Обертальний рух твердих тіл

1. Знайти момент інерції і момент кількості руху земної кулі відносно осі обертання.

2. Дві кулі з радіусами R₁=R₂=0,5 см закріплені на кінцях тонкого стержня, маса якого значно менша маси куль. Відстань між центрами куль R=0,5 м. Маса кожної кулі m=1 кг. Знайти: 1) Момент інерції J₁ цієї системи відносно осі, що проходить через середину стержня перпендикулярно його довжині, 2) момент інерції J₂ цієї системи відносно тієї ж осі, вважаючи кулі матеріальними точками, маси яких зосереджені в їх центрах, 3) відносну похибку d=(J₁-J₂)/J₂, яку ми допускаємо при обчислені момента інерції цієї системи, замінюючи величину J₁ величиною J₂.

3. До ободу однородного диска радіусом R=0,2 м прикладена постійна дотична сила F=98,1 Н. При обертанні на диск діє момент сил тертя М_тр=0,5 кГ*м. Знайти масу m диска, якщо відомо, що диск обертається з постійним кутовим прискоренням  = 100 рад/с².

4. Однорідний стержень довжиною 1 м і масою 0,5 кг обертається у вертикальній площині навколо горизонтальної осі, що проходить через вершину стержня. З яким кутовим прискоренням обертається стержень, якщо обертальний момент руху дорівнює 9,81*10^-2 Нм ?

5. Однорідний диск радіусом R=0,2 м і масою m=5 кг обертається навколо своєї осі, що проходить через його центр. Залежність кутової швидкості обертання диска від часу задається рівнянням w=A+Bt, де В=8 рад/с. Знайти величину дотичної сили, прикладенної до ободу диска. Тертям знехтувати.

6. Маховик, момент інерції якого J=63,6 кг*м², обертається з постійною швидкістю w=31,14 рад/с. Знайти гальмуючий момент М, під дією якого маховик зупинеться через 20 с.

7. До ободу колеса, що має форму диска, радіусом 0,5 м і масой m=50 кг, прикладена дотична сила 98,1 Н. Знайти: 1) кутове прискорення колеса, v 2) через скільки часу після початку дії сили колесо буде мати швидкість, що дорівнює частоті обертання 100 об/с.

8. Маховик радіусом R=0,2 м і масою m=10 кг з’єднаний з мотором за допомогою приводного ремня. Натяжіння ремня, що йде без ковзання, постійне і дорівнює T=14,7 Н. Яке число обертів за секунду буде робити маховик через 10 с після початку руху? Маховик вважати однорідним диском. Тертям знехтувати.

9. Махове колесо, що має момент інерції 245 кг*м², обертається зі швидкістю 20 об/с. Через хвилину після того, як на колесо перестав діяти обертальний момент, воно зупинилося. Знайти: 1) момент сили треття, 2) число обертів, яке зробило колесо до повної зупинки після припинення дії сил.

10. Дві гирі з масами m₁=2 кг і m₂=1 кг з’єднані ниткою і перекинуті через блок масою 1 кг. Знайти: 1) прискорення, з яким рухаються гирі, 2) натяжіння Т₁ і Т₂ ниток, до яких підвішані гирі. Блок вважати однорідним диском. Тертям знехтувати.

11. На барабан масою М=9 кг намотаний шнур, до кінця якого прив’язали вантаж масою m=2 кг. Знайти прискорення вантажу. Барабан вважати однорідним циліндром. Тертям знехтувати.

12. На барабан радіусом R=0,5 см намотаний шнур, до кінця якого прив’язали вантаж P₁=10 кГ. Знайти момент інерції барабана, якщо відомо, що вантаж опускається з прискоренням а=2,04 м/с².

13. На барабан радіусом R=20 см, момент інерції якого J=0,1 кг*м², намотаний шнур, до кінця якого прив’язан вантаж P₁=0,5 кГ. До початку обертання барабана висота вантажа P₁ над підлогою h₁=1 м. Знайти: 1)через скільки часу вантаж опуститься на підлогу, 2) кінетичну енергію вантажа в момент удара об підлогу, 3) натяжіння нитки. Тертям знехтувати.

14. Дві гирі рівної ваги з’єднані ниткою і перекинуті через блок, момент інерції якого J=50 кг*м² і радіус 20 см. Блок обертається з тертям і момент сил тертя М_тр=98,1 Н*м. Знайти різницю натяжінь ниток Т₁-Т₂ по обидва бока блока, якщо відомо, що блок обертається з постійним кутовим прискоренням =2,36 рад/с².

15. Блок вагою m=1 кг закріплений на кінці стола(див. рис. 1 і задачу 2.31). Гирі А і В однакової маси m₁=m₂=1 кг з’єднані ниткою і перекинуті через блок. Коефіціент тертя гирі В об стіл к=0,1. Блок вважати однорідним диском. Тертям у блоці знехтувати. Знайти :1) прискорення, з яким рухаються гирі, 2) натяжіння Т₁ і Т₂ ниток.

16. Диск вагою 2 кг котиться без ковзання по горизонтальній площині зі швидкістю 4 м/с. Знайти кінетичну енергію диска.

17. Куля діаметром 6 см котиться без ковзання по горизонтальній площині, роблючи 4 об/с. Маса кулі 0,25 кг. Знайти кінетичну енергію кулі.

18. Обруч і диск одинакової ваги котяться без ковзання с одинаковою лінійною швидкістю v. Кінетична енергія обруча W₁=4 кГс*м. Знайти кінетичну енергію W₂ диска.

19. Куля вагою 1 кг, що котиться без ковзання, ударяється об стінку і відкачується від неї. Швидкість кулі до удара об стіну v₁=10 см/с, а після удара v₂=8 м/с. Знайти кількість теплоти, що виділилась під час удару.

20. Знайти відносну похибку при обчислені кінетичної енергії кулі, що котиться, якщо не враховувати обертання кулі.

1. Диск діаметром D =60 см і масою m = 1 кГ, обертається навколо осі, що проходить через центр перпендикулярно до його площини, з частотою n = 20 об/с. Яку роботу А потрібно виконати , щоб зупинити диск.

1. Кінетична енергія вала , що обертається з частотою n = 5 об/с. Wк = 60 Дж. Знайти момент імпульсу L вала.

2. Знайти кінетичну енергію Wк велосипедиста , що їде зі швидкістю v = 9 км/год. Маса велосипедиста разом з волосипедом m = 78 кг, прицьому на колеса приходиться маса m₀ = 3 кг. Колеса велосипеда вважати обручами.

1. Хлопчик котить обруч по горизонтальній дорозі зі швидкістю v = 7,2 км/год. На яку відстань S може закотитися обруч на гірку за рахунок своєї кінетичної енергії ? Нахил гірки дорівнює 10 м на кожні 100 м шляху.

3. З якої найменьшої висоти h потрібно зїхати велосипедисту , щоб по інерції (без тертя) проїхати дорожку , що має форму "мертвої петлі" радіуса R= 0,3 м , і не відірватися від доріжки в верхній точці петлі ? Маса велосипедиста разом з волосипедом m =75 кг , прицьому на колеса приходиться маса m₀ = 3 кг. Колеса велосипеда вважати обручами.

4. Мідний шар радіуса R=10 см обертається з частотою n = 2 об/с, навколо осі, що проходить через його центр. Яку роботу А потріпно виконати , щоб збільшити кутову швидкість w обертання шара вдвічі?

5. Знайти лінійне прискорення а центрів мас шара , диска і обруча , що зкочується без ковзання з похилої площини . Кут нахилу площини 30, початкова швидкість всіх тіл v₀= 0 . Порівняти знайдені прискорення з прискоренням тіла , ковзаючого з похилої площини за відсутності тертя.

6. Знайти лінійну швидкість v руху центрів мас шара , диска і обруча, що зкочуються без ковзання з похилої площини. Висота похилої площини h =0,5 м, початкова швидкість всіх тіл v₀ = 0. Порівняти знайдені швидкості з швидкостями тіла , ковзаючого з похилої площини за відсутності тертя.

7. Є два циліндри: алюмінієвий(суцільний) і свинцевий(порожній) з однаковим радіусом R = 6 см і однаковою масою m = 0,5 кг. Поверхні циліндрів однакового кольору. Як, спостерігаючи поступальні швидкості циліндрів при основі похилої поверхності, можна відрізнити їх ? Знайти момент інерції J1 і J2 цих циліндрів. За який час t кожен циліндр зкотиться без ковзання з похилої площини ? Висота похилої площини h = 0,5 м . Кут нахилу площини 30, початкова швидкість кожного циліндра v₀= 0 .

8. Колесо, обертаючись рівносповільнено, зменьшило за час t1 частоту обертання від n1=300 об/ хв. до n2=180 об/ хв. Момент інерції колеса J =2кг*м. Знайти кутове прискорення E колеса, момент сил гальмування М , роботу А сил гальмування і кількість обертів N зроблених колесом за час t =1хв.

9. Вентилятор що обертаеться з частотою n =900об/хв. Після виключення вентилятор , обертаючись рівносповільнено , зробив до зупинки N =75об. Робота сил гальмування А=44,4 Дж . Знайти момент інерції J вентилятора і момент сил гальмування М.

10. Махове колесо , момент інерції якого J =245кг*м. , обертається з частотою n=20об/с. Після того як на колесо перестав діяти обертальний момент , воно зупинилось , зробивши N =1000 об. Найти момент сил тертя Мтр і час t , що пройшов з момента припинення дії обертаючого момента до зупинки колеса.

11. По ободу шківа , що надітий на загальну вісь з маховим колесом , намотана нитка , до кінця якої підвішаний вантаж масою m=1кг . На яку відстань h повинен опуститися вантаж, щоб колесо зі шківа отримало частоту обертання n=300об/хв? Момент інерції колеса зі шківом J =0,42кг*м, радиус шківа R=10см.

12. Махове колесо починає обертатися з кутовим прискоренням E=0,5 рад/с2 і через час t1 =15с після початку руху набуває момента імпульсу L=73,5 кг*м2/с. Найти кінетичну енергію Wк колеса через час t2 =20с після початку руху.

13. Маховик обертається з частотою n=10 об/с . Його кінетична енергія Wк =7,85кДж. За який час t момент сили М=50Н*м, прикладань до маховика, збільшить кутову швидкість маховика w вдвічі.

14. До обода диска масою m=5кг прикладена дотична сила F=19,6 Н . Яку кінетичну енергію Wк буде мати диск через час t =5с. після початку дії сили?

15. Однорідний стержень довжиною l =1м підвішаний на горизонтальній осі, що проходить через початок стержня. На який кут а потрібно відхилити стержень, щоб нижній кінець стержня при проході положення рівноваги мав швидкість v=5м/с ?

16. Однорідний стержень довжиною l =85см підвішаний на горизонтальній осі, що проходить через початок стержня. Яку швидкість v потрібно передати нижньому кінцю стержня, щоб він зробив повний одерт навколо осі ?

39. Олівець довжиною l =15см, поставлений вертикально, падає на стіл. Яку кутову швидкість w і лінійпу швидкість v матимуть на кінець падіння середина і верхній кінець олівця ?

40. Горизонтальна платформа масою m =100кг обертається навколо вертикальної осі , яка проходить через центр платформи , з частотою n1=10 об/хв. Людина масою mо =60кг стоїть при цьому на краю платформи . З якою частотою n2 почне обертатися платформа , якщо людина перейде від краю платформи до її центру ? Вважати платформу однорідним диском , а людину — точковою масою.

39. Яку роботу А виконає людина при переході від края платформи до її центру в умові попередньої задачі ? Радіус платформи R=1,5м.

39. Горизонтальна платформа масою m =80кг і радіусом R=1м обертається з частотою n1=20 об/хв. В центрі платформи стоїть людина і держе в розведених руках гирі . З якою частотою n2 почне обертатися платформа , якщо людина , опустивши руки , зменьшить свій момент інерції від J1=2,94 до J2=0,98 кгм2 ? Вважати платформу однорідним диском.

39. В скільки разів збільшиться кінетична енергія Wк платформи з людиною в умові попередньої задачі ?

39. Людина масою 60 кГ знаходиться на нерухомій платформі масою 100 кг. Яка кількість обертів в хвилину буде робити платформа, якщо людтна буде рухатися по колу радіусом 5 м навколо осі обертання ? Швидкість руху людини відносно платформи дорівнює 4 км/год. Радіус платформи 10 м. Вважати платформу однорідним диском, а людину – точковою масою.

40. Однорідний стержень довжиною l =0,5 м робить малі коливання в вертикальній площині навколо горизонтальної осі , яка проходить через його верхній кінець . Знайти період коливань Т стержня.

39. Знайти період коливань Т стержня попередньої задачі , якщо вісь обертанняпроходить через точку на відстані d=10см від його верхнього кінця.

39. На кінцях вертикального стержня закріплені два вантажі . Центр мас вантажів знаходиться нижче середини стержня на відстані d=5см. Знайти довжину l стержня , якщо відомо , що період малих коливань стержня з вантажами навколо вертикальної осі , яка проходить через його середиу , Т=2с. Масою стержнів знехтувати відносно маси вантажів.

39. Обруч діаметром D=56,5 см висить на гвіздку , забитому в стіну , і робить малі коливання в площині , паралельній стіні . Знайти період коливань Т обруча .

39. Якої найменьшої довжини l потрібно взяти нитку , до якої підвішена однорідна кулька діаметром D=4 см , щоб при знаходженні періода малих коливань Т кульки її вважати за математичний маятник ? Похибка при такому припущенні не повинна перевищувати 1%.

39. Однорідна кулька підвішена на нитці , довжина якої l дорівнює радіусу кульки R. В скільки разів період малих коливань Т1 цього маятника більше періода малих коливань Т2 математичного маятника з такою-ж відстаню від центра мас до точки підвіса ?