где массы mhh; mlh совпадают с эффективными массами mhh, mlh тяжелых и легких дырок в объемном материале и определяют энергии размерного квантования Ehh ; Elh в одиночной яме. Две другие массы определены как

Они входят в приведенные эффективные массы в операторе eh (см. (3.47)) согласно

В пренебрежении смешиванием состояний тяжелых и легких дырок волновые функции экситонов e -hh ′ и e -lh ′ можно записать как

Здесь 0cs — спинорные блоховские функции ↑S , ↓S и hm0 — блоховские функции | 8; m в дырочном представлении. Пробные функции для экситонов e - hh ′ и e -lh ′ можно выбрать в виде

'lh( ; ze; zh) = flh( ; z) 'e (ze) 'lh ′ (zh) :

Расчет показывает, что модель негибридизированных дырочных состояний является хорошим приближением для “тяжелого” экситона e1-hh1, но приводит к заметной ошибке при расчете “легких” экситонов e1-lh1 и особенно

экситонов, образованных с участием тяжелой дырки из более высоких подзон hh ′.

3.3. Правила отбора при оптических переходах

3.3.1.Междузонные и внутризонные оптические переходы между подзонами размерного квантования

В данном разделе мы рассмотрим поглощение света в структурах с квантовыми ямами. Будем использовать кулоновскую калибровку, в которой скалярный потенциал равен нулю и электрическое и магнитное поля световой волны выражаются через векторный потенциал в виде E = −(1=c)@A=@t ; B = rot A (c — скорость света в вакууме). Для плоской монохроматической волны имеем

где !; q; A0 — частота, волновой вектор и амплитуда. Удобно записать вектор A0 как произведение вещественной (положительной) скалярной амплитуды A0 и единичного вектора поляризации e. Напомним, что для эллиптически поляризованного света вектор e комплексный. В случае квазимонохроматрической волны амплитуду векторного потенциала A0 или электрического поля E0 можно считать медленно меняющейся функцией времени. Состояние поляризации света характеризуется поляризационной матрицей плотно-

сти d = E0;E0*; , где ; = x; y, оси x; y лежат в плоскости, перпендикулярной направлению распространения света, а угловые скобки означают

усреднение по времени. Поляризационная матрица полностью задается тремя параметрами Стокса: степенью циркулярной поляризации Pc, степенью линейной поляризации Pl в осях x; y и степенью линейной поляризации P′l в осях x′; y′, повернутых вокруг оси z на угол 45 относительно осей x; y.

В линейной оптике оператор электрон-фотонного взаимодействия равен −(e=2cm0)[pAˆ (r; t) + A(r; t)pˆ], где pˆ — оператор импульса −i~ . В дипольном приближении координатной зависимостью вектора A пренебрегается и оператор возмущений принимает форму

−(eA0=c) (e e−i!t + e*ei!t) vˆ ;

где e — заряд электрона (e < 0), оператор скорости vˆ = −i~ =m0, m0 — масса свободного электрона.

При прямом междузонном оптическом поглощении в нелегированной структуре электроны под действием света совершают переходы из заполненной валентной зоны в незаполненную зону проводимости. Иными словами, поглощение фотона сопровождается генерацией электронно-дырочной пары. Используя золотое правило Ферми, получаем для темпа междузонных оптических переходов между валентной подзоной v ′ и подзоной зоны проводимости e (количество переходов в единицу времени на единицу площади структуры)

Здесь I = (n!!2=2 c)A20 — интенсивность света, n! — показатель преломления на частоте !, s и m — спиновые индексы, ve s;e ′m(k‖) — матричный элемент оператора скорости, Ev ′mk — энергия электрона в валентной подзоне в электронном представлении. Напомним, что она взаимосвязана с соответствующей дырочной энергией соотношением Ev ′mk‖ = −Ehj ′m¯ ;−k‖ , где j = hh; lh и черта над m означает спин −m. При выводе (3.59) пренебрегалось кулоновским взаимодействием между фотоэлектроном и фотодыркой. Экситонные эффекты обсуждаются в следующем разделе.

Мы ограничимся переходами в окрестности -точки. Если пренебречь зависимостью матричного элемента оператора скорости от k‖, то его можно

записать как произведение

Второй множитель является междузонным матричным элементом оператора скорости, рассчитанным на блоховских функциях 0n(r) ≡ un(r) в -точке:

где 0 — объем элементарной ячейки.

В пренебрежении спиновым расщеплением электронных состояний выражение для темпа генерации упрощается:

где — постоянная тонкой структуры e2=~c ≈ 1=137:04, ge;h ′ (E) — приведенная плотность состояний, определенная без учета вырождения состояний по спину. Для иллюстрации аппроксимируем дисперсию свободных носителей в подзонах e и h ′ параболической зависимостью

где Ec0; Ev0 — положение дна зоны проводимости и потолка валентной зоны в объемном материале A, Ee и Eh — энергии размерного квантования. При такой зонной структуре приведенная плотность состояний (3.64) есть ступенька

где eh — приведенная эффективная масса, (x) — функция, принимающая значения 1 при положительных и 0 при отрицательных x, E0 ′ — энергетический

зазор между подзонами e и h ′, равный сумме Eg + Ee + Eh ′ , и Eg = Ec0 − Ev0. Заметим, что фундаментальный край оптического поглощения в структуре с

квантовой ямой

EgQW ≡ E110 = Eg + Ee1 + Eh1 :

В структуре с квантовой ямой, выращенной из полупроводников с изотропными эффективными массами электрона и дырки, в приближении бесконечно высоких барьеров огибающие 'e и 'h идентичны, так как они не

124 Е.Л. Ивченко

зависят от эффективных масс. По определению каждый из этих наборов ортонормирован и мы приходим к правилу отбора

Следовательно, в этом случае междузонные оптические переходы происходят между подзонами с совпадающими индексами и ′.

При учете конечной высоты барьеров величина эффективной массы влияет на форму огибающей функции и наборы этих функций для электронов и дырок различаются. Тем не менее, это различие не носит решающего характера и можно пользоваться следующими смягченными правилами отбора

В прямоугольных квантовых ямах сверхструктурный квантующий потенциал обладает центром симметрии и междузонные переходы между состояниями

согибающими 'e ; 'h ′ противоположной четности запрещены точно.

Вобъемном полупроводнике с простой зонной структурой прямые внутризонные оптические переходы запрещены, так как при таких переходах нельзя одновременно удовлетворить законам сохранения импульса и энергии. Поэтому внутризонное поглощение фотона может происходить при участии “третьей частицы”, фонона, другого носителя или статического дефекта. Такой процесс называется непрямым и описывается во втором порядке теории возмущений. Размерное квантование преобразует энергетический спектр свободных носителей в подзоны в квантовых ямах или минизоны в сверхрешетках. В результате появляется дополнительный механизм поглощения, обусловленный прямыми оптическими переходами между подзонами или минизонами. Приведем выражение для темпа прямых межподзонных переходов e1 → e2 в квантовой яме n-типа

×( fe1sk‖ − fe2s′k‖ ) (Ee2s′k‖ − Ee1sk‖ − ~!) :

Здесь s; s′ — спин электрона в начальном и конечном состоянии, fe sk‖ — функция распределения электрона, остальные обозначения очевидны.

Для композиционных полупроводников с простой зонной структурой межподзонный матричный элемент оператора скорости определяется выражением

Для прямоугольных квантовых ям в пределе бесконечно высоких барьеров это выражение упрощается: