие оптического выстраивания экситонов при возбуждении светом, поляризованным вдоль осей [100] или [010] (у матрицы (3.152) компонента l′l′ = 0) и отсутствие преобразования поляризации l′-c или c-l′

( cl′ = l′c = 0).

Эффект Зеемана, электронный и дырочный g-факторы в квантовых

ямах и сверхрешетках

Частота электронного парамагнитного, или спинового, резонанса (сокращенно ЭПР) определяется величиной эффективного фактора Ланде, или g- фактора, для электрона. Этот важный зонный параметр описывает зеемановское расщепление спиновых подуровней электрона в магнитном поле и проявляется не только в экспериментах по ЭПР, но и в различных магнитооптических явлениях, в особенности в фотолюминесценции и рассеянии света.

В общем случае зеемановский вклад для пары крамерсово-сопряженных состояний в электронный эффективный гамильтониан разлагается по матри-

где B — магнитное поле, B — магнетон Бора и вещественный тензор gˆ для низкосимметричной системы характеризуется девятью линейно независимыми компонентами. Частота ЭПР находится из условия ~! = B, где зеемановское расщепление спиновых подуровней равно

Если система обладает аксиальной симметрией, то тензор g имеет только две линейно независимые компоненты, которые традиционно принято обозначать как

g‖ ≡ gzz ; g ≡ gxx = gyy ;

где z — главная ось системы. В этом случае выражение (3.155) сводится к

нике с решеткой цинковой обманки (точечная симметрия Td) g-фактор изотропен: g = g . Пользуясь kp-теорией возмущений, можно показать, что

спиновый индекс s = ±1=2 и pˆ — оператор импульса. В типичных полупроводниках с решеткой цинковой обманки основной вклад в g вносят верхние валентные зоны 8; 7 и выражение для g-фактора записывается приближенно в виде

где g — вклад далеких зон, рассматриваемый как подгоночный параметр, зонные параметры Eg; ; pcv определены в (3.23), (3.24). Используя для GaAs значения 2|pcv|2=m0 = 28.9 эВ, Eg = 1.52 эВ, = 0.34 эВ, получаем g = − 0.32, тогда как эксперимент дает gexp(GaAs) = −0:44. Это различие можно связать с вкладом далеких зон g = −0:12. Таким образом, в объемном GaAs g0 и вклад в g спин-орбитально расщепленных зон 8; 7 в значительной мере компенсируют друг друга.

Согласно (3.158) эффективный электронный фактор Ланде сильно зависит от ширины запрещенной зоны и спин-орбитального расщепления верхней валентной зоны. Величина g меняется от полупроводника к полупроводнику в широких пределах от больших отрицательных значений (например, около −50 в InSb) до −0:44 в GaAs и положительных значений g ≤ 2 в широкозонных материалах. В твердом растворе AlxGa1−xAs ширина запрещенной зоны возрастает с ростом состава x. Соответственно, g-фактор электрона обращается в нуль при некотором составе x0 ≈ 0:12 и становится положительным при x > x0. В частности, g(Al0:35Ga0:65As) ≈ 0:5.

Очевидно, выражение, аналогичное (3.157), можно использовать и для квантовых ям и сверхрешеток [23]. Однако в этом случае индекс n пробегает не только по всем зонам, но и по подзонам или минизонам, сформированным в результате размерного квантования. В то же время низкоразмерные структуры позволяют использовать альтернативные методы, учитывающие пространственное квантование электронной волновой функции [24]. Здесь мы представим два упрощенных, физически более прозрачных подхода, позволяющих делать оценки g-фактора.

В первом приближенном подходе электронный g-фактор в квантовой яме или сверхрешетке, состоящей из слоев A и B, например GaAs и AlGaAs, получается путем усреднения

Отсюда следует, что в гетероструктурах электронный g-фактор должен характеризоваться значительной анизотропией. Последовательный расчет электронного g-фактора подтверждает эти оценки [23, 24].

При выводе (3.160) мы рассматривали ненапряженные гетероструктуры с согласованными постоянными решетки композиционных материалов. В структурах с заметным рассогласованием нужно включить в расчет деформационные сдвиги Ec, En в зоне проводимости и валентных подзонах. В результате в приближенных выражениях (3.160) знаменатели Eg + Ee1 + En1 заменяются на Eg + Ec + Ee1 + En + En1. Таким образом, подзоны тяжелых и легких дырок расщепляются как за счет размерного квантования, так и вследствие напряжения квантовых слоев. В гетеросистеме CdTe/CdMgTe оба эффекта действуют в одном направлении, увеличивая расщепление между подзонами hh1 и lh1, а значит, и анизотропию g-фактора.

Детальные измерения поперечного g-фактора электрона проведены в

ме того, в соответствии с предсказаниями теории обнаружено значительное различие между компонентами g‖ и g в гетероструктурах, выращенных на основе полупроводников как A3B5 (GaAs/AlGaAs, GaAs/AlAs, GaInAs/InP), так и A2B6 (CdTe/CdMgTe). С этой целью проводились эксперименты по оптической ориентации свободных носителей в наклонном магнитном поле, оптически детектируемому магнитному резонансу, квантовым биениям и резонансному комбинационному рассеянию света с переворотом спина (см. литературу, цитируемую в [24]).

Что касается дырочного g-фактора в гетероструктурах, то для тяжелой дырки он обладает сильной анизотропией. Более того, в приближении аксиальной симметрии поперечный g-фактор тяжелой дырки gh вообще равен нулю: в недиагональном матричном элементе проекция углового момента тяжелой дырки на ось z меняется на m = ±3, тогда как слагаемые, линейные по магнитному полю B z, обеспечивают изменение m на ±1. С учетом кубической (неизотропной) симметрии объемных композиционных полупроводников значение gh конечно: в структуре с квантовой ямой GaAs/AlGaAs, выращенной по оси [001], это значение составляет 0.04 ± 0.01 [25]. Заметим, что здесь величина gh определена как спиновое расщепление в магнитном поле, отнесенное к BB.

Комбинационное рассеяние света

В объемных полупроводниках свет может рассеиваться (1) на свободных носителях, включая рассеяние на флуктуациях плотности заряда (одночастичные возбуждения и плазмоны) и флуктуациях спиновой плотности (переходы с переворотом спина), (2) на фононах, оптических (рамановское, или комбинационное, рассеяние) или акустических (мандельштам-бриллюэновское рассеяние), и (3) статических дефектах (релеевское рассеяние). В гетероструктурах с квантовыми ямами и сверхрешетках появляются дополнительные возможности: в структурах с квантовыми ямами вклад в рассеяние могут вносить не только внутриподзонные переходы, но и переходы между электронными подзонами размерного квантования (рассеяние на межподзонных флуктуациях плотности заряда или спиновой плотности); комбинационное рассеяние обогащается участием размерно-квантованных и интерфейсных оптических фононов (confined and interface optical phonons), а также акустических фононов со “сложенным” спектром (folded acoustic phonons) в сверхрешетках.

Мы будем использовать обозначения !1, q1, e1 и !2, q2, e2 для частоты, волнового вектора и единичного вектора поляризации у исходной (первичной) и рассеянной (вторичной) электромагнитных волн соответственно. Если частица (или квазичастица), участвующая в процессе рассеяния, сталкивается с фотоном и изменяет свою энергию и волновой вектор E1; k1 на E2; k2, то законы сохранения гласят:

Если же рассеяние фотона сопровождается испусканием или поглощением элементарного (квазичастичного) возбуждения, характеризуемого частотой и волновым вектором Q, то законы сохранения принимают вид

При испускании (поглощении) возбуждения частота фотона уменьшается (возрастает) на . При этом говорят о рассеянии в стоксову или антистоксову область спектра, а процесс рассеяния называют стоксовым или антистоксовым соответственно. При одновременном поглощении света в среде, когда векторы q1;2 комплексны, в закон сохранения следует подставлять вещественные части соответствующих волновых векторов.

Структуры с квантовыми ямами не обладают трансляционной симметрией вдоль оси роста z. Поэтому закон сохранения компонент волновых векторов на ось z исключается из (3.164), (3.165).

Рассеяние на межподзонных электронных возбуждениях

Рассмотрим рассеяние света на межподзонных электронных переходах e + ~!1 → e ′ + ~!2 в структуре с квантовой ямой n-типа, в которой валентная зона заполнена, а в зоне проводимости имеется 2D-электронный газ. Это

158 Е.Л. Ивченко

рассеяние представляет собой двухквантовый процесс. Он включает поглощение первичного фотона с переходом электрона из валентной подзоны v ′′ в подзону e ′ и последующее излучение вторичного фотона с переходом равновесного электрона e в вакантное состояние в подзоне v ′′. Предположим для простоты, что энергия фотона ~!1 лежит вблизи запрещенной зоны квантовой ямы. Тогда при расчете вероятности рассеяния света можно учесть только резонансный вклад в матричном элементе второго порядка и записать спектральную интенсивность вторичного излучения в виде

Здесь |i ; |i′ ; |i′′ — электронные состояния в подзонах e , e ′ и v ′′ соответственно, Ei — энергия электрона в состоянии |i , fi — электронная функция распределения, i′|pˆ|i′′ — междузонный матричный элемент оператора импульса pˆ, A0 — скалярная амплитуда векторного потенциала первичной электромагнитной волны. Используя (3.166) и пренебрегая кулоновским взаимодействием между носителями и смешиванием валентных подзон при k , 0, можно получить следующее выражение для дифференциального сечения рассеяния на межподзонных возбуждениях в одиночной квантовой яме

Поясним остальные обозначения: W — вероятность рассеяния света в единицу времени в элемент телесного угла 2 и в частотный интервал !2, S

— площадь образца в плоскости интерфейсов, J1 — интенсивность исходного излучения, индекс v пробегает три валентные подзоны объемного полупроводника, включая подзоны тяжелых и легких дырок, а также подзону, отщепленную спин-орбитальным взаимодействием, m — спиновый индекс дырки, pcs;vm — междузонный матричный элемент, рассчитанный между объемными блоховскими функциями, ie ′;v ′′ — интегралы перекрытия (3.61). Рассматривается геометрия рассеяния назад при нормальном падении, когда падающая и рассеянная волны распространяются навстречу друг другу и параллельно

нормали к плоскости интерфейсов. В силу второго закона сохранения (3.164) волновой вектор электрона k в процессе рассеяния не меняется.

При междузонных оптических переходах четность огибающих функций сохраняется. Поэтому она сохраняется и при рассеянии на межподзонных переходах. Следовательно, рассеяние разрешено для переходов e1 → e3 и запрещено для переходов e1 → e2. В реальных условиях отступление от указанного правила отбора может быть связано с дополнительным рассеянием фотовозбужденных электронно-дырочных пар на статических дефектах и несовершенствах гетероструктуры, а также с гибридизацией состояний тяжелых и легких дырок при k , 0. В асимметричных квантовых ямах, например односторонне легированных, основной причиной рассеяния на межподзонных возбуждениях e2–e1 является асимметричная форма огибающих 'e (z); 'v (z), при которой интегралы перекрытия ie ′;v ′′ , ie;v ′′ могут одновременно быть отличными от нуля. Заметим, что выражение (3.167) выведено в одночастичном приближении, когда переданная энергия фотона совпадает с разностью одночастичных энергий Ei′ − Ei. Учет кулоновского взаимодействия между электронами приводит к перенормировке энергии межподзонного возбуждения, вследствие чего рамановские сдвиги при рассеянии на межподзонных возбуждениях с сохранением и переворотом спина различаются [26].

Рассеяние на размерно-квантованных оптических фононах

Микроскопически рассеяние света на фононах в нелегированном полупроводнике или полупроводниковой структуре описывается как процесс третьего порядка с составным матричным элементом

где Mn0 — матричный элемент однофотонного перехода из основного состояния системы |0 в возбужденное состояние |n , представляющее собой электрон-дырочную пару или экситон и характеризуемое энергией возбуждения En и затуханием n; Vn′n — матричный элемент электрон-фононного взаимодействия, включающего также взаимодействие фонона с дыркой; — частота фонона. Как и при выводе (3.166), (3.168), здесь учтен только резонансный вклад. Перед актом рассеяния электронная подсистема находится в основном состоянии |0 , фононная подсистема включает N фононов с частотой и волновым вектором Q, имеется N(!1) первичных фотонов, а фотоны с энергией кванта ~!2 отсутствуют. После акта рассеяния электронная подсистема вновь оказывается в основном состоянии, число первичных фотонов уменьшается на единицу, рождается фотон !2, а число фононов увеличивается на единицу в стоксовом процессе рассеяния и убывает на единицу при антистоксовом рассеянии. Согласно (3.169) на первой ступени трехступенчатого процесса рассеяния первичный фотон возбуждает электронную подсистему в промежуточное состояние |n . Затем рассеяние на фононе вызывает

160 Е.Л. Ивченко

квантовый переход из |n в другое промежуточное состояние |n′ . На заключительном этапе электронная подсистема возвращается в основное состояние, излучая при этом рассеянный фотон.

Чтобы понять особенности оптических колебаний в гетероструктурах, рассмотрим слой квантовой ямы с шириной a. Оптические фононы в объемных материалах характеризуются слабой дисперсией с ниспадающей дисперсионной кривой. При малых значениях волновых векторов Q можно ограничиться членами нулевого и второго порядков в разложении частоты, например, продольного оптического фонона

где для удобства введен положительный параметр ¯ , имеющий размерность

M

массы. Если частоты LO(0) в слоях ямы и барьера заметно различаются, то оптические фононы испытывают размерное квантование аналогично тому, как это происходит с электронными состояниями в квантовой яме. В результате составляющая волнового вектора фонона Qz принимает дискретные значения, близкие к =a, где - положительные целые числа. В континуальном приближении относительный сдвиг u = uC − uA между катионной (C) и анионной (A) подрешетками рассматривается как непрерывно изменяющаяся величина. При решении задачи о собственных колебаниях нужно вводить граничные условия для u и скалярного потенциала (r) электрического поля, порождаемого этими колебаниями.

При упрощенном описании размерно-квантованных LO-фононов в периодических структурах с квантовыми ямами полагают, что на интерфейсах в нуль обращается относительный сдвиг uz. Тогда для скалярного потенциала имеем (z) sin ( z=a), если нечетно, и (z) cos ( z=a), если четно. В работе [27] предложены решения

которые удовлетворяют одновременно условию обращения в нуль как для(z), так и для uz(z). При этом учитывается, что линейная функция y(x) = c1 + c2z удовлетворяет однородному уравнению d2y(z)=dz2 = 0. Константыи C находятся из условия обращения в нуль функции (z) и ее первой производной на интерфейсах z = ±a=2. При таком описании мода = 1 исключается из набора (3.170), так как ее нужно последовательно рассматривать как интерфейсную моду. Физически интерфейсный оптический фонон представляет собой поверхностное возбуждение (поверхностный фонон), передаваемое от интерфейса к интерфейсу и распространяющееся вдоль оси z неограниченно далеко (в пренебрежении процессами рассеяния и распада оптического фонона).

В симметричных структурах c квантовыми ямами GaAs/AlAs(001) (точечная группа D2d) размерно-квантованные оптические фононы характеризуются

симметрией A1 и B2. Напомним, что в группе D2d простейшими примерами базисных функций для представлений A1 и B2 могут служить константа и координата z соответственно. Согласно (3.170) для фононных мод с четными скалярный потенциал (z) имеет симметрию A1, а огибающая функция u (z) преобразуется по представлению B2, тогда как для фононов с нечетными , функции и u (z) соответствуют представлениям B2 и A1. Заметим, что симметрия оптического колебания определяется симметрией скалярного потенциала (z).

Возвращаясь к рассмотрению рассеяния света на размерно-квантованных оптических фононах, напомним, что для краткого обозначения геометрии рассеяния обычно используются четыре символа — два в скобках и два вне скобок — например x(yz)y, z(xx)¯z или z( +; −)¯z. Внутренние символы указывают поляризацию, внешние — направление распространения первичного и вторичного фотонов. В частности, конфигурация z(xy)¯z означает, что исходное излучение распространяется вдоль оси z и поляризовано по оси x, а рассеянный свет распространяется в обратном направлении и регистрируется его составляющая, поляризованная по y.

В рассеяние n → n′ электронно-дырочного возбуждения на продольном оптическом фононе, т.е. в рассеяние, описываемое в (3.169) матричным элементом Vn′n, вносят вклад два механизма: фрелиховский, или дальнодействующий, и деформационный, или короткодействующий. В первом механизме LO-фонон воздействует на электронную подсистему через скалярный потенциал (z) электрического поля, индуцированного оптическим колебанием решетки. При деформационном механизме происходит индуцированное фононом смешивание состояний тяжелых и легких дырок, т.е. в этом случае переход n → n′ совершается за счет взаимодействия дырки с оптическим фононом.

При возбуждении вблизи края фундаментального поглощения в квантовой яме GaAs/AlAs основной вклад в рассеяние вносят промежуточные состояния e1-hh1. В соответствии с (3.52), (3.57) запишем огибающую двухчастичной волновой функции в виде fn( )'e(ze)'hh1(zh), где fn( ) — огибающая относительного движения электрона и дырки в плоскости интерфейсов в экситонных состояниях или электронно-дырочных состояниях из континуума. Тогда при рассеянии на LO-фононе за счет дальнодействующего механизма имеем Z

Vn′n = e n′n ['2e (z) − '2hh1(z)] (z)dz :

При симметричных функциях '2e (z); '2hh1(z) этот интеграл отличен от нуля лишь для симметричного потенциала (z). Это согласуется с правилом отбора, следующим из теоретико-группового анализа: оптические моды с четными (симметрия A1) рамановски активны в параллельных конфигурациях z(xx)¯z или z(yy)¯z.

Деформационный механизм проявляется в недиагональном рассеянии z(xy)¯z или z(xy)¯z на продольных оптических колебаниях симметрии B2, т.е. с нечетными .

162 Е.Л. Ивченко

На рис. 3.7 показаны спектры комбинационного рассеяния на размерноквантованных оптических фононах, измеренные на толстобарьерной сверх-

˚

решетке GaAs/AlAs, содержащей 400 двойных слоев шириной a = 20 A,

˚

b = 60 A. Фононные моды с квантовым числом обозначены в виде LO . При нерезонансном возбуждении сечения рассеяния на фононах LO2l+1 и LO2l, наблюдаемые соответственно в конфигурациях z(xy)¯z и z(xx)¯z, сопоставимы по величине. В согласии с предсказаниями микроскопической теории при резонансном возбуждении, когда ~!1;2 ≈ E и фрелиховский механизм преобладает над деформационным, наблюдается только рассеяние на LO2l- фононах. Наличие тех же линий LO2l, хотя и заметно меньшей интенсивности, в скрещенной геометрии z(xy)¯z может быть связано с влиянием статических дефектов на фрелиховское взаимодействие носителей с оптическими фононами. Комбинационное рассеяние в сверхрешетках и квантовых ямах является привлекательной альтернативой неупругому рассеянию нейтронов для определения дисперсии оптических фононов в объемном полупроводнике.

Рассеяние на акустических колебаниях со “сложенным” спектром

Мы ограничимся здесь рассмотрением рассеяния света на продольных акустических (LA) колебаниях в полупроводниковых сверхрешетках. Дисперсионное уравнение для таких колебаний по форме совпадает с уравнением (3.29), в котором нужно подставить в качестве kA;B волновой вектор фонона kj = =sj ( — частота фонона, sj — скорость продольного звука в матeриале j = A; B), а параметром N является отношение B sB=A sA ( j — плотность вещества j). Учитывая далее, что для типичных полупроводниковых сверх-

решеток параметр

B sB − A sA " = √ A B sA sB

мал по сравнению с единицей, уравнение дисперсии удобно представить в виде

где Q — волновой вектор, описывающий распространение блоховского фонона вдоль главной оси сверхрешетки z, d = a + b — период структуры. В пренебрежении слагаемыми, пропорциональными "2, получаем линейную дисперсию

В схеме приведенных зон волновой вектор задается в первой зоне Бриллюэна сверхрешетки: |Q| ≤ =d. В этом случае линейная зависимость (3.172) превращается в “сложенную” линию, прямые ветви которой описываются формулой

lQ = s¯ (2 |l| + |Q| sign l) : (3.173) d

Отсюда следует, например, что в точке Q = 0 имеются колебания с частотами, кратными частоте 1 = 2 s¯=d. Для обозначения ветвей вводится индекс l, пробегающий значения 0; ±1; ±2; ::: . Заметим, что при l = 0 в (3.173) вместо sign l нужно подставить единицу. При учете второго слагаемого в правой части (3.171) в спектре “сложенных” акустических фононов в точках излома Q = 0; ± =d появляются запрещенные зоны. При малых значениях " ширина запрещенной минизоны вблизи частоты 1 равна 2(s¯=d)|" sin [kA( 1)a]|.

Феноменологически рассеяние света на акустических фононах можно описывать, добавляя к материальному соотношению между диэлектрической поляризацией среды P и электрическим полем первичной световой волны E вклад

P = (r; t)E = P E u (r; t) :

Здесь u (r; t) — тензор деформации, возникающей при акустическом колебании, P — тензор фотоупругих коэффициентов, который в сверхрешетке зависит от координаты z. При таком описании спектральная интенсивность рассеянного света пропорциональна среднему квадрату флуктуации диэлектрической восприимчивости

I(!2; q2) | (q2 − q1; !2 − !1)|2 E02(!1; q1) ;

где E0 — амплитуда первичной волны, (q; ) — пространственная и временная´ фурье-компоненты флуктуации (r; t).

При рассеянии на LA-фононах в параллельной конфигурации z(xx)¯z или z(yy)¯z вклад вносит только фотоупругий коэффициент Pxxzz ≡ P12. Разложим функцию P12(z) в ряд Фурье

∞

∑

P12(z) = P(m)eiGmz ;

m=−∞

где Gm = 2 m=d,

Блоховская акустическая волна, распространяющаяся в сверхрешетке, представляет собой набор пространственных гармоник с волновыми векторами Q + Gm. Оценки показывают, что обычно при рассеянии в сверхрешетках пространственная модуляция фотоупругого коэффициента играет более существенную роль, чем смешивание пространственных гармоник в акустическом фононе. Поэтому сечение рассеяния света на сложенном акустическом фононе при Q =d пропорционально P(l)2.

В короткопериодной сверхрешетке волновой вектор света мал по сравнению с =d и в рассеянии участвуют фононы с малым значением Q = q1 −q2 ≈ 2q1. С другой стороны, при рассеянии назад это значение достаточно велико, чтобы можно было использовать линейно-ломанную дисперсию (3.173). В результате спектр рассеяния, помимо пика мандельштам-бриллэновского