164 Е.Л. Ивченко
рассеяния, отвечающего фонону ветви l = 0, содержит дублеты ±l с не зависящим от l расщеплением ! = 2sq¯ 1 и со средним рамановским сдвигом !1 − !2 = ±2 s¯|l|=d. Здесь знак ± отвечает рассеянию в стоксову и антистоксову области спектра.
Экспериментальные спектры рассеяния света в области переданных частот, отвечающей акустическим колебаниям, показаны рис. 3.8. Измерения проводились в конфигурации z(yy)¯z на трех гексагональных сверхрешетках GaN/Al0:28Ga0:72N с различными периодами [29]. Для каждой структуры в стоксовой и антистоксовой областях спектра удалось наблюдать только первый дублет, отвечающий “сложенным” акустическим фононам с l = ±1. В согласии с теорией расщепление дублета для трех сверхрешеток принимает практически одно и то же значение, а средний рамановский сдвиг этого дублета возрастает по мере убывания периода.
3.6. Квантовые микрорезонаторы
В разделе 4 рассмотрены естественные пути для усиления взаимодействия света с веществом — настройка на резонансные условия возбуждения и размерное квантование экситонов в квантовой яме. Квантование электромагнитного поля в микрорезонаторе со встроенной квантовой ямой, или квантовом микрорезонаторе, открыло путь для дальнейшего значительного увеличения коэффициента экситон-фотонной связи [30]. Интерес к квантовым микрорезонаторам вызван рядом причин. Укажем три из них. Во-первых, эти структуры перспективны для создания низкопороговых вертикально излучающих лазеров. Во-вторых, фундаментальные вопросы взаимодействия двумерных фотонов с веществом открыли новый раздел в квантовой электродинамике. Наконец, квантовые микрорезонаторы представляют новые возможности для нелинейной оптики, так как по сравнению с линейным нелинейный отклик сильнее зависит от константы экситон-фотонной связи.
Полупроводниковый микрорезонатор представляет собой многослойную структуру, состоящую из активного слоя B толщиной Lb, заключенного между оптическими зеркалами, или распределенными брэгговскими отражателями (рис. 3.9). Последние состоят из достаточно большого числа чередующихся слоев C1 и C2 с различающимися показателями преломления n1 и n2 и ширинами a1; a2. Толщины слоев удовлетворяют условиям
!¯ |
!¯ |
|
!¯ |
|
|
|
|
|
|||
nb |
|
Lb = Nb ; n1 |
|
a1 |
= n2 |
|
a2 |
= |
|
; |
(3.174) |
c |
c |
c |
2 |
||||||||
где nb — показатель преломления активного слоя, Nb — его толщина, выраженная в целых числах полуволн ¯=2 = (c=!¯ nb), !¯ — произвольно выбираемая частота, которая при выполнении условий (3.174) оказывается резонансной частотой 2D-фотонной моды. В квантовом микрорезонаторе в середину активной области помещается одна или несколько квантовых ям (слой A на
3. Оптика квантовых ям и сверхрешеток |
165 |
рис. 3.9) с резонансной частотой экситона !0, близкой к частоте !¯ . В дальнейшем для простоты предполагаем, что структура содержит одну квантовую яму и Nb — четное число, так что электрическое поле фотонной моды имеет пучность в середине активного слоя.
Смешивание экситонных и фотонных состояний в квантовом микрорезонаторе приводит к образованию 2D-экситонных поляритонов. Анализ таких связанных экситон-фотонных возбуждений можно проводить в модели двух классических осцилляторов, один из которых представляет экситон в квантовой яме, а другой — фотоннуюR моду. Роль колеблющихся величин играют средняя поляризация P(t) = a−1 dzPexc(z; t), индуцируемая 2D-экситоном, и электрическое поле E(t) в квантовой яме. Заметим, что в пределах тонкого слоя квантовой ямы зависимостью электрического поля от z можно пренебречь. Эти две величины удовлетворяют стандартной системе уравнений для связанных осцилляторов
d2 |
P(t) + !02P(t) + 2 |
d |
|||||
|
|
|
|
|
P(t) = q1E(t) |
||
dt2 |
|
|
|||||
|
dt |
||||||
|
d2 |
E(t) + !¯ 2E(t) + 2¯ |
d |
||||
|
|
|
|
E(t) = q2P(t) |
|||
|
dt2 |
|
|||||
|
|
|
dt |
||||
;(3.175)
;
где , ¯ — нерадиационное затухание 2D-экситона и затухание фотонной моды, которое определяется неидеальной отражательной способностью зеркал, обусловленной конечностью числа пар C1 и C2 в распределенных брэгговских отражателях. Собственные решения ищем в виде экспоненциальных функций P(t) = Pe−i!t, E(t) = Ee−i!t. Если затухания ; ¯ и разность затравочных резонансных частот !0 − !¯ малы по сравнению с самими этими частотами, система уравнений для амплитуд упрощается:
(!0 − ! − i )P = 1E ; |
(3.176) |
(!¯ − ! − i¯)E = 2P : |
|
Здесь вместо q1 и q2 введены другие параметры j = qj=2!¯ . Для них, а также для затухания ¯ можно получить аналитические выражения [31, 32]
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
!¯ |
√ |
|
|
|
|
||
1 = 0 ; 2 = |
|
|
; = |
|
b |
|
; q = |
|
; |
(3.177) |
|||||||||||
|
|
b |
|||||||||||||||||||
|
|
|
2 qa |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
¯ |
¯ |
|
|
|
|
2c |
|
|
|
|||
¯ = ¯l + ¯r ; ¯ j = |
8 (1 |
− Rm j) ; = |
¯ + |
Lb) |
; |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nb(L |
|
|||||
|
nj |
|
|
n1 |
2Nj |
¯ |
|
c n1n2 |
|
|
|
||||||||||
Rm j ≈ 1 − 4 |
|
|
( |
|
) |
|
; L = |
|
|
|
|
: |
|
||||||||
nb |
n2 |
|
|
!¯ nb2 |
|
n2 − n1 |
|
||||||||||||||
Поясним физический смысл введенных параметров: ¯ j — затухание фотонной моды, обусловленное выходом фотона из микрорезонатора в левую ( j = l) или правую ( j = r) внешнюю среду с диэлектрической проницаемостью nj; 0 — введенное в (3.84) радиационное затухание экситона в структуре с одиночной
166 Е.Л. Ивченко
квантовой ямой, Rm j — коэффициент отражения света от брэгговского зеркала j при падении на него со стороны активного слоя, Nj — число пар слоев C1
и C2 в этом зеркале, длина |
¯ |
L определяет глубину проникновения фотонной |
моды в брэгговский отражатель.
Решая однородные уравнения (3.176), получим следующие комплексные
собственные частоты экситон-поляритонных мод: |
|
|
||||||
!± = 2 |
[!0 + !¯ |
− i( + ¯)] ± |
√ |
|
|
|
: |
(3.178) |
1 2 |
+ 4 |
[!0 − !¯ − i( − ¯)]2 |
||||||
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
Заметим, что согласно (3.177) произведение 1 2 равно произведению ¯ 0. Проанализируем случай, когда частота фотонной моды !¯ настроена на ре-
зонанс с экситонной частотой: !¯ = !0. В режиме слабой связи, определяемом условием ( − ¯)2 > 4 1 2, имеем для собственных частот
|
± |
¯ − |
2 |
± |
˜ ˜ |
√ |
( |
2 |
) |
− |
1 |
|
2 |
|
|
! |
|
= ! |
i |
+ ¯ |
|
i ; = |
|
|
− ¯ |
|
2 |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
т.e. их реальные части совпадают, а мнимые различаются. В режиме сильной связи, когда ( − ¯)2 < 4 1 2, у собственных частот различаются веществен-
ные части: |
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
± |
¯ ± |
|
− |
2 |
|
1 |
|
2 − ( |
2 |
) |
2 |
|
|
||
! |
|
= ! |
˜ |
|
i |
+ ¯ |
; ˜ = |
|
|
|
|
− ¯ |
|
: |
(3.179) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
В этом случае разность !+ − !− = 2 ˜ называется частотой Раби.
Отметим, что обычные структуры с изолированными квантовыми ямами являются открытыми системами, в которых 2D-возбуждения, экситоны, взаимодействуют с 3D-фотонами и экситон-фотонное взаимодействие приводит в основном к радиационному затуханию экситона. В квантовом микрорезонаторе с качественными оптическими зеркалами как экситонные, так и фотонные состояния размерно квантованы в направлении главной оси структуры. Поэтому в этом случае возможна сильная перенормировка энергии исходных (“голых”) частиц. В реальных полупроводниковых квантовых резонаторах расщепление Раби составляет несколько миллиэлектронвольт, а в некоторых случаях даже превышает 10 мэВ.
Для расчета коэффициента отражения от квантового микрорезонатора, например, при падении света слева нужно добавить в правую часть второго уравнения (3.176) слагаемое −(i=2)tml′ ¯ E0, где E0 — амплитуда падающего света, tml′ — амплитудный коэффициент пропускания света через левое брэгговское зеркало при падении со стороны левой внешней среды. Электрическое поле волны, выходящей через левое или правое зеркало, связано с полем E в квантовой яме соотношением
E j = tm j E ;
2
3. Оптика квантовых ям и сверхрешеток |
167 |
где tm j — амплитудный коэффициент пропускания света через зеркало j при падении света со стороны активного слоя. В режиме сильной связи собственные частоты !± в спектре оптического отражения проявляются в виде двух провалов, а в спектре пропускания — в виде двух пиков.
Для иллюстрации режима сильной связи на рис. 3.10 представлен спектр отражения от квантового микрорезонатора, в котором брэгговские зеркала выращены из чередующихся слоев AlAs (n1 = 2:95) и GaAs (n2 = 3:61), активная область шириной ¯ — из GaAs, одиночная квантовая яма In0:04Ga0:96As расположена в центре активного слоя, резонансные частоты !¯ и !0 совпадают. Свет на структуру падает по нормали к плоскости интерфейсов. В спектре четко различимы два минимума, определяющие положение собственных частот 2D-экситонных поляритонов !±. Расщепление Раби составляет 3 мэВ и существенно превышает ширину спектральных провалов !+ и !−.
При наклонном падении света в микрорезонаторе возбуждаются поляритоны с отличным от нуля 2D-волновым вектором q‖. В микрорезонаторе с однородным активным слоем, не содержащим квантовой ямы, дисперсия 2D- фотонов имеет простой вид
√
!phot(q‖) = !¯ 2 + (cq‖=nb)2 :
Эта формула получается из дисперсии фотонов
√
! = (c=nb)q = (c=nb) q2z + q2‖
в активном слое и квантования компоненты qz в микрорезонаторе. При малых значениях 2D-волнового вектора, когда q‖ q¯ = (!=¯ c)nb, применимо параболическое приближение
|
|
|
|
~q2 |
|
||
! |
phot |
(q |
) = !¯ + |
|
‖ |
; |
(3.180) |
|
|
||||||
|
‖ |
|
|
2m¯ |
|
||
где введена эффективная масса 2D-фотонов m¯ = n2b~!=¯ c2. В квантовом микрорезонаторе экситонная и фотонная моды смешиваются. В результате для верхней и нижней TE-поляризованных ветвей дисперсионной кривой получаем
! |
(q |
) = |
!0 + !¯ |
+ |
~q‖2 |
|
|
1 2 + |
|
!0 − !¯ |
+ |
~q‖2 |
2 |
: |
(3.181) |
|
4m¯ ± |
|
2 |
4m¯ |
|||||||||||
± |
‖ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь для простоты пренебрегается экситонным и фотонным затуханием. Кроме того, экситонная эффективная масса считается бесконечной, так как фотонная масса m¯ очень мала и обычно имеет порядок (10−5–10−4)m0. В структурах с совпадающими частотами !0 и !¯ дисперсия принимает вид
! |
(q |
) = !0 + |
~q‖2 |
|
|
V2 |
+ |
|
~q‖2 |
2 |
; |
(3.182) |
4m¯ ± |
|
4m¯ |
||||||||||
± |
‖ |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
168 Е.Л. Ивченко
где введена константа экситон-фотонной связи V = √ 1 2 = √ ¯ 0. Дисперсия TM-поляризованных поляритонов рассмотрена в [32].
Из многочисленных нелинейных оптических явлений, изученных в квантовых микрорезонаторах, мы рассмотрим нелинейное рассеяние поляритонов при наклонном падении возбуждающего света под определенным углом, получившим название “магического”. Речь идет о процессе рассеяния поряритонов в пределах нижней ветви
(!−; qp) + (!−; qp) → (!−; 0) + (!−; 2qp) ;
в котором два идентичных исходных поляритона с волновыми векторами q‖ =
qp, превращаются в пару поляритонов с волновыми векторами 0 и 2qp, где
qp — составляющая волнового вектора света накачки, лежащая в плоскости
интерфейсов. Поляритон с q‖ = 0 высвечивается по нормали к интерфейсам и называется сигнальным; поляритон с q‖ = 2qp получил название холостого (idler). Значение qp находится из законов сохранения энергии и волнового вектора
2!−(q‖) = !−(0) + !−(2q‖) : |
(3.183) |
Для частиц с параболической дисперсией такой процесс рассеяния запрещен. Сильная связь между экситоном и фотоном в микрорезонаторе приводит к антипересечению их затравочных дисперсионных кривых и к образованию ветвей !±(q‖) (см. (3.181)). Нижняя ветвь !−(q‖) характеризуется сильно выраженной непараболичностью, допускающей необычное двухполяритонное рассеяние. Пусть частота микрорезонатора !¯ настроена на резонанс с !0. Подставляя !−(q‖) из (3.182) в (3.183), приходим к трансцендентному уравнению √ √
1 + 4x2 − 4 + x2 + 1 − x = 0
для безразмерной переменной x = ~q2‖ =2mV¯ . Это уравнение имеет два реше-
ния: тривиальное x1 = 0 и нетривиальное x2 = 1. Следовательно, изучаемое
√
поляритон-поляритонное рассеяние происходит при qp = 2Vm¯ =~ и критический, или “магический”, угол падения возбуждающего света равен
( ) √
p = arcsin (cqp=!0) = arcsin nb 2 ˜ =!0 : (3.184)
Здесь учтено, что при нулевых расстройке !¯ −!0 и параметрах затухания ; ¯ расщепление Раби 2 ˜ равно 2V.
В работе [34] указанное рассеяние наблюдалось в двухпучковой постановке эксперимента: свет накачки падал на структуру наклонно, а второй (пробный) пучок, когерентный первому, — по нормали. Наблюдалось стимулированное усиление отражения второго пучка, когда угол падения света накачки приближался к магическому углу. Процесс рассеяния характеризуется богатой поляризационной зависимостью [36]. Этот же процесс удается наблюдать и при использовании только одного источника света [35]. При достижении некоторой критической интенсивности накачки при угле падения