3. Оптика квантовых ям и сверхрешеток

Е.Л. Ивченко

Физико-технический институт им. А.Ф. Иоффе РАН

ivchenko@coherent.ioffe.ru

3.1. Классификация гетероструктур

В настоящее время сложилась устойчивая терминология низкоразмерной физики полупроводников. Перечислим и кратко охарактеризуем различные гетероструктуры и сверхрешетки, указывая в скобках соответствующий термин и сокращение на английском языке.

Систематику удобно начать с одиночного гетероперехода между двумя композиционными материалами — полупроводниками A и B (single heterojunction). Один или оба композиционных материала могут быть твердыми растворами, например, Al1−xGaxAs или Cd1−xMnxTe. Приведем примеры гетеропар A/B: GaAs/Al1−xGaxAs, In1−xAlxAs/Ga1−yAlyAs, InAs/AlSb, Ga1−xInxAs/InP, CdTe/Cd1−xMnxTe, Zn1−xCdxSe/ZnSySe1−y, ZnSe/BeTe, ZnSe/GaAs, Si1−xGex/Si и т.д. Здесь индексы x; 1 − x или y; 1 − y означают долю атомов определенного сорта в узлах кристаллической решетки или какой-либо из подрешеток. По определению, в гетеропереходах типа I запрещенная зона Eg одного из композиционных материалов лежит внутри запрещенной зоны другого материала. В этом случае потенциальные ямы для электронов или дырок расположены в одном и том же слое, например, внутри слоя GaAs в гетероструктуре GaAs/Al1−xGaxAs с x < 0:4. Пусть материал A характеризуется меньшей запрещенной зоной, т.е. EgA < EgB. Тогда высота потенциального барьера на интерфейсе A/B составляет Vc = EcB − EcA для электронов и Vh = EvA −EvB для дырок, где Ecj; Evj — энергетическое положение дна зоны проводимости c и потолка валентной зоны v в материале j = A, B. Сумма Vc +Vh равна разности EgB −EgA. В широко применяемой гетеросистеме GaAs/Al1−xGaxAs отношение потенциальных барьеров Ve=Vh составляет 1.5.

В структурах типа II дно зоны проводимости Ec ниже в одном, а потолок валентной зоны Ev выше в другом материале, как в случае GaAs/Al1−xGaxAs с x > 0:4, InAs/AlSb или ZnSe/BeTe. Для указанных гетеропар запрещенные зоны EgA и EgB перекрываются. Имеются также гетеропереходы типа II (например, InAs/GaSb), у которых запрещенные зоны не перекрываются и дно зоны проводимости в одном материале лежит ниже потолка валентной зоны в другом материале. К типу III относят гетеропереходы, в которых один из слоев является бесщелевым, как в случае пары HgTe/CdTe.

106 Е.Л. Ивченко

Ve

Vh

Рис. 3.1. Зонная схема структуры с одиночной квантовой ямой (a) и одиночным барьером (b). Ve;h — высота потенциального барьера (или разрыв зон) на интерфейсе в зоне проводимости и валентной зоне соответственно.

Двойной гетеропереход B/A/B (double heterojunction) типа I представляет собой структуру с одиночной квантовой ямой, если EgA < EgB (single quantum well (SQW), рис. 3.1a), или структуру с одиночным барьером, если EgA > EgB (рис. 3.1b). В широком смысле квантовой ямой называют систему, в которой движение свободного носителя, электрона или дырки, ограничено в одном из направлений. В результате возникает пространственное квантование и энергетический спектр по одному из квантовых чисел из непрерывного становится дискретным. Ясно, что двойная гетероструктура типа II является структурой с одиночной квантовой ямой для одного сорта частиц, скажем, для электронов, и структурой с одиночным барьером для носителя заряда противоположного знака. Наряду с прямоугольными квантовыми ямами, представленными на рис. 3.1, можно выращивать ямы другого профиля, в частности параболического или треугольного.

d

Рис. 3.2. Зонная схема периодической структуры с квантовыми ямами (если барьеры широкие) или сверхрешетки (если барьеры тонкие).

Естественным развитием однобарьерной структуры являются двух- (double-) и трехбарьерные (triple-barrier) структуры. Аналогично от одиночной квантовой ямы естественно перейти к структуре с двумя (double QWs) или тремя (triple QWs) квантовыми ямами и структурам с целым набором изолированных квантовых ям (multiple quantum wells (MQWs)), рис. 3.2). Даже если в такой структуре барьеры практически непроницаемы, двухчастичные электронные возбуждения, экситоны, в различных ямах могут быть связаны через электромагнитное поле, и присутствие многих ям существенно влияет на оптические свойства структуры (см. раздел 3.4). По мере того как барьеры становятся тоньше, туннелирование носителей из одной ямы в другую становится заметнее. Таким образом, с уменьшением толщины b квази-двумерные состояния (2D-состояния), или состояния в подзонах (subband) размерного квантования изолированных ям, трансформируются в трехмерные минизонные (miniband) состояния. В результате периодическая структура изолированных квантовых ям, или толстобарьерная сверхрешетка, превращается в тонкобарьерную сверхрешетку, или просто сверхрешетку (superlattice (SL)). Формирование минизон становится актуальным, когда период сверхрешетки d = a + b становится меньше длины свободного пробега носителя заряда в направлении оси роста структуры (в дальнейшем ось z). Эта длина может зависеть от сорта носителя, в частности, из-за различия эффективных масс электрона и дырки. Поэтому одна и та же периодическая структура с квантовыми ямами может быть одновременно как сверхрешеткой для более легких носителей, обычно это электроны, так и структурой с набором изолированных ям для другого сорта носителей, например тяжелых дырок. Последние также могут перемещаться вдоль оси роста, однако это движение носит не когерентный характер, а представляет собой цепочку некогерентных туннельных прыжков между соседними ямами.

Строго говоря, по определению сверхрешетки толщины слоев a и b должны существенно превышать постоянную кристаллической решетки a0. В этом случае для описания электронных состояний можно использовать метод эффективной массы или, в более широком смысле, метод плавных огибающих. Тем не менее, полезно в поле зрения физики низкоразмерных систем в качестве предельного случая включить “ультратонкую” сверхрешетку AmBn, например (GaAs)m(AlAs)n с m; n = 2 − 4 и даже полупроводниковое соединение типа (GaAs)1(AlAs)1, т.е. GaAlAs2.

Аналогично приведенной выше классификации гетероструктур по взаимному выстраиванию запрещенных зон EgA и EgB каждая сверхрешетка принадлежит к одному из трех типов, соответственно типу I, II и III. Сверхрешетки, состоящие из чередующихся слоев различных материалов, называются композиционными. Первоначально для создания квантовых ям и сверхрешеток подбирались гетеропары с практически одинаковыми постоянными решетки, например пара GaAs/AlGaAs. Структуры с рассогласованием постоянной решетки a0=a0, не превышающим 0:01, называются согласованными, или ненапряженными. Совершенствование технологии роста позволило получить без-

108 Е.Л. Ивченко

дислокационные сверхрешетки и при заметном рассогласовании постоянных решетки. В таких многослойных структурах, по крайней мере, один из слоев, A или B, должен быть достаточно тонким, чтобы согласование кристаллических решеток происходило за счет внутреннего напряжения, сжатия одного из слоев и, возможно, растяжения другого. Структуры с квантовыми ямами и сверхрешетки с a0=a0 ≥ 0:01 называются напряженными. В композиционных спиновых сверхрешетках один или оба слоя A и B содержат магнитные примеси или ионы. Примером служит гетероструктура CdTe/CdMnTe.

Наряду с композиционными сверхрешетками, образованными периодическим изменением состава, сверхрешетки могут создаваться модулированным легированием донорной и/или акцепторной примесью. Такие сверхрешетки, в частности сверхрешетка n-GaAs/p-GaAs или nipi-структура, называются легированными.

3.2. Размерное квантование электронных состояний

В настоящее время разработаны изощренные методы компьютерного расчета квантовых состояний в наноструктурах, основанные на микроскопических моделях псевдопотенциала или сильной связи. В данной главе мы будем исходить из приближенного метода эффективной массы (в случае простых зон) или эффективного гамильтониана (для вырожденных зон или в многозонной модели), более наглядного и позволяющего получать аналитические результаты. В приближенных подходах огибающая волновой функции электрона внутри каждого слоя многослойной структуры записывается в виде суперпозиции линейно независимых объемных решений, а для сшивки на гетерограницах вводятся граничные условия для этой огибающей и ее производной по нормальной координате.

Электронные подзоны в квантовых ямах

Расчеты электронных состояний в полупроводниковых наноструктурах, выполняемые в методе эффективной массы, выглядят часто как практические занятия по квантовой механике. Мы начнем с простейшей структуры с одиночной квантовой ямой A с толщиной a, заключенной между полубесконечными барьерами B. В случае простой зоны проводимости, изотропной и параболической, огибающая записывается в виде

Здесь z — главная ось структуры, k‖ — двумерный волновой вектор с компонентами kx и ky, он описывает движение электрона в плоскости интерфейсов (x; y), S — площадь образца в этой плоскости. Зависящая от z огибающая '(z) удовлетворяет следующему уравнению Шредингера:

110 Е.Л. Ивченко

Они обеспечивают непрерывность огибающей функции '(z) и потока частиц через интерфейс. Для решения (3.4) эти граничные условия приводят к системе двух линейных однородных уравнений для коэффициентов C и D

Отсюда простые выкладки приводят к трансцендентному уравнению для энергии четных решений

Для нечетных решений огибающая '(z) имеет вид

Коэффициент C находится из нормировочного условия (3.5) и может быть представлен как

для решений произвольной четности. Известно, что в симметричной одномерной потенциальной яме всегда имеется хотя бы одно размерноквантованное состояние. Поэтому при конечной высоте барьеров энергетический спектр электрона состоит из конечного числа подзон размерного квантования e ( = 1; :::; N) и континуума (электронные состояния с E − ~2k‖2=2mB > Ve). При совпадающих эффективных массах mA и mB дисперсия Ee k‖ параболическая, как в однородных композиционных материалах. При относительно небольшом различии масс mA и mB дисперсия подзон почти параболическая.

В пределе бесконечно высоких барьеров, Ve → ∞, размерно-квантованные значения волнового вектора

√

√

k = 2mAE=~2 − k‖2 ≡ 2mAEz

и энергии E принимают значения

где = 1; 3; :::; 2n + 1; ::: для четных решений и = 2; 4; :::; 2n; ::: для нечетных.

Подзоны тяжелых и легких дырок

В пренебрежении спином и спин-орбитальным взаимодействием (нерелятивистское приближение) состояния в точке на дне зоны проводимости и в потолке валентной зоны объемных полупроводников типа GaAs характеризуются симметрией s- и p-типов. Соответствующие орбитальные, или координатные, функции обозначаются в виде S (r) ≡ S и X; Y; Z, они образуют базис неприводимых представлений 1 и 15 группы Td. Напомним, что эти функции периодичны с периодом решетки цинковой обманки, так что, например, X(r + ai) = X(r), где ai — любой их трех базисных векторов решетки Браве. Учет спина удваивает число состояний в -точке и их можно представить в виде ↑ S , ↓ S (неприводимое спинорное представление 6) в зоне проводимости и ↑ X; ↑ Y; ↑ Z; ↓ X; ↓ Y; ↓ Z в валентной зоне, где ↑ и ↓ — спиновые столбцы.

Спин-орбитальное взаимодействие приводит к расщеплению 6 валентных состояний на квартет и дублет, преобразующиеся при операциях группы Td по неприводимым спинорным представлениям 8 и 7. По аналогии со спинорбитальным расщеплением p-уровня атома водорода состояниям 8 приписывают полный угловой момент J = 3=2 с проекциями момента на ось z, равными m = ±3=2; ±1=2. По этой причине блоховские функции 8 удобно обозначать как | 8; m . В дальнейшем мы используем канонический базис

для представления 8, преобразующийся как четверка сферических функций

Y3=2;m.

Эффективный гамильтониан для электронов в валентной зоне 8 представляет собой матрицу размерности 4×4, в базисе (3.13) он принимает вид

где

H = −Dkz(kx − iky) ;

x; y; z — кристаллографические оси [100], [010] и [001]. Эта матрица, называемая гамильтонианом Латтинжера и зависящая от трех зонных параметров A; B и C, может быть получена во втором порядке kp-теории возмущений или по методу инвариантов. Она описывает энергетический спектр и электронные (дырочные) состояния в окрестности точки k = 0 в зоне 8 полупроводников с решеткой цинковой обманки, таких как GaAs, InP, CdTe, ZnSe, и в зоне 8+ центросимметричных полупроводников с решеткой алмаза (Ge, Si). Заметим, что симметрия запрещает нечетные члены в разложении гамильтониана по степеням k в кристаллах с центром инверсии, но разрешает такие члены в кристаллах класса Td.

Дисперсионное уравнение Det|| m( ′m8)

определяющими дисперсию двух энергетических ветвей. В большинстве полупроводников с решеткой цинковой обманки зонный параметр A < 0, ветви Ehh;lh ниспадающие и эффективные массы ~2k2=2Ehh;lh отрицательные. Иногда вместо электронного представления (3.14) гамильтониана Латтинжера с отрицательными массами удобнее использовать дырочное представление с положительными массами и заменить ( 8) на − ( 8). Энергия в дырочном

представлении будет отмечаться верхним индексом h. Обычно значения A; B

√

and D= 3 близки друг к другу, так как kp-смешивание валентной зоны 8 с нижней зоной проводимости 6 самое сильное. В результате дырочная ветвь, обозначаемая сокращенно как hh, обладает слабой дисперсией, т.е. характеризуется тяжелой эффективной массой, и называется подзоной тяжелых дырок. Другая ветвь, обозначаемая lh, получила название подзоны легких дырок. Заметим, что подзоны тяжелых и легких дырок в объемных полупроводниках являются трехмерными зонами и этот термин не следует путать с подзонами размерного квантования в одно- и двумерных наноструктурах.

В методе эффективного гамильтониана волновая функция электрона разлагается по блоховским состояниям вблизи точки экстремума, в данном случае вблизи точки , и записывается в виде суммы произведений плавно меняющихся огибающих на блоховские функции (3.13):

m

В структурах с квантовыми ямами огибающие m, представленные в форме четырехкомпонентного столбца , удовлетворяют матричному уравнению Шредингера

Здесь эффективный гамильтониан включает гамильтониан Латтинжера

гональным компонентам ( 8). Простейшие граничные условия, накладываемые на m(r), являются обобщением граничных условий (3.6)

В гетероструктурах, выращенных в направлении [001], состояния тяжелых и легких дырок при kx = ky = 0 квантуются независимо так же, как в случае простой зоны проводимости, и в квантовых ямах формируются две серии дырочных состояний hh и lh , характеризуемых проекциями углового момента Jz = ±3=2 и ±1=2 соответственно. При отличном от нуля значении двумерного волнового вектора k‖ недиагональные компоненты гамильтониана Латтинжера приводят к смешиванию состояний тяжелых и легких дырок и порождают сильную непараболичность дырочных подзон. В квантовых ямах с идеальными интефейсами огибающую можно факторизовать,

выделив плоскую волну, описывающую движение дырки в плоскости (x; y). Здесь F — четырехкомпонентный столбец, зависящий от z и k‖. В отсутствие магнитного поля решения уравнения (3.18) в каждой подзоне hh ; lh при заданном волновом векторе k‖ двукратно вырождены. Будем обозначать дырочные подзоны в виде Ehh;k‖ ; Elh;k‖ в соответствии с подзонным индексом hh или lh при k‖ = 0.

В пренебрежении недиагональными членами в гамильтониане Латтинжера, т.е. в пренебрежении гибридизацией тяжелых и легких дырок, подзоны hh и lh являются параболами (см. (3.15))

где E0j = Ehj;k‖=0 ( j = hh; lh). Смешивание дырочных состояний приводит к антипересечению этих параболических подзон и даже к немонотонной дисперсии некоторых из них.

114 Е.Л. Ивченко

Влияние непараболичности энергетического спектра в объемном полупроводнике на размерное квантование электронов и дырок в наноструктурах естественно учитывается в многозонной модели. В частности, в модели Кейна огибающая волновой функции электрона в зоне проводимости удовлетворяет дифференциальному уравнению второго порядка

Eg — ширина запрещенной зоны, — спин-орбитальное расщепление валентной зоны и

Они отличаются от граничных условий (3.6) использованием зависящих от энергии (непараболических) эффективных масс вместо их значений на дне зоны проводимости. Следовательно, энергия размерного квантования при kx = ky = 0 удовлетворяет трансцендентным уравнениям (3.8) и (3.10), в которых фиксированные параметры mA; mB заменены на функции mA(E); mB(E). Заметим, что масса mB(E) определена для параметров материала барьера с учетом разрыва зон, т.е. mB(E) = m(E − Ve).

Электронные минизоны в сверхрешетках

Рассмотрим неограниченную сверхрешетку, изображенную на рис. 3.2. Состояние электрона описывается огибающей (3.1), где функция '(z) есть линейная комбинация двух экспонент

kA = k, kB = i , а k и определены согласно (3.3). Коэффициенты F±; G± могут зависеть от номера слоя. На гетерограницах функция '(z) удовлетворяет граничным условиям (3.6). Представим эту функцию и ее первую производную в виде двухкомпонентного столбца

где величина определена в (3.8). При фиксированном значении k‖, например при k‖ = 0, энергетический спектр E(k‖; K) состоит их чередующихся разрешенных и запрещенных минизон. В сверхрешетках с толстыми барьерами нижние разрешенные минизоны с E < Ve очень узкие и представляют собой уширенные уровни размерного квантования электрона в одиночной квантовой яме той же ширины a. С уменьшением толщины b разрешенные зоны расширяются за счет сужающихся запрещенных минизон. В пределе b → 0 минизонная структура электронного энергетического спектра превращается в параболическую дисперсию электрона в объемном материале A.

Квазидвумерные экситоны

До сих пор мы описывали одночастичное движение носителей заряда, электронов и дырок, в полупроводниках. Понятие об экситоне, введенное Френкелем в 1931 г. [3], выходит за пределы применимости одночастичного описания. Свободный экситон — это электронное возбуждение, в котором движение электрона и дырки скоррелировано и которое переносит энергию, но не переносит заряда. Первоначальная идея Френкеля непосредственно применима для молекулярных кристаллов. Кроме экситонов Френкеля, или экситонов малого радиуса, различают еще два основных типа этих двухчастичных возбуждений, а именно: экситоны с переносом заряда и экситоны Ванье–Мотта. В полупроводниках актуальны экситоны Ванье–Мотта, или экситоны большого радиуса.

Волновая функция экситона Ванье–Мотта может быть разложена по состояниям пары невзаимодействующих электрона и дырки

;m

где s; m — индексы, нумерующие спиновые состояния, ke;h — электронный или дырочный волновой вектор, |ske; mkh — возбужденное состояние кристалла, в котором заполнено только одно состояние |ske в зоне проводимости и толь-

ко одно состояние валентной зоны ˆ mkh незанято. Для удобства мы ввели

|

оператор инверсии времени ˆ , который меняет k на k и m на m. Строго

− −

говоря, с учетом заполненных валентных состояний |ske; mkh является многочастичной волновой функцией. Тем не менее, часто она представляется в виде двухчастичной волновой функции

— аналогичная функция в дырочном представлении, получаемая из соответствующей блоховской функции валентного электрона действием оператора

инверсии времени. При соблюдении должного соответствия между валентными состояниями в электронном и дырочном представлениях использование (3.32) дает ряд преимуществ.

Огибающей волновой функции экситона, зависящей от пространственных координат, называется обратное фурье-преобразование

k k

На языке двухчастичной функции (3.32) экситонная волновая функция принимает вид

∑

где 0cs; hm0 - блоховские функции в точке экстремума, в рассматриваемом случае точка .

В приближении эффективной массы огибающая 'sm(re; rh) удовлетворяет двухчастичному уравнению Шредингера

m

где E — энергия возбуждения экситона, т.е. энергия возбужденного состояния (3.31), отнесенная к основному состоянию кристалла |0 , в котором зона проводимости пуста, а валентная зона заполнена. Кроме того, использова-

гамильтониан электронно-дырочной пары, который в однородном полупроводнике имеет вид

Здесь e и h — эффективные одночастичные гамильтонианы для электрона и дырки, r = re − rh, — низкочастотная диэлектрическая постоянная, дисперсией которой пренебрегается. Уравнение (3.35) с гамильтонианом (3.36) описывает состояния так называемого механического экситона. При расчете механического экситона обменным взаимодействием электрона и дырки в экситоне пренебрегается.

В объемном полупроводнике с простыми зонами огибающие волновой функции экситона водородоподобны. В частности, основное состояние экситона, или 1s-состояние, описывается огибающей

120 Е.Л. Ивченко

По мере уменьшения ширины ямы a эффект размерного квантования начинает преобладать над кулоновским взаимодействием и задача сводится к решению уравнения (3.47), например, вариационным методом с использованием факторизованной пробной функции

где z = ze − zh. При простейшем выборе функция относительного движения

имеет один варьируемый параметр — эффективный 2D-боровский радиус a˜. При простых расчетах можно также использовать двухпараметрическую пробную функцию [4]

f ( ; z) = C(1 + z2)e− ( 2+z2)1=2 ;

где C — нормировочный множитель.

Правый и левый барьеры в структуре с квантовой ямой прижимают электрон и дырку друг к другу. Поэтому в такой структуре кулоновское взаимодействие между ними усиливается и энергия связи экситона возрастает: в случае бесконечно высоких барьеров она меняется от EB в толстой яме до величины 2D-ридберга E2BD = 4EB при a aB. В то же время эффективный боровский радиус уменьшается до a2BD = aB=2. Следовательно, в 2D-пределе для основного состояния экситона получаем

при ze; zh внутри ямы и '( ; ze; zh) = 0, если одно из значений ze или zh лежит вне ямы.

Рассмотрим теперь экситон с эффективным гамильтонианом e для простой зоны проводимости 6 и h для вырожденной валентной зоны 8. Эффект размерного квантования приводит к снятию вырождения валентной зоны. В режиме сильного квантования недиагональные компоненты в гамильтониане Латтинжера не учитываются. Поэтому с точки зрения формирования экситона и подзоны проводимости e , и валентные подзоны hh , lh можно рассматривать как изолированные. Это приводит к двум экситонным подсистемам: экситонам с тяжелой и легкой дырками, характеризуемыми проекциями углового момента m = ±3=2 и ±1=2 соответственно. Запишем диагональные компоненты гамильтониана Латтинжера (3.14) в форме