Рис. 2.3. Контуры интенсивности для пучка накачки в плоскости z–x (а) и пиковые интенсивности для накачки и второй гармоники (б) для параметрического пространственного солитона при квазисинхронном взаимодействии [50].

где g = 2= и — период нелинейной решетки. Система уравнений (2.14) может быть далее упрощена в резонансном приближении, когда после разложения амплитуд на сумму гармоник Фурье по z с медленно меняющимися коэффициентами удерживаются только низшие резонансные гармоники; однако и в этом приближении основные результаты получаются численно [50]. На рис. 2.3 представлены результаты, демонстрирующие формирование параметрических (двухчастотных) пространственных солитонов в такой периодической нелинейной среде. Видно, что, несмотря на периодические изменения вследствие наличия решетки, солитон устойчив.

В заключение этого раздела, посвященного однонаправленному распространению излучения в средах с периодической чисто продольной модуляцией характеристик среды, укажем на следующее обстоятельство, подчеркивающее важное различие свойств консервативных (в прозрачных средах без диссипации энергии) и диссипативных солитонов (в средах с существенным поглощением и компенсирующим его усилением, см. [19]). Более точный анализ [51] показывает, что учет высших гармоник модуляции приводит к делокализации — потоку энергии из центральной области солитона на его периферию. Тем самым, появляется механизм затухания консервативных солитонов в среде со слабой продольной модуляцией характеристик среды. Однако в случае диссипативных солитонов этот механизм неэффективен из-за восполнения их энергии за счет усиления. Это демонстрирует особую устойчивость (жесткость) диссипативных оптических солитонов.

2.3. Одномодовый световод с брэгговской решеткой

2.3.1. Двунаправленное распространение излучения

Выше мы рассматривали преимущественно однонаправленный режим распространения излучения в периодических средах. Однако даже если отраже-

70 Н.Н. Розанов

Рис. 2.4. Схема брэгговской решетки. Темные и светлые области внутри сердцевины световода показывают периодические изменения показателя преломления.

ние излучения на каждом периоде мало, при резонансных (брэгговских) условиях отраженные волны, складываясь в фазе, могут формировать встречную волну излучения, так что режим распространения становится двунаправленным. Собственно, таковы режимы брэгговской дифракции света на ультразвуке, в электрически управляемых брэгговских решетках и т.д. В простейшем случае поле не зависит от поперечных координат и описание является одномерным, но должны учитываться волны, распространяющиеся в обоих продольных направлениях.

Важным примером квазиодномерной периодической оптической структуры являются волоконно-оптические брэгговские решетки, схема которых приведена на рис. 2.4. Формирование решеток основано на светочувствительности стекла, т.е. способности надолго изменять показатель преломления под действием интенсивного лазерного излучения. В световоде, в котором распространяются встречные волны записывающего лазерного излучения, это излучение поглощается преимущественно в областях конструктивной интерференции (светлые области на рис. 2.4). Поэтому при достаточно длительном воздействии такого излучения на сердцевину световода в нем формируется решетка показателя преломления. Она сохраняется и после прекращения облучения и практически может считаться стационарной. В настоящее время такие решетки служат стандартным элементом телекоммуникационных схем [18, 52, 53].

Итак, показатель преломления среды промодулирован по координате z, а его поперечные изменения в световоде учитываются при задании поперечного распределения амплитуды моды F(x; y):

∞

∑

n(z) = nm exp (2 imz=):

m=−∞

Если падающее на решетку с периодом излучение имеет волновое число k0, то в среде возникают волны с волновыми векторами km = k0 + 2 m=, где m = 0; ±1; ±2; : : : — порядок дифракции. Резонанс m-го порядка будет наблюдаться, когда k|m| = −k0, так что для резонанса первого порядка k0 = B = =. Соответственно длина волны света в вакууме и период брэгговской решетки связаны соотношением Брэгга

где n¯ — средний показатель преломления среды. Отсюда частота Брэгга !B =

c=n¯ .

При условии Брэгга (2.15) в резонанс вступают две волны (прямая и встречная), а остальные волны находятся вне резонанса и поэтому могут рассматриваться как слабые. Можно получить оценку амплитуд высших гармоник (слабых волн) с помощью метода теории возмущений. Но в случае волоконно-оптической брэгговской решетки для этого нужно учесть отличие поперечной структуры высших гармоник от формы моды для основных волн, которое зависит от поперечного распределения показателя преломления световода. В пренебрежении высшими гармониками вместо (2.7) получаются два

связанных квазиоптических уравнения для амплитуд прямой Af и встречной

Ab волн, которые во втором приближении теории дисперсии для постоянной распространения

(!) = 0 + 1(! − !0) + 1 2(! − !0)2 2

и для кубической (керровской) нелинейности среды имеют вид [54–57]

Здесь = (!0 − !B)=vg — относительная частотная расстройка, vg = 1= 1 — групповая скорость в световоде без решетки, — коэффициент кубичной (керровской) нелинейности и — коэффициент линейной связи волн, пропорциональный амплитуде модуляции показателя преломления на резонансной гармонике:

Система уравнений связанных волн (2.16) описывает целый ряд важных линейных и нелинейных эффектов. Наиболее элементарен и одновременно важен простейший случай линейного режима ( = 0) и монохроматического излучения (@Af;b=@t = 0), когда (2.16) превращаются в систему двух обыкновенных линейных дифференциальных уравнений

Поскольку это уравнения с постоянными коэффициентами, их общее решение характеризуется экспоненциальной зависимостью от z:

Соотношение (2.19) свидетельствует о том, что однородные (распространяющиеся) плоские волны, отвечающие вещественным значениям параметра q (расщепление волнового числа), возможны только при | | > 2, т.е. при достаточно больших по модулю частотных расстройках . В области

− < < ;

называемой запрещенной зоной, плоские волны становятся неоднородными, как при внутреннем отражении. В диапазоне частот, отвечающем запрещенной зоне, распространение излучения в бесконечной решетке невозможно, и падающая на решетку с достаточной длиной L излучение практически полностью отражается назад. Более точно, максимальный коэффициент отражения (по интенсивности) в центре запрещенной зоны зависит от коэффициента

связи и длины решетки:

Rmax = th2( L):

При характерных параметрах =1.55 мкм, n1 = 10−4 и L = 4 мм получим Rmax =0.93. Доступность таких (и даже больших)´ значений коэффициента отражения определяет широкое применение брэгговских зеркал, в том числе для лазеров. Кроме того, высокая частотная селективность отражения допускает использование брэгговских решеток как фильтров.

Обобщение на случай импульса в линейном режиме не вызывает затруднений. Важной характеристикой достаточно длительных и плавных импульсов служит значение групповой скорости. В связи с расщеплением волнового числа мы можем определить групповую скорость в световоде с решеткой сле-

Тогда

√

|Vg| = vg 1 − 2=2:

В разрешенной зоне, вдали от краев запрещенной зоны (| | >> ), групповая скорость та же, что в отсутствие решетки (Vg ≈ vg). Однако при приближении частоты к краям запрещенной зоны (извне зоны) групповая скорость в световоде с решеткой уменьшается, обращаясь в нуль на краях запрещенной зоны, где = ± .