64 Н.Н. Розанов

щего излучения) локализует солитоны (обычно в максимумах интенсивности поддерживающего излучения). Интересно, что даже если в поперечнооднородной схеме солитоны не существуют, а имеются только волны переключения, то наложение пространственной модуляции может приводить к появлению устойчивых локализованных (солитоноподобных) структур [39], что существенно расширяет возможности солитонных технологий. Чередование во времени наложения на широкоапертурную систему поперечной модуляции (например, за счет интерференции нескольких плоских волн) приводит к возможности реализации аналого-цифрового подхода к оптической обработке информации, сочетающего точность и надежность цифровых методов с присущей аналоговым подходам доступностью параллельных операций [19, 29]. Родственный подход может быть реализован применительно к временным´ солитонам в нелинейных одномодовых световодах [40]. Здесь наложение внешнего промодулированного сигнала локализует диссипативные солитоны в определенных (движущихся) ячейках, ввиду чего подавляется взаимодействие соседних солитонов, что может позволить повысить скорость передачи информации.

В настоящее время исследования солитонной передачи информации уже вышли из стадии лабораторных. Так, в 2002 г. в Австралии запущена первая коммерческая линия связи на солитонах с управляемой дисперсией (см. ниже) протяженностью 3875 км. В режиме плотного разделения по длинам волн (DWDM) со 160 частотными каналами скорость передачи информации в каждом из каналов составляет 10 Гбит/с, так что общая скорость передачи достигает 1.6 Тбит/с [41].

2.2.4. Мелкомасштабная самофокусировка в периодических системах

Рассмотрим распространение плоской квазимонохроматической волны через периодическую систему слоев среды с керровской нелинейностью, разделенных воздушными промежутками и, возможно, линзовыми системами (телескопами или ретрансляторами). Внутри нелинейной среды скалярное квазиоптическое уравнение для огибающей поля (2.7) имеет вид (состояние поляризации поля фиксировано и усилением в среде мы пренебрегаем, так как оно не принципиально для настоящего анализа)

где km = (!=c) √"0 — волновое число в среде (в отсутствие нелинейности). В воздушном промежутке в (2.10) нужно положить "2 = 0 и заменить значение волнового числа km на k0 = !=c. Излучение распространяется преимущественно вдоль оси z, ортогональной к слоям среды. Толщину слоев среды обозначим через lm, а толщину воздушных слоев — через l0 (период системы lm + l0 = d). Поверхности слоев считаются просветленными, так что френелевским отражением от них можно пренебречь (однонаправленный режим распространения).

Данная задача имеет важное значение в лазерной физике и технике, так как описывает явление модуляционной неустойчивости, или мелкомасштабной самофокусировки — распада широкого пучка, распространяющегося в среде с самофокусировочной нелинейностью, на отдельные интенсивные нити [42]. Для бесконечной периодической системы структура зон устойчивости и неустойчивости получена в [43, 44], см. также [28]. Нас здесь будет интересовать, главным образом, вопрос о распространении подобного подхода на случай конечных систем с перекачкой энергии, проанализированный в [45, 46].

Нетрудно видеть, что решением квазиоптического уравнения (2.10) служит плоская волна, распространяющаяся вдоль оси z, причем в нелинейной среде происходит сдвиг волнового числа:

Естественно, что в линейной среде такой сдвиг волнового числа отсутствует. Пусть на вход системы (z = 0) помимо плоской волны подается слабое возмущение. Ввиду малости возмущения его можно разложить в угловой спектр, характеризуя компоненты с пространственной частотой амплитудой E1(z). Соответственно возмущенное поле имеет вид

где r = (x; y) — двумерный вектор поперечных координат, а — соответствующий вектор пространственных частот возмущений, причем 2 = 2. Линеаризация (2.10) по амплитуде возмущения E1(z) приводит к следующему уравнению

где = arg E1 — разность фаз между возмущением и основной волной. Ввиду линейности уравнения (2.11) амплитуды возмущения на входе (E1in = E1(z = 0)) и выходе (E1out = E1(z = lm)) слоя можно связать линейным соотношением

out = ˆ in:

E1 UE1

Вид матрицы преобразования ˆ размерности 2×2 определяется решением

U

(2.11). При 2 < 2B

происходит обмен энергией между невозмущенной волной и возмущением, и “истинно линейные” схемы, в которых такого обмена энергией нет. Математически в рассматриваемой задаче развитие возмущений в системе с конечным числом периодов M определяется не собственными значениями матрицы преобразования, а ее сингулярными числами [45, 46], причем рост возмущений

возможен и в условиях области устойчивости. Для матрицы ˆ размерности

W

2×2 имеются два сингулярных числа

;q=

По физическому смыслу сингулярные числа Kmax;min представляют максимальное и минимальное отношение глубин модуляции поля на выходе и входе (коэффициент передачи) системы при варьировании относительной фазы

= . Сингулярные числа матрицы ˆ совпадают с ее собственными значе-

(z 0) W

ниями, если эта матрица симметрична (эрмитова). Так как матрица преобразования слоистой нелинейной системы существенно неэрмитова, то именно сингулярные числа, а не собственные значения матрицы определяют рост возмущений в системе. Подчеркнем, что использование собственных значений в качестве коэффициента передачи не приводит к адекватному описанию нелинейной системы, состоящей как из конечного, так и бесконечного числа периодов.

Хотя привлечение понятий зон устойчивости и неустойчивости не дает исчерпывающего описания исходно нелинейной системы, оно полезно в следующем отношении. При наличии зон неустойчивости амплитуды “опасных” (попадающих в эти зоны) возмущений растут с расстоянием (числом периодов) приблизительно экспоненциально. При устранении таких зон рост возмущений сохраняется, но он становится приблизительно линейным по числу периодов [45, 46]. Поэтому оперирование с собственными значениями качественно правильно передает направление оптимизации многоэлементных нелинейно-оптических систем, но для количественного описания необходимо привлечение понятия сингулярных чисел.

2.2.5. Квазисинхронное параметрическое взаимодействие

По-видимому, первым примером периодической нелинейно-оптической системы является предложенная более 40 лет тому назад схема с периодической пространственной модуляцией квадратичной нелинейной восприимчивости

[47]. Такая модуляция позволяет использовать новые материалы с сильной

68 Н.Н. Розанов

квадратичной нелинейностью, в которых невозможна компенсация волновой расстройки между волнами накачки и второй гармоники традиционными методами (выбором направления распространения волн или температурной настройкой). С современным состоянием вопроса можно познакомиться в обзоре [48]. Эффективные квазисинхронные взаимодействия можно реализовать в кристаллах с регулярной доменной структурой, в которой периодически инвертируется знак коэффициента квадратичной нелинейности [49]. В приближении плоских монохроматических волн и заданного поля накачки с амплитудой Ap и волновым числом kp (фундаментальная гармоника) амплитуда сигнала A с волновым числом k (вторая гармоника) описывается стандартным

уравнением

dA = −i (z)ApA* exp (−i kz); dz

где — нелинейный коэффициент связи волны накачки и сигнальной волны, обладающий противоположными знаками в соседних доменах, и k = k −2kp — расстройка волновых чисел. В соответствии с указанным приближением заданного поля амплитуда накачки Ap считается постоянной, а коэффициент связи кусочно постоянен. Это позволяет, как и в предыдущем разделе, связать двухкомпонентные векторы, отвечающие вещественной и мнимой частям комплексной амплитуды на входе и выходе каждого нелинейного слоя (домена), матричным соотношением. Аналогичным образом матрица преобразования системы n слоев получается как произведение матриц отдельных слоев, а для периодической системы — как степень матрицы преобразования на одном периоде. Задачей здесь служит определение условий максимального роста сигнальной волны. По причинам, указанным в предыдущем разделе, это максимальное значение вновь определяется сингулярными числами матрицы преобразования, что и решает задачу оптимизации схемы.

Теперь рассмотрим структуры поля в подобной среде, помещенной в планарный волновод, одномодовый по одному из поперечных направлений (вдоль оси y), тогда как по направлению x пучок монохроматического излучения дифрагирует. При этом мы откажемся от приближения заданного поля и будем учитывать пространственное изменение амплитуд сигнала A и накачки Ap в рамках следующих связанных квазиоптических уравнений:

Коэффициент нелинейной связи как периодическая функция z в общем случае разлагается в ряд Фурье,