126 Е.Л. Ивченко

|M(e ; ±1=2 ; lh ; 1=2)|2 4|ez|2 : 3

Для циркулярно поляризованного света +, распространяющегося вдоль оси z, выполняются соотношения

тогда как для света −-поляризации имеем

где ox; oy — единичные векторы, ориентированные в направлениях x и y соответственно. Видно, что при междузонных переходах проекция углового момента на ось z сохраняется,

где = ±1 для ±-поляризации и = 0 для света, линейно поляризованного по оси z.

3.4.Резонансное отражение и поглощение света в структурах с квантовыми ямами

В трехмерных кристаллах состояния фотона и экситона в области пересечения их дисперсионных кривых сильно смешиваются и эти возбуждения превращаются в гибридную квазичастицу, называемую экситонным поляритоном, или светоэкситоном. Природу экситонного поляритона удобно пояснить на языке эффективной двухосцилляционной модели. Несмешанные, или “голые”, фотонный и экситонный осцилляторы с одним и тем же волновым вектором q имеют исходные собственные частоты !phot(q) = cq= √ b и !exc(q) = !0 + ~q2=(2M), где b — фоновая диэлектрическая проницаемость, !0 — резонансная частота экситона при q = 0 и M — трансляционная эффективная масса экситона. Степень смешивания управляется величиной продольно-поперечного расщепления экситона !LT, так что дисперсионное уравнение для связанных осцилляторов может быть представлено в виде

( ) ( )

!2phot(q) − !2 !2exc(q) − !2 = 2!2!LT!0 : (3.73)

Это есть эквивалентная форма записи более привычной формулы

Проявление экситонных поляритонов в различных оптических явлениях, включая отражение, пропускание и поглощение света, фотолюминесценцию и резонансное рассеяние света, интенсивно изучалось в 60 и 70-е годы. Новый интерес и значительное развитие в этой области было стимулировано созданием наноструктур высокого качества: многослойных гетероструктур, периодических структур с квантовыми ямами, сверхрешеток и т.д. Более того, само понятие экситонного поляритона претерпело существенное изменение в первую очередь применительно к длиннопериодичным структурам с квантовыми ямами.

Линейный отклик одиночной квантовой ямы

Задача об отражении света от одиночной квантовой ямы, заключенной между полубесконечными барьерами, была решена в 1991 г. [5, 6] и стала важной вехой в развитии квантовой электродинамики, изучающей взаимодействие трехмерных фотонов с низкоразмерными экситонами. Для простоты мы рассмотрим нормальное падение света на структуру с квантовой ямой, выращенную на основе материалов с решеткой цинковой обманки, пренебрежем различием между диэлектрической проницаемостью барьера "b и фоновой диэлектрической проницаемостью материала ямы "a. Затем конечный результат будет обобщен на случай наклонного падения и "b , "a. Векторные амплитуды электрических полей падающей, отраженной и прошедшей волн обозначаются в виде E0; Er и Et соответственно. В структуре, выращенной в направлении [001], эти три вектора параллельны, и мы можем использовать скалярные амплитуды E0; Er; Et вместо векторных. Электрическое поле E(z; t) вне слоя ямы содержит только экспоненты

где q = √ b !=c и точка z = 0 лежит в середине ямы. Заметим, что в рамках линейной оптики множитель exp (−i!t) можно опустить. Амплитудные коэффициенты отражения и пропускания определены согласно

Амплитудный коэффициент зеркального отражения от реальной четырехслойной структуры ”вакуум (0)–покрывающий слой (1)–одиночная квантовая яма (2)–полубесконечный барьер (3)” связан с rQW соотношением

128 Е.Л. Ивченко

Здесь ri j (= −rji) и ti j — амплитудные коэффициенты отражения и пропускания света, падающего из полубесконечной среды i (i = 0 в вакууме и i = 1 в слое 1) на полубесконечную среду j, 1 = q(d1 + a=2), d1 — толщина слоя 1. Таким образом, задача расчета спектра отражения R = |r|2 сведена к нахождению линейного отклика rQW(!), который является комплексной функцией частоты света !.

Получим выражение для rQW в области частот, примыкающей к выделенному экситонному резонансу !0, скажем, “тяжелому” экситону e1-hh1(1s). С этой целью воспользуемся волновым уравнением

где D — электрическая индукция и Pexc(z) — экситонный вклад в диэлектрическую поляризацию, зависящий от электрического поля E. Этот вклад нелокален и определяется выражением [7]

Z

4 Pexc(z) = G(!) (z) *(z′)E(z′) dz′ ; (3.79)

(z) = '(0; z; z); *(z) = (z) ; G(!) = !0 − ! − i :

Здесь E(z) — полное электрическое поле внутри квантовой ямы, aB и !LT

— боровский радиус и продольно-поперечное расщепление для трехмерного экситона, — нерадиационное экситонное затухание, функция '( ; ze; zh) определена в (3.46). Заметим, что для основного состояния экситона e1-h1(1s)(z) есть четная функция z.

Перепишем уравнение (3.78) в более удобной форме

где q0 = !=c. Используя метод функций Грина, это же уравнение можно преобразовать к

Первые два слагаемых представляют собой пару линейно независимых решений однородного уравнения, т.е. уравнения с Pexc = 0. Они описывают плоские волны, падающие на квантовую яму из левого и правого полупространств. Иными словами, амплитуды E1 и E2 задаются внешними условиями. В частном случае световой волны, падающей слева, имеем E1 = E0; E2 = 0. Третье слагаемое в (3.81) есть частное решение неоднородного уравнения (3.80). Оно описывает электрическое поле вторичной световой волны, индуцированное 2D-экситоном.

Из (3.79) и (3.81) следует, что при E1 = E0; E2 = 0 электрическое поле удовлетворяет интегральному уравнению

которое допускает точное решение при произвольной функции (z). Действительно, после почленного умножения на (z) и интегрирования по z получаем

Учитывая далее, что вне ямы функция (z) равна нулю, можно представить амплитудные коэффициенты отражения и пропускания в виде (см. (3.82))

Теперь легко пояснить физический смысл параметров (3.84): 0 = (2 0)−1 есть радиационное затухание 2D-экситона и !˜ 0 — его перенормированная резонансная частота. Эти параметры описывают вызванное экситон-фотонным взаимодействием преобразование комплексной собственной частоты экситона от !0 − i к !˜ 0 − i( + 0).

Для типичных структур значения ~ 0 лежат в пределах 0.02−0.2 мэВ, например ~ 0 = 0:12 мэВ в квантовой яме CdTe/Cd0:13Zn0:87Te толщиной 100

Здесь al и at — продольный и поперечный боровские радиусы, которые являются вариационными параметрами в выражении для пробной функции

Резонансная брэгговская структура

Проанализируем спектр экситонных поляритонов (3.95), (3.96), сосредоточив внимание на резонансных брэгговских структурах. Проводить такой анализ будет легче и понятнее, если пренебречь нерадиационным затуханием, положив = 0.

Как и для любой другой частицы или квазичастицы, распространяющейся в периодической системе, структура спектра экситонных поляритонов включает разрешенные и запрещенные энергетические (или частотные) зоны, или минизоны. Разрешенные зоны определены условием |C(!)| ≤ 1, где C(!) — правая часть уравнения (3.95). При |C(!)| > 1 значения K(!) имеют мнимую часть даже при = 0 и соответствуют пространственно затухающим модам. Края запрещенной зоны находятся как решения следующих уравнений:

Они касаются разрешенных зон в точках K = 0 и ± =d соответственно. Если значение 0 = nb!0d=c находится на достаточном удалении от целого числа, то запрещенная зона лежит между частотами

Приближение (3.104) неприменимо для резонансных брэгговских струк-

где (!0) — длина волны света на частоте !0 в среде с диэлектрической проницаемостью b. В спектральной области вблизи резонансной частоты экситона, т.е. в области |! − !0| !0, значения K близки к ± =d, и функции cos Kd; cos qd; sin qd в (3.95) или (3.96) можно записать приближенно как

соответственно. В результате дисперсионное уравнение приводится к виду

При ! = !0 блоховский волновой вектор K равен ± =d и экситон-фотонная связь исчезает, что следует немедленно и из (3.95), так как sin q(!0)d = sin = 0. Это можно понять, учитывая, что при ! = !0 световая волна и состояние 2D-экситона характеризуются противоположными четностями, экситонфотонное смешивание запрещено и свет эффективно находится в однородной среде с диэлектрической константой b. Действительно, мы рассматриваем здесь основное состояние 2D-экситона, описываемое огибающей функцией, симметричной по отношению к зеркальному отражению z → −z. С другой стороны, при q(!0)d = , нормальной световой волной в резонансной брэгговской структуре является стоячая волна с электрическим полем E(z) = E0 sin ( z=d), где начало отсчета координат выбрано в центре одной из квантовых ям, так что E(z) — функция, нечетная по отношению к отражению в плоскости, перпендикулярной к оси роста и проходящей через центр любой ямы.

Расстройка частоты ! от !0 снимает симметрийные ограничения и при K ≈ =d, = 0 дисперсия экситонных поляритонов трансформируется в [9]

Дисперсия при K вблизи точки − =d получается из последнего выражения умножением его на −1. Из (3.107) следует, что спектр экситонных поляритонов имеет широкую запрещенную зону

(2 0!0 )1=2

= 2 (3.108)

счастотой !0, расположенной в центре этой зоны.

Вквазибрэгговских структурах условие (3.105) выполнено на частоте

nbd

незначительно отличающейся от резонансной частоты экситона:

|!B − !0|nbd=c = |!B − !0|=!B 1 :

В этом приближении в спектре поляритонов имеются две запрещенные зоны. При !0 > !B частоты внутри этих зон удовлетворяют условиям [10]

Перейдем далее к рассмотрению периодических структур с конечным числом ям. Время жизни поляритона, распространяющегося в неограниченном объемном кристалле или неограниченной структуре с квантовыми ямами, определяется нерадиационным затуханием. В отличие от этого конечная структура с квантовыми ямами открыта и возбуждаемые в ней экситонные поляритоны затухают как за счет нерадиационных, так и радиационных процессов. Пусть гетероструктура состоит из N эквидистантных квантовых ям, помещенных между полубесконечными барьерными слоями. Барьеры, разделяющие ямы, достаточно толстые и препятствуют туннельному переносу экситонов между ямами. Поэтому экситонные состояния в различных квантовых ямах связаны только через электромагнитное поле. Учет этой связи снимает N-кратное вырождение подсистемы “голых” экситонов. Частоты связанных мод !j = !′j + i!′′j распределены в нижней комплексной полуплоскости ! с отрицательными значениями Im{!}. Эффекты радиационной связи экситонов в разных ямах, т.е. многократное когерентное переизлучение и перепоглощение фотонов, может сильно влиять на резонансные оптические свойства совершенных структур с квантовыми ямами, как линейные, так и нелинейные, в условиях стационарного возбуждения, а также в экспериментах с временным´ разрешением.

Анализ отражения и пропускания света через систему из N эквидистантных ям начнем c простого предельного случая слабой экситон-фотонной связи, когда коэффициент отражения (3.87) от одной квантовой ямы мал. Это условие выполнено, если

0 |!0 − ! − i | :

Тогда при нахождении коэффициента отражения от всей системы в целом можно пренебречь многократными процессами и суммировать амплитуды волн, отраженных от отдельных ям:

При определенных значениях периода, когда произведение qd становится равным целому числу , коэффициент отражения по потоку энергии RN = |rN |2

136 Е.Л. Ивченко

достигает максимальных значений. Первый максимум достигается для периода, удовлетворяющего условию (3.105). Условие d = =4 (“антибрэгговское” условие) определяет еще один характеристический период. В этом случае вклады отраженных волн от соседних ям взаимно сокращаются и коэффициент отражения равен нулю, если N четно, а при нечетном N он совпадет с коэффициентом отражения от одной квантовой ямы.

Если коэффициент rQW не мал по сравнению с единицей, то необходимо учитывать многократные процессы отражения световой волны и результирующий коэффициент отражения от N квантовых ям определяется более сложным выражением. Для вывода этого выражения заметим, что собственные значения матрицы переноса (3.93) равны exp (±iKd), где K — волновой вектор экситонного поляритона, распространяющегося на частоте ! в неограниченной периодической структуре с квантовыми ямами. Он удовлетворяет дисперсионному уравнению (3.95). Собственные двухкомпонентные столбцы матрицы переноса можно представить в виде

Использование этих собственных столбцов позволяет привести коэффициенты отражения и пропускания к виду

где r˜ = eiqdrQW, t˜ = eiqdtQW, а коэффициенты rQW; tQW определяются выражениями (3.87).

Обратимся теперь к резонансным брэгговским структурам с конечным числом ям. Согласно (3.106) в области частот |! − !0| !0 для волнового вектора экситонного поляритона имеем

Для N-ямной структуры в спектральном диапазоне, удовлетворяющем условию

отношения

sin [(N − 1)Kd] ; sin (NKd) sin (NKd) sin (Kd)

можно заменить на −(N − 1)=N, (−1)N−1N, а коэффициенты r˜; t˜ — на −rQW; −tQW. В результате коэффициенты (3.114) принимают достаточно простую форму [11]

Видно, что коэффициент отражения от резонансной брэгговской структуры получается из выражения (3.87) для коэффициента отражения от одной квантовой ямы простой заменой 0 на N 0. Различие общих знаков в (3.87) и (3.114) связано с различным выбором фаз у отраженных волн.

Чтобы проанализировать общие формулы (3.114) и частный результат (3.116), требуется изучить аналитические свойства линейных откликов rN (!), tN (!). Для этого учтем, что полюса коэффициентов rN ; tN , рассматриваемых как функции комплексной переменной ! = !′ +i!′′, совпадают с комплексными частотами экситон-поляритонных мод. Так же как и в случае N связанных осцилляторов, система из N квантовых ям характеризуется N собственными частотами !j. Структуре с одиночной ямой отвечает одна собственная частота !0 − i( + 0). В общем случае в структуре с N квантовыми ямами, даже одинаковыми, все частоты !j разные и коэффициент отражения имеет N различных полюсов. Соответствующие нестационарные собственные состояния являются экситонными поляритонами в конечной структуре с квантовыми ямами, т.е. смешанными возбуждениями, в которых 2D-экситоны связаны между собой трехмерными фотонами. Система с конечным N открыта и, следовательно, мнимые части собственных частот отличны от нуля даже в пренебрежении нерадиационным затуханием. Вещественные части !′j определяют положение пиков, провалов и других характерных особенностей в спектрах отражения. Различие вещественных частей !′j может приводить к временным´ биениям в оптическом отклике на импульсное оптическое возбуждение. Мнимые части !′′j описывают динамику и затухание поляритонных мод и размытие спектральных пиков или провалов. Картина расположения частот !j на комплексной плоскости зависит от периода d и числа квантовых ям N.

Если резонансная частота экситона !0 и период структуры d удовлетворяют неравенству |q(!)d − | 1, или, точнее, условию (3.105), коэффициенты отражения и пропускания определяются формулами (3.116). В такой структуре функция rN (!) имеет только один полюс

Это означает, что в резонансных брэгговских структурах среди N собственных состояний N −1 мод оптически неактивны, их частоты равны !j = !0 −i ( j = 1; :::; N − 1), они не перенормируются экситон-фотонным взаимодействием, и только одна мода, которую можно назвать сверхизлучательной, оптически активна, у нее сила осциллятора и радиационное затухание возрастают по сравнению с одиночной ямой в N раз. Заметим, что формула (3.116)

138 Е.Л. Ивченко

применима в частотной области, в которой выполнено неравенство (3.115). Вне этой области конструктивная интерференция световых волн нарушается и необходимо использовать более сложные формулы (3.114) для rN и tN . Для резонансной брэгговской структуры зависимость спектральной ширины пика

отражения от N остается линейной вплоть до нескольких десятков квантовых

√

ям, пока N 0 = 2 2!0 0=, а затем насыщается до значения ширины фотонной запрещенной зоны , определенной согласно (3.108).

Согласно (3.116) в брэгговских структурах амплитуда и полуширина резонансного контура отражения должны сильно возрастать. Экспериментально резонансные брэгговские структуры изучались для гетеропар CdTe/CdMgTe, CdTe/CdZnTe, CdMnTe/CdZnMgTe, GaAs/GaAlAs, InGaAs/GaAs. На рис. 3.3a представлены спектры отражения от брэгговской и антибрэгговской структур. Во второй структуре полуширина и амплитуда пика отражения намного меньше, чем в первой структуре. Рис. 3.3b иллюстрирует эффекты гигантского возрастания силы осциллятора и спектрального уширения в квантовых ямах InGaAs/GaAs. Отступление от брэгговского условия на 15% приводит к полному видоизменению спектра. Линейность зависимости полуширины пика отражения от N (см. (3.117)) экспериментально проверялась в работе [14].

Независимой проверкой теории являются эксперименты с временным разрешением, которые показывают, что по сравнению с одиночной ямой сигнал отражения от брэгговской структуры высокого качества спадает после возбуждения коротким импульсом значительно быстрее [15].

Резонансная брэгговская структура служит примером резонансного одномерного фотонного кристалла. Фотонными кристаллами принято называть среды, у которых диэлектрическая проницаемость периодически меняется в пространстве с периодом, допускающим брэгговскую дифракцию света. В настоящее время физика фотонных кристаллов оформилась в самостоятельную область твердотельной оптической спектроскопии, в которой активно проводятся фундаментальные исследования, а также технологические поиски и разработки будущих технических применений.

Электрооптика гетероструктур

Здесь мы обсудим кратко эффекты внешнего электрического поля F на оптические свойства структур с квантовыми ямами и сверхрешетки. Воздействие поля F‖ ‖ (x; y), приложенного в плоскости интерфейсов, на свободные носители и экситоны в квантовой яме похоже на то, что происходит в объемном полупроводнике, а именно: свободные носители совершают дрейф и вносят вклад в электрический ток, а экситонные состояния становятся нестационарными уже в умеренных электрических полях F 103 − 104 В/см. Если поле приложено перпендикулярно к интерфейсам, F (x; y), то электронный транспорт в структуре с квантовой ямой отсутствует, так как ему препятствуют потенциальные барьеры, образованные разрывом зон на интерфейсах. Барьеры препятствуют также диссоциации экситона: экситонные состояния хо-

рошо определены вплоть до электрических полей F V=|e|a 105 В/см, где V — высота барьера, a — толщина ямы, тогда как энергия возбуждения экситона в таких полях может уменьшиться на величину, сопоставимую или даже превышающую 2D-экситонный ридберг. Этот сдвиг экситонного резонанса к красной области спектра получил название размерно-квантованного эффекта Штарка.

В периодической структуре с достаточно толстыми квантовыми ямами транспорт вдоль оси роста z подавлен, так как он может происходить только благодаря некогерентным туннельным прыжкам из одной ямы в другую. В короткопериодных сверхрешетках с трехмерным характером энергетического спектра свободных носителей электрическое поле F приводит к локализации носителей вдоль оси роста, называемой локализацией Ванье–Штарка. Размерное квантование и анизотропия, наведенная интерфейсными химическими связями в гетероструктурах, приводят к размерно-квантованному эффекту Поккельса.

Размерно-квантованный эффект Штарка

Индуцированное электрическим полем изменение энергии возбуждения 2D- экситона включает три вклада

где Ee1;h1 — изменение одночастичной энергии квантования и " — изменение энергии связи экситона. Штарковский сдвиг (3.118) главным образом определяется первыми двумя вкладами.

В слабом поле, таком что |eF|a (~2=2m*)( =a)2, сдвиг E электронного (или дырочного) уровня размерного квантования квадратичен по полю F ≡ Fz. Этот сдвиг можно рассчитать во втором порядке теории возмущений. Для

где z 1 — матричный элемент координаты z и E — не возмущенная полем энергия носителя тока в подзоне при kx = ky = 0. В симметричной квантовой яме состояния характеризуются определенной четностью и, следователь-

но, только четные вносят вклад в сумму (3.119). Для бесконечно высоких барьеров имеем z21 = (4=3 )2a, E2 − E1 = 3E1, E1 = (~2=2m*)( =a)2. В результате получаем оценку для вклада состояния = 2: E1 ≈ −C(eFa)2=E1 ; C = (1=3) (4=3 )4, где множитель C = 0:0108295::: незначительно отличается от точного ответа C = 0:0108152:::, получаемого с учетом остальных слагаемых в сумме (3.119).

Штарковская лестница в сверхрешетке

В 1960 г. Ванье предсказал, что под действием электрического поля трехмерные энергетические зоны совершенного кристалла превращаются в дискрет-

140 Е.Л. Ивченко

ный эквидистантный набор подзон, получивший название штарковской лестницы, а само явление называется локализацией Ванье–Штарка. Это явление впервые надежно удалось наблюдать в полупроводниковых сверхрешетках с периодом d, который намного превышает микроскопическую постоянную решетки.

Формирование штарковской лестницы в сверхрешетке легче всего понять в приближении сильной связи, когда перекрытие одноямных волновых функций в соседних ямах мало и электронную огибающую можно представить в виде

Здесь K‖ — волновой вектор в плоскости интерфейсов, индекс n нумерует ямы, 'n(z) = '(z − nd), '(z) — огибающая для размерно-квантованного состояния e в одиночной яме, центрированной в точке z = 0 (в дальнейшем= 1), S — площадь образца и N — полное число периодов в периодической структуре. Коэффициенты сильной связи удовлетворяют системе линейных уравнений

где E — энергия электрона, E0 ≡ Ee1 — энергия размерного квантования в одиночной яме, I — интеграл переноса между ближайшими ямами (для состояний e1 параметр I отрицателен) и F — электрическое поле Fz, предполагаемое для определенности положительным. Для блоховских электронов в невозмущенной сверхрешетке коэффициенты Cn пропорциональны exp (iKzdn) и электронная минизона имеет косинусоидальную дисперсию

В электрическом поле уравнение (3.121) для коэффициентов Cn можно преобразовать к виду

где для удобства введены безразмерные переменные x = 2|I|=|e|Fd и = (E −E0)=|e|Fd. Напомним, что функции Бесселя удовлетворяют рекуррентным соотношениям

Для решений системы уравнений (3.121), конечных при n → ±∞, собственное значение ≡ n0 есть целое квантовое число и эти решения можно выразить через функцию Бесселя

В результате электронная минизона в сверхрешетке разбивается на серию подзон, сдвинутых друг относительно друга на величину, кратную |eF|d. Протяженность электронной волновой функции вдоль направления роста определяется параметром F = =|eF|d. Квантовое число n0 совпадет с номером

квантовой ямы, в которой вероятность найти электрон в состоянии (3.125) максимальна. По мере удаления от этой ямы вероятность найти электрон убывает, оставаясь заметной при |n − n0| ≤ F , если F 1, или в пределах только n0-й ямы, если F < 1 (предел сильной локализации). В сверхрешетке

тока, индуцированного электрическим полем в сверхрешетке GaAs/AlGaAs. В спектрах, наряду с пиком, обусловленным внутриямными переходами с n = n′, наблюдается серия пиков с энергиями Enn′ = E00 + (n −n′)|e|Fd, отвечающими переходам между состояниями штарковской лестницы в зоне проводимости и валентной зоны. В сильном электрическом поле состояния свободных носителей в соседних ямах настолько сдвинуты по энергии, что носители оказываются локализованными практически в одной яме, коэффициенты Cn при n , n0 пренебрежимо малы, интегралы перекрытия для междузонных переходов с n′0 , n0 также малы и в спектре фототока видны только внутриямные переходы.

Магнитоэкситоны в структурах с квантовыми ямами

В приближении эффективной массы гамильтониан для экситона в полупроводнике, помещенном во внешнее магнитное поле B, можно представить в виде суммы невозмущенного гамильтониана и двух слагаемых, линейного и квадратичного по B. В слабом поле магнитооптические эффекты рассчитываются по теории возмущений по малому параметру = ~!c=2EB = aB= B, где !c = |e|B= ‖c — циклотронная частота с приведенной массой ‖ электрона и дырки при их движении в плоскости интерфейсов, EB и aB — энергия связи и боровский радиус экситонa, B = (~c=|e|B)1=2 — магнитная длина. При 1 учет линейного по полю слагаемого приводит к расщеплению экситонных спиновых уровней (эффект Зеемана), тогда как квадратичное слагаемое вызывает диамагнитный сдвиг Edia B2. В противоположном предельном случае очень сильных полей, когда 1, циклотронное движение свободных носителей квантуется с образованием уровней Ландау, характер движения электрона и дырки эффективно меняется с трехмерного на одномерный, а кулоновское взаимодействие рассматривается как возмущение. При междузонных оптических переходах квантовые числа Ландау N сохраняются (Nc = Nv), так что переходы идут вблизи энергетических зазоров

где N = 0; 1; 2; ::: . Магнитное поле приводит также к росту энергии связи и силы осциллятора экситона. В результате спектр поглощения состоит из серий линий, привязанных к энергиям Ecv;N . Такие квази-одномерные электронно-дырочные возбуждения существенно отличаются от обычных

142 Е.Л. Ивченко

трехмерных экситонов и называются диамагнитными экситонами. Учет электронно-дырочных возбуждений из континуума приводит к асимметричной форме каждого пика поглощения.

В структурах с квантовыми ямами движение носителей вдоль направления роста z квантуется и поэтому в сильном магнитном поле B ‖ z их состояния локализованы во всех трех направлениях. Плотность состояний в этом случае есть сумма -функций, а спектр поглощения состоит из отдельных пиков, ширина которых определяется однородным и неоднородным уширениями. Так как уширение происходит одинаково в сторону высоких и низких энергий, пики междузонного магнитопоглощения в квантовых ямах симметричны.

Мы обсудим эффект Зеемана и тонкую структуру экситонных уровней в следующем разделе, а здесь сосредоточимся на диамагнитном эффекте в структурах с квантовыми ямами в поле B ‖ z. При приближенном расчете огибающая волновой функции экситона e -h ищется в факторизованной

где огибающая F( e; h) удовлетворяет уравнению Шредингера с гамильтонианом

Здесь Ee , Eh — энергии размерного квантования, VC — эффективный кулоновский потенциал:

Решения для двухчастичной собственной функции можно искать в форме [17]

где = e − h, R‖ — положение центра масс в плоскости интерфейсов, P — обобщенный 2D-экситонный импульс и

Для экситонов e -h огибающая функция, описывающая относительное движение электрона и дырки, удовлетворяет уравнению

рассматриваем только аксиально симметричные экситонные состояния, возбуждаемые при нормальном падении света, полагаем импульс P, а значит, и зависящий от импульса сдвиг 0 равными нулю и ищем решения, не зависящие от азимутального угла, так что f ( ) ≡ f ( ). Это позволяет отбросить слагаемое в (3.131), пропорциональное , и свести к

В пределе слабого поля диамагнитный сдвиг s-состояний экситона с не зависящей от угла огибающей f ( ) дается выражением

где функция f ( ) рассчитана в отсутствие поля.

В очень сильном магнитном поле функцию относительного движения для аксиально-симметричных экситонов можно приближенно представить в виде

где " — энергия связи экситона, которая в рассматриваемом приближении определяется тройным интегралом

Аналитические результаты можно получить в пределе бесконечно высоких барьеров, узких ям и очень сильных магнитных полей, таких что a < B < aB. В этом случае получаем