13.Гироскоп.Вывод формулы частоты прецессии гироскопа.

Гироскоп - устройство, способное реагировать на изменение углов ориентации тела, на котором оно установлено в ИнСиОт. Вывод: M=L/t (М-момент силы); (am / JΩ) g; - маховик гироскопа будет совершать медленное вращение (прецессию) в горизонтальной плоскостиΩ L=JΩ( Ω– угловая частота); М = [a, F]; F=mg; L/t = [Ω, L]; [ωo, JΩ] = - [mg, a];

14.дифференциальное уравнение гармонических колебаний и его решение. Основные характеристики гармонических колебаний. Векторное изображение колебаний. Гармонические колебания груза на пружине, математического и физического маятников. Энергия гармонических колебаний(на примере пружинного маятника) Графики зависимости смещения, скорости, ускорения, кинетической и потенциальной энергии колебаний от времени.

(d^2)s/d(t^2)+ωs=0; (d^2)s/d(t^2)= -A (ω^2)(sin^2 )(ωt+φ); ds/dt= Acosx(ωt+φ); s(t)=Asinx(ωt+φ)-уравнение гармонических колебаний. Колебания вдоль оси х. Бывают свободные и вынужденные. Для расчета Гарм.колеб обычно рассматривают плоскость векторного изображения как комплексную плоскость с вращающемся вектором А, c соотношением z=A(cos ωt+isin ωt)

15.Сложение двух гармонических колебаний одинакового направления и частоты. Геометрическая интерпретация.

При сложении двух гармонических колебаний одинакового направления и частоты, результирующее смещение будет суммой () смещений и , которые запишутся следующими выражениями:

, , Сумма двух гармонических колебаний также будет гармоническим колебанием той же круговой частоты:   = . Значения амплитуды А и начальной фазы φ этого гармонического колебания будет зависеть от амплитуд исходных колебаний и их начальных фаз (Рис. 1.2).

Рисунок 1.2. Сложение двух гармонических колебаний одинакового направления и частоты

На рисунке 1.2. приведено два примера А и В сложения гармонических колебаний с использованием метода векторных диаграмм. Из векторных диаграмм видно, что направление (начальная фаза φ) и длина А вектора амплитуды суммарного гармонического колебания зависит, как от направления (от начальных фаз), так и от длины векторов амплитуд исходных гармонических колебаний.  Если угол (разность фаз: Δφ = φ1 - φ2) между векторами А1 и А2 равен 0, то исходные колебания находятся в фазе и суммарная амплитуда (А =А1 +А2) будет максимальна. Если угол (разность фаз: Δφ = φ1 - φ2) между векторами А1 и А2 равен - π или π, то исходные колебания находятся в противофазе и суммарная амплитуда (А = А1 -А2) будет минимальна.

16.Дифференциальное уравнение затухающих колебаний и его решение. Основные характеристики затухающих колебаний. Логарифмический декремент затухания. Апериодический процесс.

будем считать, что наряду с упругой или квазиупругой силой F_y в системе действует сила трения, пропорциональная скорости и направленная противоположно ей: F_тр = . Тогда учет влияния этих двух сил на характер движения приводит к следующему дифференциальному уравнению:

 8)

Разделив левую и правую части уравнения (8) на m ,обозначив r/m = 2b и сохранив обозначение к/m = w₀² , приведем это уравнение к виду:

 (9)

Решение этого уравнения имеет вид:

 (10)

Формула (10) представляет собой смещение при затухающем колебании как функцию времени и параметров системы b и w. Коэффициент b = r/2m имеет смысл коэффициента затухания. Из формулы (10) видно, что в затухающих колебаниях амплитуда уменьшается со временем. Причем, колебания затухают тем быстрее, чем больше коэффициент затухания b. По сравнению с гармоническими колебаниями уменьшается также и циклическая частота колебаний w. Это уменьшение зависит от коэффициента затухания. Оказывается, что

 (11)

Колебательный процесс может происходить лишь при условии: (w₀² - b ²)>0, когда частота w в формуле (11) является действительной величиной . Если же затухание в системе слишком велико (w₀ < b ) , то под корнем в формуле (11) оказывается отрицательная величина, - в этом случае движение не имеет периодического характера.

Графически затухающее колебания представлено на рис.2, где сплошной линией показана зависимость смещения от времени, а пунктирной - экспоненциальный закон убывания амплитуды.

что быстрота убывания амплитуды затухающих колебаний характеризуется коэффициентом затухания b , который зависит от параметров системы. На практике затухание колебаний удобнее характеризовать декрементом затухания d , представляющим собой отношение двух последовательных амплитуд, разделенных периодом колебаний Т (см. рис.2) :

 

 

 

Натуральный логарифм этого отношения, называемыйлогарифмическим декрементом затуханияl, весьма просто связан с коэффициентом затухания и периодом:

 или l = bT . (12)

Удобство использования логарифмического декремента затухания l для характеристики затухающих колебаний заключается в простоте его экспериментального определения. Если затухающие колебания зарегистрированы в виде соответствующего графика (см.рис.2), то необходимо в любых единицах измерить две амплитуды колебаний, разделенные интервалом времени, равным периоду, и найти натуральный логарифм их отношения. Определив таким образом величину l и зная период Т , легко найти и коэффициент затухания b .

Для характеристики качества колебательной системы вводится ряд параметров:

 - время релаксации затухающих колебаний (за   амплитуда уменьшается в e раз).   

   - логарифмический декремент затухания; N - число колебаний, в течение которых амплитуда уменьшается в eраз. Соответственно, exp() - просто декремент затухания.

   - добротность колебательной системы; W(t) - энергия (полная) колебательной системы в момент времени t.