5.Кинетическая энергия системы. Связь изменения кинетической энергии и работы.

Кинетическая энергия механической системы - это энергия механического движения рассматриваемой системы.  Сила F, воздействуя на покоящееся тело и приводя его в движение, совершает работу, а энергия движущегося тела увеличивается на величину затраченной работы. Значит, работа dA силы F на пути, который тело прошло за время возрастания скорости от 0 до v, тратится на увеличение кинетической энергии dT тела, т. е.    Используя второй закон Ньютона и умножая на перемещение dr получаем    Так как v=dr/dt, то dA=mvdv, откуда    Таким образом, тело массой m, движущееся со скоростью v, обладает кинетической энергией   (1) 

6.Консервативные и неконсервативные силы. Сила тяжести, сила упругости, центральные силы как консервативные силы.

7.Потенциальная энергия материальной точки во внешнем поле. Связь изменения потенциальной энергии и работы. Связь силы, действующей на материальную точку во внешнем поле, с её потенциальной энергией. Полная энергия материальной точки во внешнем поле и её изменение.

8.Полная механическая энергия системы, связь её изменения с работой неконсервативных сил. Закон сохранения полной механической энергии.

9. Абсолютно неупругий удар. Абсолютно упругий удар. Скорости шаров после абсолютно упругого центрального удара.

Абсолютно неупругий удар - соударение двух тел, в результате которого тела соединяются, двигаясь дальше как единое целое. Абсолютно неупругий удар можно продемонстрировать с помощью шаров из пластилина (глины), которые движутся навстречу друг другу .

Если массы шаров m₁ и m₂, их скорости до удара ν₁ и ν₂, то, используя закон сохранения импульса    где v - скорость движения шаров после удара. Тогда   (15.10)  В случае движения шаров навстречу друг другу они вместе будут продолжать движение в ту сторону, в которую двигался шар с большим импульсом. В частном случае, если массы шаров равны (m₁=m₂), то    Определим, как изменяется кинетическая энергия шаров при центральном абсолютно неупругом ударе. Так как в процессе соударения шаров между ними действуют силы, зависящие от их скоростей, а не от самих деформаций, то мы имеем дело с дисипативными силами, подобным силам трения, поэтому закон сохранения механической энергии в этом случае не должен соблюдаться. Вследствие деформации происходит уменьшение кинетической энергии, которая переходит в тепловую или другие формы энергии. Это уменьшение можно определить по разности кинетической энергии тел до и после удара:    Используя (10), получаем    Если ударяемое тело было первоначально неподвижно (ν₂=0), то    и    Когда m₂>>m₁ (масса неподвижного тела очень велика), то ν<<ν₁ и практически вся кинетическая энергия тела переходит при ударе в другие формы энергии. Поэтому, например, для получения значительной деформации наковальня должна быть значительно массивнее молота. Наоборот, при забивании гвоздей в стену масса молота должна быть гораздо большей (m₁>>m₂), тогда ν≈ν₁ и почти вся энергия тратится на возможно большее перемещение гвоздя, а не на остаточную деформацию стены.  Абсолютно неупругий удар - это пример потери механической энергии под действием диссипативных сил. 

Абсолютно упругий удар - соударение двух тел, в результате которого в обоих участвующих в столкновении телах не остается никаких деформаций и вся кинетическая энергия тел до удара после удара снова превращается в первоначальную кинетическую энергию (отметим, что это идеализированный случай).  Для абсолютно упругого удара выполняются закон сохранения кинетической энергии и закон сохранения импульса.  Обозначим скорости шаров массами m₁ и m₂ до удара через ν₁ и ν₂, после удара - через ν₁' и ν₂' (рис. 1). Для прямого центрального удара векторы скоростей шаров до и после удара лежат на прямой линии, проходящей через их центры. Проекции векторов скоростей на эту линию равны модулям скоростей. Их направления учтем знаками: положительное соотнесем движению вправо, отрицательное - движению влево. 

При указанных допущениях законы сохранения имеют вид  (1)  (2)  Произведя соответствующие преобразования в выражениях (1) и (2), получим  (3)  (4) откуда  (5)  Решая уравнения (3) и (5), находим  (6)  (7)  Разберем несколько примеров.  1. При ν₂=0  (8)  (9)  Проанализируем выражения (8) в (9) для двух шаров различных масс:  а) m₁=m₂. Если второй шар до удара висел неподвижно (ν₂=0) (рис. 2), то после удара остановится первый шар (ν₁'=0), а второй будет двигаться с той же скоростью и в том же направлении, в котором двигался первый шар до удара (ν₂'=ν₁);

б) m₁>m₂. Первый шар продолжает двигаться в том же направлении, как и до удара, но с меньшей скоростью (ν₁'<ν₁). Скорость второго шара после удара больше, чем скорость первого после удара (ν₂'>ν₁' ) (рис. 3);

в) m₁<m₂. При ударе направление движения первого шара изменяется - шар отскакивает обратно. При этом второй шар движется в сторону, в которую двигался первый шар до удара, но с меньшей скоростью, т. е. ν₂'<ν₁ (рис. 4);

г) m₂>>m₁ (например, столкновение шара со стеной). Из уравнений (8) и (9) следует, что ν₁'= -ν₁; ν₂' ≈ 2m₁ν₂'/m₂.  2. При m₁=m₂ выражения (6) и (7) будут иметь вид ν₁'= ν₂; ν₂'= ν₁; т. е. шары равной массы как бы обмениваются скоростями. 

10.Момент импульса частицы относительно точки и относительно оси. Момент силы относительно точки и относительно оси. Законы изменения и сохранения момента импульс системы. Момент импульса твердого тела, вращающегося относительно неподвижной оси. Момент инерции тела относительно оси. Вычисление моментов инерции стержня, сплошного цилиндра. Теорема Гюйгенса-Штейнера. Закон сохранения момента импульса для вращательного движения.

Моментом импульса (количества движения) материальной точки А относительно неподвижной точки О называется физическая величина, определяемая векторным произведением:  где r - радиус-вектор, проведенный из точки О в точку A, p=mv - импульс материальной точки (рис. 1); L - псевдовектор, направление которого совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от r к р.

Модуль вектора момента импульса  где α - угол между векторами r и р, l - плечо вектора р относительно точки О.  Моментом импульса относительно неподвижной оси z называется скалярная величина L_z, равная проекции на эту ось вектора момента импульса, определенного относительно произвольной точки О данной оси. Момент импульса L_z не зависит от положения точки О на оси z.  При вращении абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси z каждая точка тела движется по окружности постоянного радиуса r_iсо скоростью v_i . Скорость v_i и импульс m_iv_i перпендикулярны этому радиусу, т. е. радиус является плечом вектора m_iv_i . Значит, мы можем записать, что момент импульса отдельной частицы равен  (1)  и направлен по оси в сторону, определяемую правилом правого винта.  Монет импульса твердого тела относительно оси есть сумма моментов импульса отдельных частиц:  Используя формулу v_i = ωr_i, получим  т. е. 2)  Таким образом, момент импульса твердого тела относительно оси равен моменту инерции тела относительно той же оси, умноженному на угловую скорость. Продифференцируем уравнение (2) по времени:  т. е. 

Эта формула - еще одна форма уравнения динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси: производная момента импульса твердого тела относительно оси равна моменту сил относительно той же оси.  Можно показать, что имеет место векторное равенство  (3)  В замкнутой системе момент внешних сил и откуда  (4)  Выражение (4) представляет собой закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы сохраняется, т. е. не изменяется с течением времени.  Закон сохранения момента импульса также как и закон сохранения энергии является фундаментальным законом природы. Он связан со свойством симметрии пространства - его изотропностью, т. е. с инвариантностью физических законов относительно выбора направления осей координат системы отсчета (относительно поворота замкнутой системы в пространстве на любой угол).  Здесь мы продемонстрируем закон сохранения момента импульса с помощью скамьи Жуковского. Человек, сидящий на скамье, вращающаяся вокруг вертикальной оси, и держащий в вытянутых руках гантели (рис. 2), вращается внешним механизмом с угловой скоростью ω₁. Если человек прижмет гантели к телу, то момент инерции системы уменьшится. Но момент внешних сил равен нулю, момент импульса системы сохраняется и угловая скорость вращения ω₂ увеличивается. Аналогичным образом, гимнаст во время прыжка через голову поджимает к туловищу руки и ноги, с целью уменьшить свой момент инерции и тем самым увеличить угловую скорость вращения. 

Сопоставим основные величины и уравнения, определяющие вращение тела вокруг неподвижной оси и его поступательное движение (см таблицы ниже).

Моментом силы F относительно неподвижной точки О называется физическая величина, определяемая векторным произведением радиуса-вектора r, проведенного из точки О в точку А приложения силы, на силу F (рис. 1): 

Здесь М - псевдовектор, направление которого совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от r к F. Модуль момента силы  (1)  где α - угол между r и F; rsinα=l - наименьшее расстояние между линией действия силы и точкой О - плечо силы.  Моментом силы относительно неподвижной оси z называется скалярная величина M_z , равная проекции на эту ось вектора М момента силы, определенного относительно произвольной точки О данной оси z (рис. 2). 

Рис.2

Значение момента М_z не зависит от выбора положения точки О на оси z.  Если ось z совпадает с направлением вектора М, то момент силы представляется в виде вектора, совпадающего с осью:  Найдем выражение для работы при вращении тела (рис.3). 

Рис.3

Пусть сила F приложена в точке В, находящейся от оси z на расстоянии r, α - угол между радиусом-вектором r и направлением силы. Так как тело абсолютно твердое, то работа этой силы равна работе, которую необходимо затратить на поворот всего тела. При повороте тела на бесконечно малый угол dφ точка приложения В проходит путь ds=rdφ и работа равна произведению проекции силы на направление с мещения на величину смещения:  (2)  Учитывая (1), можем записать  где Frsinα=Fl=M_z - момент силы относительно оси z. Значит, работа при вращении тела равна произведению момента действующей силы на угол поворота.  Работа при вращении тела идет на увеличение его кинетической энергии: dA=dT, но поэтому , или Учитывая, что получаем  (3)  Уравнение (3) представляет собой уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси.  Можно показать, что если ось z совпадает с главной осью инерции, проходящей через центр масс, то имеет место векторное равенство  где J - главный момент инерции тела (момент инерции относительно главной оси).