в себя. Особые линии в направлениях [100], [110], [111] (в кубических кристаллах эти направления перпендикулярны к плоскостям с одноименными индексами, показанным на рис. 1.5) обозначаются буквами , , . Эти линии инвариантны относительно операций отражения. Точки пересечения этих линий с гранями зоны Бриллюэна обозначаются буквами X, R, M.

В трехмерной кристаллической решетке обратная эффективная масса является в общем случае тензором второго ранга с компонентами

Эффективная масса в общем случае анизотропна (направление ускорения частицы не совпадает с направлением приложенной внешней силы). Учитывая, что порядок дифференцирования не влияет на величину @2Å/@ki@kj, получаем

Это значит, что тензор обратной эффективной массы может быть приведен в диагональному виду, т. е. при соответствующем выборе системы координат все его недиагональные элементы будут равны нулю. Основные представления электронной теории твердого тела изложены в монографиях и учебных пособиях [5–12].

1.1.2. Электромагнитные волны в кристаллических структурах

Одномерный случай

По аналогии с предыдущим разделом рассмотрим свойства электромагнитных волн в среде с периодическим изменением диэлектрической проницаемости "(x) = "(x+a) вдоль направления распространения (рис. 1.6). Волновое уравнение

В уравнениях (1.22)–(1.24) ! – частота поля, t – время. Уравнение Гельмгольца (1.24) математически изоморфно уравнению Шредингера (1.2). Как и в случае уравнения (1.2), уравнению (1.24) удовлетворяют функции E(x), которые имеют вид амплитудно-модулированной плоской волны

10 С.В. Гапоненко

Рис. 1.6. Оптический аналог квантовомеханической модели Кронига–Пенни: слоистая периодическая среда.

а состояния поля Ekm (x), различающиеся значениями волнового числа km = k ± 2 m=a (m – целое число) оказываются эквивалентными. Функция Ek(x) удовлетворяет условию периодичности Ek(x) = Ek(x + a).

Как и в случае одноэлектронной задачи квантовой механики, периодичность среды приводит к появлению разрывов на дисперсионной кривой !(k) и образованию интервалов k, для которых нет решений уравнения (1.24) в виде бегущих волн. Точки разрыва функции !(k) соответствуют стоячим волнам с концентрацией энергии поля либо в подрешетке с низким значением ", либо в подрешетке с высоким значением ". Эти свойства иллюстрируются на рис. 1.7–1.9. Обсудим их подробнее.

ω

Рис. 1.7. Дисперсионные кривые для электромагнитных волн в однородной (а) и в периодической (б) средах. Показана часть кривых, соответствующая положительным волновым числам. Диаграмма (в) получена из диаграммы вида (б) перемещением 2 верхних ветвей дисперсионной кривой вдоль оси k влево и вправо на величины, кратные 2=a.

На рис. 1.7a показана дисперсионная кривая для электромагнитных волн в вакууме

и в сплошной среде с показателем преломления n = √", который не зависит от частоты (магнитная проницаемость среды полагается равной 1),

В среде с периодическим изменением n на дисперсионной кривой возникают разрывы для всех значений волнового числа km = m =a, где m – целое положительное или отрицательное число. На рис. 1.7б показан интервал [0, 2 /a] с разрывом в точке k = =a. Все волновые числа, отличающиеся на величину 2m /a; оказываются эквивалентными. Как отмечалось ранее, это позволяет ввести понятие зоны Бриллюэна – интервала шириной 2 /a, содержащего все неэквивалентные значения k. Для удобства, как и в случае электронов, зоны Бриллюэна выбирают симметрично относительно начала координат (см. выражение (1.7)).

По аналогии с рис. 1.2б для электрона в случае электромагнитных волн можно также переместить различные ветви дисперсионной кривой в первую зону Бриллюэна и рассматривать так называемую приведенную дисперсионную кривую, показанную на рис. 1.7в.

При небольших значениях волнового числа (k << =a) дисперсионная кривая не отличается от случая сплошной среды. С увеличением k скорость распространения волны d!/dk уменьшается и при k→ /a производная d!/dk стремится к нулю. В точке /a имеем стоячую волну, причем возможны стоячие волны двух типов. В первом случае поле сосредоточено в подрешетке с высоким значением n, а во втором – в подрешетке с низким значением n. С этим и связано происхождение разрыва на дисперсионной кривой. За разрывом при увеличении k дисперсионная кривая снова приближается к прямой линии, присущей сплошной среде.

Сплошным участкам дисперсионной кривой соответствуют блоховские волны, а для запрещенных интервалов частот волновые решения отсутствуют. Эти свойства присущи всем периодическим средам (а не только слоистым) и всем волнам, подчиняющимся уравнению (1.24), например акустическим.

При рассмотрении конечных периодических диэлектрических структур возможно точное численное решение уравнения (1.24) и построение пространственного распределения поля в среде. На рис. 1.8 в одной шкале частот представлены зависимость !(k) и спектр пропускания T (!), а на рис. 1.9, 1.10

– распределение поля на частотах !1 и !2, соответствующих краям разрешенных зон (полос пропускания) и на частоте !0 в центре запрещенной зоны (полоса отражения). В каждой полосе пропускания число резонансных пиков равно числу периодов в среде. Им соответствуют дискретные точки на графике !(k). На рис. 1.9 видно, что на границах полос пропускания максимумы амплитуды поля находятся в разных подрешетках периодической многослойной структуры. Наличие запрещенного интервала частот ! = !2 −!1 приводит к

12 С.В. Гапоненко

Рис. 1.8. Зависимость частоты от волнового числа (а) и спектр пропускания (б) для конечной слоистой периодической структуры. Число пиков пропускания в пределах одной зоны Бриллюэна равно числу периодов в структуре. Ширина полосы отражения (запрещенной зоны) растет с ростом отношения диэлектрических функций сред А и В.

Рис. 1.9. Пространственное распределение поля в периодической слоистой среде для полос пропускания непосредственно вблизи границ полосы отражения !1 (а) и !2 (б). Расчеты С.В. Жуковского. Пространственное распределение показателя преломления показано серым цветом.

появлению полосы сильного отражения. Для среды без диссипации электромагнитной энергии, т.е. с чисто действительным показателем преломления, нулевое пропускание в интервале ! = !2 −!1 на рис. 1.8 означает 100%-ное отражение волны от границы раздела сплошной диэлектрик–периодическая среда. Распространение поля внутри среды в полосе отражения описывается экспоненциально затухающей функцией (рис. 1.10). Этот случай аналогичен отражению электромагнитных волн от границы диэлектрик–металл, при котором поле также экспоненциально затухает внутрь металла. Квантовомеханической аналогией является отражение частицы от потенциального барьера с экспоненциальным просачиванием волновой функции внутрь барьера.

Рис. 1.10. Распределение поля в конечной периодической структуре на частоте !0, построенное на фоне пространственного профиля показателя преломления. Расчеты А.Г. Смирнова.

Для любой конечной периодической структуры коэффициент пропускания в полосе отражения хотя и мал, но отличен от нуля. Этот эффект аналогичен частичной прозрачности тонких металлических пленок, а также туннельному эффекту, известному в квантовой механике с 1928 г. [13]. В квантовой механике туннелирование частицы происходит благодаря тому что волновая функция частицы не обращается в нуль на границе барьера, а экспоненциально затухает в глубь барьера. Таким образом, можно говорить о туннельном характере распространения электромагнитного поля в периодической среде в полосе отражения.

Ширина запрещенной зоны ! = !2 − !1 растет с увеличением разности показателей преломления материалов, формирующих решетку. Существует один практически важный частный случай периодических слоистых структур, образованных слоями равной оптической толщины

В этом случае центральная частота !0=2 / 0 в полосе отражения определяется из так называемого четвертьволнового условия

а спектр пропускания является периодической функцией частоты с периодом 2!0.

Спектральные свойства сред с периодическим изменением показателя преломления вдоль одного направления исследованы достаточно хорошо в связи с использованием слоистых тонкопленочных структур для изготовления зеркал и интерференционных фильтров. Анализ их свойств содержится, например, в работах [14–16].

14 С.В. Гапоненко

При приближении к границам зоны Бриллюэна нелинейная зависимость частоты от волнового числа приводит к отличной от нуля второй производной d2!/dk2. Переходя от частоты ! к энергии фотона E = ~!, получаем

что в соответствии с (1.9)–(1.12) позволяет говорить о появлении эффективной массы у фотона (электромагнитной волны). Как отмечалось в разделе 1.1.1, введение эффективной массы для электрона позволяет описать реакцию на внешнее поле, вызывающее его ускорение. В случае электромагнитных волн (фотонов) возможность силового воздействия, при котором проявилась бы эффективная масса, по-видимому, отсутствует. Электромагнитную волну нельзя “разгонять” вдоль дисперсионной кривой, подобно классической частице, связь энергии и частоты с волновым числом (импульсом) “статична”, она лишь указывает на дозволенные состояния фотона (электромагнитные моды), которые могут существовать в среде. Более детальное обсуждение проблемы эффективной массы фотона выходит за рамки настоящей работы. Возможно, к электромагнитным волнам в периодических средах можно применить подход, предложенный при обсуждении сложного закона дисперсии электромагнитных волн в волноводах [17]. В этом случае масса фотона, возникающая при локализации поля в волноводе, рассматривается как эквивалент энергии, высвобождаемой при его делокализации. Понятно, что и в периодических средах нелинейная зависимость частоты от волнового числа связана с локализацией поля, и при снятии условий, вызывающих локализацию (например, при уменьшении разницы показателей преломления или при увеличении периода структуры) произойдет высвобождение энергии (переход от локализованного к делокализованному распределению поля в пространстве). Нельзя исключить, что последовательное рассмотрение свойств излучения в периодических средах и анализ мысленных экспериментов может стимулировать развитие и уточнение наших представлений о квантах электромагнитного поля [18].

Рис. 1.11. Примеры периодических диэлектрических структур: двумерная квадратная решетка цилиндрических пор (а) и трехмерная кубическая решетка диэлектрических шаров (б).

Обобщение на 2- и 3-мерные структуры

В средах с периодическим изменением диэлектрической проницаемости в 2 или 3 измерениях

где R – вектор трансляции (1.15). При условии = 1 (немагнитные среды) волновые уравнения для электрического и магнитного полей принимают вид (см., например, [19])

где D – вектор электрического смещения, а H – вектор напряженности магнитного поля. При записи уравнений (1.32) и (1.33) в виде задачи на собственные значения, соответствующий оператор в уравнении для магнитного поля оказывается эрмитовым, а оператор для электрического поля – нет. Поэтому расчет зонной структуры проводят на основе численного решения уравнения (1.33) [19, 20]. В расчетах используются различные 2- и 3-мерные решетки с параметрами, присущими реальным диэлектрикам и полупроводникам (табл. 1.1). С целью получения в расчетах запрещенной зоны для всех

Таблица 1.1. Параметры полупроводников и диэлектриков в оптическом диапазоне электромагнитных волн (для полупроводников указаны значения запрещенной зоны Eg и соответствующей длины волны в вакууме g; при < g оптическое излучение поглощается).

направлений распространения волн проводится оптимизация структур (симметрия решетки и материалы). Эта задача оказывается достаточно сложной.

16 С.В. Гапоненко

В структурах с периодичностью " в одном направлении для этого направления всегда возникает запрещенная зона даже при незначительном пространственном изменении ". В 2- и 3-мерных диэлектрических решетках реализация запрещенной зоны во всех направлениях требует специальной топологии и применения материалов с максимальными значениями " > 10 (Ge, Si, InP, GaAs). Сравнивая свойства электронов в кристаллических материалах со свойствами электромагнитных волн, можно отметить следующее характерное отличие. Наличие заряда у электрона приводит к сильному рассеянию на ионах кристаллической решетки и, соответственно, к большим скачкам потенциала в уравнении Шредингера (1.2) и формированию запрещенных зон. Оптическая прозрачность природных и искусственых кристаллов диэлектриков и широкозонных полупроводников обусловлена, как известно, именно наличием в них электронной запрещенной зоны. Электромагнитные волны в отличие от электронов рассеиваются не на зарядах, а на скачках диэлектрической функции. Отсутствие величины, аналогичной заряду, затрудняет формирование сильных локальных центров рассеяния электромагнитных волн для оптического и, по-видимому, радиодиапазонов. В области рентгеновского и гамма–излучения ситуация еще хуже. Как известно, рентгеновское и гаммаизлучение рассеивается материальными объектами еще слабее, чем свет и радиоволны.

(б)

, отн. ед.

(a)

Рис. 1.12. Зонная структура двумерной треугольной решетки воздушных пор в диэлектрике с " = 13 (а), первая зона Бриллюэна и структура решетки (б)[21]

Рассмотрим примеры расчетов для некоторых модельных структур. Для двумерных структур Иоаннопулос с сотрудниками [19, 21] показал, что запрещенная зона возникает для всех направлений в треугольной решетке полых цилиндров (рис. 1.12) при использовании в качестве матрицы материала с " = 13 (арсенид галлия). При меньших значениях " реализация запрещенной зоны труднодостижима. По-видимому, такая треугольная двумерная решетка обладает параметрами, близкими к оптимальным для формирования

18 С.В. Гапоненко

Таблица 1.2. Значения фактора заполнения f , при которых достигается максимальная относительная ширина запрещенной зоны !=! для двумерных решеток различной геометрии, образованных рассеивателями различной формы (по данным [22]). Рассматривается пара материалов с " = 13 (GaAs) и " = 1 (воздух). a–f – решетки воздушных пор в диэлектрике, g–i – решетки диэлектрических цилиндров в воздухе.

Для трехмерных структур выполнена серия расчетов для решеток, образованных плотными упаковками диэлектрических шаров, а также для трехмерных реплик таких решеток (инвертированных решеток) [19, 20, 23–26]. Анализ различных топологий 3-мерных структур выявил следующие закономерности формирования запрещенной зоны для всех направлений. При одинаковой геометрии решетки (простая кубическая, гранецентрированная кубическая, объемноцентрированная кубическая) предпочтительными являются структуры, представляющие собой диэлектрические компоненты в воздухе с незначительной объемной долей заполнения (0.2–0.3). При равных объемных долях заполнения преимущество имеют решетки, в которых диэлектрическая фракция образует непрерывную пространственную структуру. Например, структура, состоящая из небольших (по сравнению с периодом решетки) диэлектрических шаров в узлах кубической решетки, обладает большей шириной запрещенной зоны !/!, если шары соединены диэлектрическими стержнями.

Из различных видов кубических решеток наибольшей запрещенной зоной при прочих равных параметрах структуры обладает решетка типа алмаза, являющаяся разновидностью гранецентрированной кубической решетки. Для такой решетки, образованной плотной упаковкой диэлектрических шаров, расчеты [24, 25] показали, что запрещенная зона для всех направлений возникает при отношении показателей преломления шаров и среды между ними ndiel=nair ≥ 2. Для получения максимального величины !=! большое значение имеет объемная доля заполнения f диэлектрика с высоким показателем преломления [24]. Так, например, для решетки типа алмаза, построенной из диэлектрических шаров с ndiel=nair = 3:6 запрещенная зона возникает при f = 0:2, достигает своего максимального значения !=! = 0:15 при f = 0:35,