12. Кинетическая энергия вращающегося твердого тела. Работа сил при вращательном движении тела. Кинетическая энергия твердого тела при плоском движении.

Вращательное движение твёрдого тела.

• При вращательном движении все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на в плоскости, перпендикулярной оси вращения (ось вращения может находиться и вне тела).

• Угловые скорости всех точек ω одинаковы. ω направлена вдоль оси вращения в соответствие с правилом буравчика.

• Линейные скорости точек: v = ω х r, где r – радиус-вектор, проведённый из любой точки оси.

Плоское движение твёрдого тела

• Любое движение твёрдого тела – это суперпозиция поступательного и вращательного движений.

• При плоском движении все точки тела перемещаются в параллельных плоскостях.

• Пример плоского движения – качение цилиндра. Скорость каждой точки цилиндра: v = v₀ + ωxr (v₀ – скорость оси)

Кинетическая энергия вращающегося твёрдого тела. Работа момента сил

• Кинетическая энергия вращающегося тела K = Σm_iv_i²/2 = ½Σm_i(ωr_i)² = I_zω²/2 = L_z²/2I = ½ L_z ω.

• В общем случае K = ½ (Lω)

• Работа внешней силы при повороте: dA = (Fds) = Frdφ = M_zdφ

Плоское движение твёрдого тела

• Плоское движение есть суперпозиция движения центра масс и вращательного в системе центра масс

• Движение центра масс определяется внешними силами по закону Ньютона.

• Вращательное движение определяется моментом внешних сил

Вращение твёрдого тела. Кинетическая энергия вращающегося тела.

Поступательное движение Вращательное движение

v – линейная скорость ω – угловая скорость

a = dv/dt – линейное ускорение ε = dω/dt – угловое ускорение

m – масса I – момент инерции

p = mv – импульс L_z = Iω_z – момент импульса

F – сила M – момент силы

dp/dt = ma = mdv/dt = F dL/dt = Iε = Idω/dt = M

K = mv²/2 = p²/2m K = Iω²/2 = L_z²/2I

dA = Fds dA = Mdφ

Кинетическая энергия при плоском движении

Плоским (плоскопараллельным) называется такое движение, при котором все точки тела движутся в параллельных плоскостях. Представим плоское движение тела как поступательное движение со скоростью , некоторой точки 0 в нем и вращения вокруг оси, проходящей через эту же точку и перпендикулярной с угловой скоростью .

В этом случае скорость i-той материальной точки тела определяется формулой

.

Кинетическая энергия i- той материальной точки равна

или

.

Просуммировав по всем материальным точкам, получим

или , (12)

где М - полная масса тела,  - радиус-вектор центра масс,  - момент инерции тела относительно оси, проходящей через точку О.

Если в качестве точки О взять центр масс тела С, то и формула (12) упрощается:. (13)

Таким образом, если разбить плоское движение тела на поступательное со

скоростью центра масс V_c и вращательное с угловой скоростью w вокруг оси, проходящей через центр масс тела, то кинетическая энергия распадается на два независимых слагаемых, одно из которых определяется только скоростью центра масс V_c, а другое - угловой скоростью w.

Из (13) следует, что при вращении тела относительно оси z, проходящей через центр масс С, его кинетическая энергия . (14)