Рис. 2.1. Один период линзового волновода, образованного идеальными линзами с чередующимися фокусными расстояниями f1 и f2, расположенными на расстоянии L друг от друга (а). Эквивалентная схема двухзеркального лазерного резонатора длины L, формируемого двумя сферическими зеркалами с радиусами кривизны R1 и R2 (б). Свет распространяется вдоль оси схемы z.

Здесь = 2 = @@x22 + @@y22 — поперечный оператор Лапласа, описывающий дифракционные эффекты. Из (2.7) следует и оценка дифракционной длины Ld = kw2, где w — характерный масштаб поперечных изменений огибающей поля или неоднородностей среды. На трассах длины z << Ld дифракционными эффектами можно пренебречь и использовать приближение геометрической оптики. В следующих разделах мы учтем роль частотной дисперсии и рассмотрим ситуации, когда необходимо привлечение связанной системы квазиоптических уравнений вида (2.7).

2.2.2. Линзовые волноводы и лазерные резонаторы

Рассмотрим распространение света в периодической системе идеальных линз

с чередующимися фокусными расстояниями f1 и f2, расположенными на расстоянии L друг от друга (рис. 2.1а; традиционно период схемы обозначается здесь через 2L вместо ). Эквивалентной является схема двухзеркального лазерного резонатора с длиной L, образованного двумя сферическими зеркалами с радиусами кривизны R1;2 = 2 f1;2 (рис. 2.1б). Хотя в изображенном резонаторе свет распространяется во встречных направлениях, это не влияет на интересующую нас поперечную структуру поля в линейном режиме; для большего сходства схем можно было бы заменить двухзеркальный резонатор на кольцевой, в котором реализуется однонаправленное распространение излучения.

Схема рис. 2.1а обладает продольной (одномерной) периодичностью (трансляционной инвариантностью) с периодом 2L, однако характеристики светового пучка при распространении через схему в согласии с теоремой Флоке могут меняться непериодически. В этой хорошо изученной задаче говорят не о зонах прозрачности, а об областях устойчивости и неустойчивости [31–35]. Для достаточно широких пучков возможно как геометрооптиче-

60 Н.Н. Розанов

ское, так и квазиоптическое описание распространения излучения. В геометрооптическом (и параксиальном) подходе лучи в плоскости, включающей ось схемы, характеризуются двумя величинами — отклонением исходного положения луча от оси и углом наклона луча к оси. Изменение этих величин при прохождении через линзы и при свободном распространении между линзами удобно описывать матричным способом (так называемые ABCD-матрицы [31–35]). В квазиоптическом подходе моды волновода или резонатора имеют вид гауссовых пучков (фундаментального и высших порядков). При распространении между линзами пучки испытывают дифракционные изменения, а идеальные линзы трактуются как фазовые транспаранты с квадратичным по расстоянию от оси изменением фазового набега; преобразование параметров гауссовых пучков также описывается правилом ABCD. Трактовка устойчивости и неустойчивости несколько отличается для геометрооптического и квазиоптического описаний, хотя результаты в этих двух подходах совпадают. В приближении геометрической оптики неустойчивость означает, что луч, первоначально близкий к осевому, по мере распространения все более и более удаляется от оси. В квазиоптике устойчивость отвечает возможности формирования ограниченных гауссовых пучков (с конечной мощностью). Если же мощность неограничена и интенсивность излучения в пучке при удалении от оси не убывает, а возрастает, то говорят о неустойчивости волновода или резонатора.

Устойчивость схемы определяется двумя ее параметрами:

Плоскость этих параметров разбивается на области устойчивости и неустойчивости, причем область устойчивости отвечает неравенствам [31]

0< g1g2 < 1:

Внастоящее время линзовые волноводы в оптической области не столь распространены, тогда как эквивалентные им оптические резонаторы служат одним из основных элементов лазеров. При этом устойчивые резонаторы используются обычно в лазерах с небольшим усилением, а неустойчивые — в мощных лазерах. Весьма полно эта проблематика рассмотрена в монографиях [33, 34]. Среди последующих обобщений фигурируют и формализованные, не всегда физически оправданные подходы. Так, при введении в

схему усиливающей среды с неограниченными размерами в [36] были получены парадоксальные результаты, причины некорректности которых указаны

в[37].

Вдополнение или даже вместо линз в систему типа линзового волновода могут быть введены слои среды с самофокусировочной нелинейностью, которые в определенном приближении отвечают линзам с эффективным фокусным расстоянием, зависящим от мощности падающего излучения. Такие

нелинейные квазиоптические волноводы изучались в [28]. Расчеты демонстрируют тенденцию к подавлению катастрофического коллапса мощных лазерных пучков и увеличению длины распространения лазерного излучения в нелинейной среде. Ниже мы рассмотрим более простую задачу анализа мелкомасштабных возмущений в периодической системе слоев среды с нелинейным показателем преломления.

2.2.3.Одномодовые волоконно-оптические световоды с нерезонансным периодическим изменением характеристик

Волоконно-оптические линии широко используются для передачи информации. При больших длинах передачи частотная дисперсия, вызванная дисперсией среды волновода и в большей степени дисперсией волноводных мод, приводит к расплыванию оптических импульсов. Кроме того, по мере повышения требований к скорости передачи и, соответственно, уменьшению длительности кодирующих информацию оптических импульсов все более существенными в волоконных световодах становятся нелинейные эффекты. Интересно, что этот фактор может служить не помехой, а, напротив, средством решения проблемы дисперсионного расплывания, если кодирующими импульсами становятся оптические солитоны — импульсы неизменной формы, в которых дисперсионное расплывание уравновешивается их нелинейным сжатием [38].

Хотя стекло в сердцевине современных световодов обладает весьма малым поглощением, при распространении на большие расстояния общие потери становятся заметными и сигнал необходимо периодически усиливать. Соответственно энергия солитона периодически убывает (на участках пассивного световода) и возрастает (в усилителях), причем коэффициент усиления выбирается таким, чтобы энергия импульса восстанавливала свое исходное значение (метод управления потерями). Характерное расстояние между усилителями составляет 80–100 км, а длина усиления столь мала, что во многих случаях усилители могут рассматриваться как точечные. Примеры солитонов с управлением потерями можно найти в [18].

Помимо управления потерями, важное значение имеет управление дисперсией. Стекла, из которых изготовляются световоды, обладают самофокусировочной (керровской) нелинейностью. Это означает, что показатель преломления среды n возрастает линейно по интенсивности оптического излучения

I = |E|2:

Типичное значение коэффициента керровской нелинейности для кварцевого стекла n2 = 2:4 × 10−16 см2/Вт. В продольно-однородном световоде с самофокусировочной нелинейностью солитоны существуют в случае аномальной частотной дисперсии, реализующейся в определенных спектральных диапазонах. Оказывается, что солитоны в линиях, составленных из участков с чередующимся знаком дисперсии (аномальной и нормальной), значительно

62 Н.Н. Розанов

меньше подвержены действию шумов, возникающих благодаря спонтанному излучению в усилителях и приводящих к флуктуациям времени прихода импульсов к приемнику на выходе линии. “Вставки” с инвертированным знаком дисперсии часто выполняются из световодов с наведенной брэгговской решеткой (см. ниже раздел 2.3).

Для солитонных приложений используются одномодовые волоконные световоды. Представляется важным проследить вывод соответствующего квазиодномерного квазиоптического уравнения. По сравнению с вариантом квазиоптического уравнения (2.7) возникают следующие изменения. Во-первых, здесь мы не будем интересоваться поляризационной структурой излучения, считая для простоты ее линейной. Во-вторых, что более важно, зафиксируем в связи с одномодовостью световода поперечную структуру излучения. Ввиду этого положим

˜ ; ; − !

E = eF(x y)E(z t) exp (i 0z i t) + к.с.

Здесь e — единичный вектор вдоль направления электрической напряженности линейно поляризованного излучения, а F(x; y) — поперечное распределение поля в фундаментальной моде одномодового световода. По традиции волновое число k заменено на постоянную распространения 0. В-третьих, для лазерных импульсов учитывается дисперсия линейного показателя преломления его разложением в ряд Тейлора по малому отклонению частоты от несущей !0 (как уже отмечалось, в действительности в дисперсию больший вклад вносят волноводные эффекты):

где

( m )

d n0

n0m = d!m !=!0

Кроме того, в уравнение следует включить члены, отражающие, помимо керровской нелинейности, поглощение и усиление, зависящие от продольной координаты.

Для импульсов с длительностью, заметно превышающей период оптических колебаний и обратную ширину спектральных зависимостей, достаточно ограничиться в разложении (2.8) членом, квадратичным по частотному отклонению. Тогда при переходе к системе координат (z; ), = t−z=vg, движущейся с групповой скоростью vg n01, нормированное квазиоптическое уравнение примет вид

Здесь член с d(z) n02 описывает продольное изменение дисперсии, отвечает потерям в волноводе, а g(z) — усилению. Для простоты записи мы не ввели продольной зависимости коэффициента керровской нелинейности. Расчеты показывают формирование со временем солитона с периодическим продольным изменением характеристик в пределах цикла поглощение–усиление

,

,

Рис. 2.2. Эволюция профиля интенсивности I солитона с управляемой дисперсией на сегменте схемы при начальной энергии импульса 0.1 пДж и расстоянии между усилителями LA = 80 км [18].

(рис. 2.2). Экспериментальные результаты хорошо согласуются с расчетными. Это позволяет оптимизизовать разрабатываемые линии передачи информации

спомощью численного моделирования.

Врассмотренной существенно нелинейной схеме ее строгая периодичность не столь принципиальна, равно как и ограниченность схемы в продольном направлении (при превышении длины установления режима солитона с управляемой дисперсией). В некоторых случаях (схемы небольшой протяженности по сравнению с длиной формирования солитона) допустима модель с равномерным распределением усиления по длине. Заметим также, что и потери, и усиление в (2.9) предполагались линейными, т.е. не зависящими от интенсивности излучения. Если же учесть эффекты насыщения, то возможным станет новый класс солитонов — диссипативные оптические солитоны, в которых существенную роль играет баланс притока и оттока энергии. Такие солитоны резко отличаются по свойствам от более традиционных консервативных солитонов и перспективны для информационных приложений с повышенными требованиями к точности и надежности операций [19, 29].

Всвязи со свойствами солитонов уместно отметить еще одно важное следствие периодического изменения свойств среды. Оно связано, с одной стороны, с частицеподобными свойствами солитонов и, с другой стороны, с тем, что для плавных оптических неоднородностей их градиенты действуют на солитоны как силы на механические частицы. Это позволяет управлять расположением и движением солитонов за счет введения в схему контролируемых периодических неоднородностей. Одним из первых примеров служит схема многоканальной памяти на основе широкоапертурных нелинейных интерферометров, возбуждаемых внешним излучением [39]. В отсутствие поперечных неоднородностей солитон может быть возбужден в произвольном месте на сечении интерферометра, тогда как наложение на эту схему слабой пространственной модуляции (например, интенсивности поддерживаю-