54 Н.Н. Розанов

ситуации, ввиду чего важное значение здесь имеет численное моделирование. Мы будем уделять большее внимание нелинейно-оптическим задачам, решение которых, однако, ввиду относительной слабости нелинейных изменений свойств среды требует предварительного линейного анализа. Ниже мы рассмотрим в разделе 2.2 сравнительно простой вариант преимущественно однонаправленного распространения излучения в схемах с продольной периодичностью оптических свойств в условиях, далеких от брэгговского резонанса. Здесь мы убедимся, что периодичность приводит к зонам неустойчивости (в другой терминологии — к запрещенным зонам), а также к важному отличию истинно линейных систем от нелинейных, хотя и линеаризированных, вызванному энергообменом во втором случае. Затем в разделе 2.3 будет изучен практически важный случай брэгговского резонанса в волоконном световоде в линейном и, главным образом, нелинейном режиме, в котором возникают такие эффекты, как солитоны, оптическая бистабильность и нелинейное переключение. В разделе 2.4 мы анализируем так называемые дискретные структуры излучения, формирующиеся в периодических системах слабо связанных одномодовых световодов. Здесь также представляют интерес линейные и нелинейные режимы, причем будут продемонстрированы солитоны двух принципиально различных типов — консервативные и диссипативные. Двумерные фотонные кристаллы рассматриваются в разделе 2.5, а общие выводы содержатся в заключительном разделе 2.6. Более детальное изложение отдельных вопросов по этой теме можно найти в монографиях [16–19].

2.2.Однонаправленное распространение в продольно-периодических схемах

В этом разделе мы рассмотрим сравнительно простые схемы, в которых оптические свойства периодически меняются только в одном (продольном) направлении. Период изменения здесь будет значительно превышать длину волны света, и тогда излучение остается практически однонаправленным.

Здесь t — время и c — скорость света в вакууме. Исключая из (2.1) напряженность магнитного поля, найдем, что электрическая напряженность удовлетворяет волновому уравнению

Специфика среды отражается в виде материальных соотношений между

поля. Часто полезно вместо индукции вводить поляризацию среды соотно-

D = E + 4 P:

В интересующих нас случаях пространственная дисперсия среды несуще-

˜ ˜ ˜

ственна, и поляризация среды P локально связана с напряженностями E, H (зависит только от величин полей при тех же значениях пространственных координат). Полезно выделить квазистатические и высокочастотные (оптические) составляющие электромагнитного поля. При наличии внешних квазистатических полей диэлектрическая проницаемость может зависеть от напряженности не только электрического, но и магнитного статического поля (эффект Фарадея). Применительно же к высокочастотному полю диэлектрическая проницаемость практически определяется электрической напряженностью, так как при малых скоростях движения зарядов v магнитная составляющая действующей на заряды силы Лоренца содержит малый множитель v=c. Соответственно, в линейном по напряженностям высокочастотного поля режиме индукция анизотропной среды может быть записана в виде

3 Z∞

∑

˜ r; = r; ˜ r; − ; = ; ; :

Pp( t) p;q( )Eq( t ) d p 1 2 3

q=1 0

Для компонент Фурье, отвечающих частоте !, удобнее ввести тензор диэлектрической проницаемости "ˆ:

который выражается через восприимчивость среды ˆ, являющуюся фурьепреобразованием тензора ˆ:

"p;q(r; !) = p;q + 4 p;q(r; !);

где p;q — символ Кронекера. Тензор "ˆ комплексный в среде с диссипацией и даже в прозрачной гиротропной среде при наличии внешнего низкочастотного магнитного поля. Теперь из волнового уравнения следует (частоту в аргументе опускаем)

Центральной служит теорема Флоке–Блоха, согласно которой решения волнового уравнения (2.3) в линейной среде с периодической неоднородностью можно представить в форме суперпозиции элементарных решений (блоховских функций) вида

где функция uk(r) обладает периодичностью прямой решетки: uk(r + ) = uk(r):

Волновой вектор k и частота излучения ! связаны друг с другом дисперсионным уравнением, которое в отсутствие модуляции в изотропной среде с диэлектрической проницаемостью "0 имеет вид k2 = (!=c)2"0. Вследствие периодического изменения тензора диэлектрической проницаемости физически то же поле будет отвечать волновому вектору, смещенному на любой вектор обратной решетки g. Ввиду этой неоднозначности можно ввести приведенный волновой вектор с наименьшим возможным модулем |k|, т.е. приведенный вектор будет лежать в первой зоне Бриллюэна.

Блоховские функции (2.6) отвечают плоской волне с волновым вектором k, пространственно периодически промодулированной с периодами пространственного изменения диэлектрической проницаемости. Заметим, что волновой вектор k может быть вещественным, и тогда зона Бриллюэна отвечает зоне прозрачности (или устойчивости). Если же волновой вектор комплексный, то говорят о запрещенной зоне (или зоне неустойчивости).

Ввиду линейности волнового уравнения его решениями являются суперпозиции блоховских функций с различными волновыми векторами k и функциями uk. В теории твердого тела известна такая суперпозиция, называемая функцией Ваннье, которая отвечает локализованной (не расплывающейся при эволюции) волновой функции [3]. Поэтому возникает вопрос о возможности локализованных структур электромагнитного поля в линейной среде с периодической модуляцией диэлектрической проницаемости. Детальный ответ требует анализа не только существования локализованных структур, но и их устойчивости по отношению к малым возмущениям. Действительно, уравнения Максвелла в вакууме допускают локализованные структуры поля с широким спектром, в определенной мере родственные структурам Ваннье и получившие название X-волн [20, 21]. Однако, такие структуры оказываются неустойчивыми относительно малых возмущений и потому метастабильны [22]. Представляется, что в среде с периодическим изменением диэлектрической проницаемости по аналогичным причинам не может быть устойчивых локализованных структур электромагнитного поля. Вместе с тем, аппарат модифицированных функций Ваннье может быть полезен для описания локализованных дефектов в фотонных кристаллах [23].

В общем случае нахождение волновых векторов и соответствующих им блоховских функций (2.6) требует численных расчетов. Более простой случай одномерной периодичности будет рассмотрен ниже. Приближенное аналитическое описание при произвольном виде пространственного изменения

58 Н.Н. Розанов

диэлектрической проницаемости возможно в случае его слабой модуляции. Сначала мы обратимся к наиболее простому варианту квазиоптического приближения.

Квазиоптическое приближение. В широком круге задач наличие плавной крупномасштабной неоднородности характеристик среды не приводит

кпоявлению отраженных или рассеянных волн с заметной интенсивностью. Неоднородность только плавно модулирует характеристики падающего излучения, представляющего квазиплоскую и квазимонохроматическую волну. В таких условиях можно использовать квазиоптическое приближение в варианте однонаправленного распространения.

Ниже мы не будем рассматривать непараксиальные эффекты, существенные для пучков излучения с шириной, сравнимой с длиной волны света [19]. Тогда можно использовать квазиоптическое приближение, или приближение медленно меняющейся огибающей, родственное квазиклассическому приближению и предложенное первоначально для задач дифракции Леонтовичем и Фоком [24, 25]. К настоящему времени выведены и проанализированы различные варианты квазиоптического уравнения, отличающиеся учетом различных факторов, см., например, [19, 26–29]. Достаточно общий вид таких уравнений применительно к непараксиальному распространению пучков лазерного излучения в анизотропных (в том числе, дихроических) средах найден в [30].

Вквазиоптическом приближении электромагнитное поле локально близко

ксумме нескольких плоских монохроматических волн. Амплитуды этих волн считаются медленными функциями координат и времени. Для этого вводятся

обозначения

∑ ∑

˜ ˜ − ! ; E = Ej = Ej exp (ikjz i jt) + к.с.

jj

∑ ∑

˜ ˜ − ! ; D = Dj = Dj exp (ikjz i jt) + к.с.

jj

∑ ∑

˜ ˜ − !

P = Pj = Pj exp (ikjz i jt) + к.с.

jj

Выбор “центральных” (несущих) частот !j и волновых чисел kj в определенной мере произволен и определяется в конкретных задачах соображениями удобства. Знак комплексного сопряжения (к.с.) и индекс j далее опускаем там, где это не вызывает недоразумений. Задача состоит в преобразовании

˜ ˜ ˜

точных уравнений Максвелла для быстро меняющихся полей E, D и P в приближенные уравнения для медленно меняющихся огибающих E, D и P.

В более простом варианте монохроматического излучения и слабой неоднородности, нелинейности и анизотропии среды частотная дисперсия среды несущественна и волновое число можно выбрать отвечающим фоновой диэлектрической проницаемости "0 прозрачной однородной изотропной среды, k = (!=c) √"0, а прочие факторы, включая периодическое изменение характеристик среды, отнести к поляризации среды P. Тогда квазиоптическое уравнение для поперечных компонент (E = (Ex; Ey) и т.д.) принимает вид