Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

двойственная задача

.pdf
Скачиваний:
6
Добавлен:
23.03.2015
Размер:
247.38 Кб
Скачать

Двойственные задачи

Содержание

Экономическая интерпретация задачи, двойственной задаче об использовании ресурсов

2

Взаимно двойственные задачи линейного программирования и их свойства

5

Теоремы двойственности

9

Объективно обусловленные оценки и их смысл

19

Предметный указатель

23

Назад Первая Предыдущая Следующая Последняя Перейти Предметный указатель

Каждой задаче линейного программирования соответствует другая задача, называемая двойственной или сопряженной по отношению к исходной. Теория двойственности оказалась полезной для проведения качественных исследований задач линейного программирования.

Экономическая интерпретация задачи, двойственной задаче об использовании ресурсов

В теме 1 рассмотрена задача об использовании ресурсов (экономико-математичекая модель и содержательная интерпретация этой задачи I представлены в левой части табл. 5.1). В приведенной модели bi (i = 1, 2, . . . , m) обозначает запас ресурса Si; aij — число единиц ресурса Si, потребляемого при производстве единицы продукции Pj (j = 1, 2, . . . , n); cj — прибыль (выручка) от реализации единицы продукции Pj (или цена продукции Pj).

Предположим, что некоторая организация решила закупить ресурсы S1, S2, . . . , Sm предприятия и необходимо установить оптимальные цены на эти ресурсы y1, y2, . . . , ym.

Очевидно, что покупающая организация заинтересована в том, чтобы затраты на все ресурсы Z в количествах b1, b2, . . . , bm по ценам соответственно y1, y2, . . . , ym были минимальны, т.е.

Z= b1y1 + b2y2 + . . . + bmym → min .

Сдругой стороны, предприятие, продающее ресурсы, заинтересовано в том, чтобы полученная выручка была не менее той суммы, которую предприятие может получить при переработке ресурсов в готовую

продукцию. На изготовление единицы продукции P1 расходуется a11 единиц ресурса S1, a21 единиц ресурса S2, . . . , ai1 единиц ресурса Si, . . . , am1 единиц ресурса Sm по цене соответственно y1, y2, . . . , yi, . . . , ym. Поэтому для удовлетворения требований продавца затраты на ресурсы, потребляемые при изготовлении единицы продукции P1, должны быть не менее ее цены c1, т.е.

Назад Первая Предыдущая Следующая Последняя Перейти Предметный указатель

a11y1 + a21y2 + . . . + am1ym > c1.

Аналогично можно составить ограничения в виде неравенств по каждому виду продукции P1, P2,

. . . , Pn. Экономико-математическая модель и содержательная интерпретация полученной таким образом двойственной задачи II приведены в правой части табл. 5.1.

Назад Первая Предыдущая Следующая Последняя Перейти Предметный указатель

Таблица 5.1.

Задача I (исходная)

 

 

 

 

Задача II (двойственная)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F = c1x1 + c2x2 + . .

. + cnxn → max

(5.1)

Z = b1y1 + b2y2 + . . .

+ bmym → min

(5.2)

 

 

при ограничениях:

 

 

 

 

при ограничениях:

 

 

 

 

 

 

a21x1

+ a22x2

+ . . .

+ a2nxn

6 b2

,

(5.3)

a12y1

+ a22y2

+ . . .

+ am2y2

6 c2

,

(5.4)

 

 

a11x1

+ a12x2

+ . . . + a1nxn

6 b1

,

 

a11y1

+ a21y2

+ . . . + am1y1

6 c1

,

 

 

 

. . . . .

. . . . . . . .

. . . . . .

. . . . .

 

 

 

. . . . .

. . . . . . . .

. . . . .

. . . . . .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

am1x1 + am2x2 + + amnxn 6 bm. . .

 

a1ny1 + a2ny2 + + amnym 6 cn. . .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и условии неотрицательности

 

 

 

и условии неотрицательности

 

 

 

 

 

 

x1 > 0, x2 > 0, . . . , xn > 0.

(5.5)

 

y1 > 0, y2 > 0, . . . , ym > 0.

 

(5.6)

 

 

Составить такой план выпуска продукции

Найти такой набор цен (оценок) ресурсов

 

 

X = (x1, x2, . . . , xn), при котором прибыль

Y = (y1, y2, . . . , ym),

при котором общие

 

 

(выручка) от реализации продукции будет

затраты на ресурсы будут минимальными

 

 

максимальной при условии, что потребление

при условии, что затраты на ресурсы при

 

 

ресурсов по каждому виду продукции не пре-

производстве каждого вида продукции будут

 

 

взойдет имеющихся запасов

 

 

 

не менее прибыли (выручки) от реализации

 

 

 

 

 

 

 

 

 

этой продукции

 

 

 

 

 

 

 

 

Назад Первая Предыдущая Следующая Последняя Перейти Предметный

 

указатель

 

 

Цены ресурсов y1, y2, . . . , ym в экономической литературе получили различные названия: учетные, неявные, теневые. Смысл этих названий состоит в том, что это условные, «ненастоящие» цены. В отличие от «внешних» цен c1, c2, . . . , cn на продукцию, известных, как правило, до начала производства, цены ресурсов y1, y2, . . . , ym являются внутренними, ибо они задаются не извне, а определяются непосредственно в результате решения задачи, поэтому их чаще называют оценками ресурсов.

Взаимно двойственные задачи линейного программирования и их свойства

Рассмотрим формально две задачи I и II линейного программирования, представленные в табл. 5.1, абстрагируясь от содержательной интерпретации параметров, входящих в их экономикоматематические модели. Обе задачи обладают следующими свойствами:

1.В одной задаче ищут максимум линейной функции, в другой — минимум.

2.Каждая из задач задана в стандартной форме, причем в задаче максимизации все неравенства вида «6», а в задаче минимизации — все неравенства вида «>».

3.Коэффициенты при переменных в линейной функции одной задачи являются свободными членами системы ограничений в другой.

4.Матрицы коэффициентов при переменных в системах ограничений обеих задач являются транспонированными друг к другу:

Назад Первая Предыдущая Следующая Последняя Перейти Предметный указатель

для задачи I

A =

a21

a22

. . . a2n ,

 

 

a11

a12

. . . a1n

 

 

 

a. . .

a. . .

.. .. .. a. . .

 

 

 

m1

m2

mn

 

 

 

 

 

 

 

для задачи II

A0 = a12

a22

. . . am2

,

 

 

a11

a21

. . . am1

 

 

 

a. . .

a. . .

.. .. .. a. . .

 

 

1n

2n

mn

 

 

 

 

 

 

 

5.Число неравенств в системе ограничений одной задачи совпадает с числом переменных в другой задаче.

6.Условия неотрицательности переменных имеются в обеих задачах.

Две задачи I и II линейного программирования, обладающие указанными свойствами, называются симметричными взаимно двойственными задачами. В дальнейшем для простоты будем называть их просто двойственными задачами.

Исходя из определения, можно предложить следующий алгоритм составления двойственной задачи.

1.Привести все неравенства системы ограничений исходной задачи к одному смыслу: если в исходной задаче ищут максимум линейной функции, то все неравенства системы ограничений привести к виду «6», а если минимум — к виду «>». Для этого неравенства, в которых данное требование не выполняется, умножить на −1.

2.Составить расширенную матрицу задачи A1, в которую включить матрицу коэффициентов при переменных A, столбец свободных членов системы ограничений и строку коэффициентов при переменных в линейной функции.

Назад Первая Предыдущая Следующая Последняя Перейти Предметный указатель

3.Найти матрицу A01, транспонированную к матрице A1.

4.Сформулировать двойственную задачу на основании полученной матрицы A01 и условия неотрицательности переменных.

B 5.1. Составить задачу, двойственную следующей задаче:

F = −x1 + 2x2 → max

при ограничениях:

 

x1

+ 4x2

6 24,

 

2x1

x2

>

1,

x1

 

x2

6

3,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x1 >1

0, x2 2>>0.

 

 

x

+

x

 

5,

 

 

 

 

 

 

Решение.

1.Так как исходная задача на максимизацию, то приведем все неравенства системы ограничений к виду «6», для чего обе части первого и четвертого неравенства умножим на −1. Получим

x1

+ 4x2

6 24,

 

2x1

+ x2

6

−1,

x1

 

x2 6

3,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−x1 − x2 6 −5,

 

 

 

 

 

 

Назад Первая Предыдущая Следующая Последняя Перейти Предметный указатель

2. Составим расширенную матрицу задачи

 

 

 

 

 

 

-1

4

 

 

 

24

 

 

-2

1

-1

.

A1 =

-1 -1

-5

 

 

1

-1

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-1

2

F

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Найдем матрицу A01, транспонированную к A

A1

=

1

-4

-1

-1

2 .

 

 

 

-2

1

1

-1

-1

 

 

 

-1

24

3

-5

Z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Сформулируем двойственную задачу:

Z = −y1 + 24y2 + 3y3 − 5y4 → min

при ограничениях

2y1 − y2 + y3 − y4 > −1, y1 + 4y2 − y3 − y4 > 2, y1 > 0, y2 > 0, . . . , y4 > 0. I

Назад Первая Предыдущая Следующая Последняя Перейти Предметный указатель

Замечание. Взаимно-однозначное соответствие между переменными одной из взаимно двойственных задач и ограничениями другой удовлетворяет следующему положению: j-е ограничение одной задачи будет неравенством, если на j-ю переменную другой задачи наложено условие неотрицательности. Если же j-я переменная не ограничена в знаке, то j-е ограничение будет равенством.

Теоремы двойственности

Связь между оптимальными решениями двойственных задач устанавливается с помощью теорем двойственности. Вначале рассмотрим вспомогательное утверждение.

Основное неравенство теории двойственности.

Пусть имеется пара двойственных задач I и II. Для любых допустимых решений X = (x1, x2, . . . , xn) и Y = (y1, y2, . . . , ym) исходной и двойственной задач справедливо наравенство:

n

m

 

 

X

Xi

 

 

F (X) 6 Z(Y ) или

cjxj 6

biyi

(5.7)

j=1

=1

 

 

Теперь можно перейти к признакам оптимальности решений.

Достаточный признак оптимальности

Теорема 1 Если X = (x1, x2, . . . , xn) и Y = (y1, y2, . . . , ym) — допустимые решения взаимно двойственных задач, для которых выполняется равенство

F (X ) = Z(Y ),

(5.8)

то X — оптимальное решение исходной задачи I, а Y — оптимальное решение двойственной задачи II.

Назад Первая Предыдущая Следующая Последняя Перейти Предметный указатель

Кроме достаточного признака оптимальности взаимно двойственных задач существуют и другие важные соотношения между их решениями. Прежде всего возникают вопросы: всегда ли для каждой пары двойственных задач есть одновременно оптимальные решения; возможна ли ситуация, когда одна из двойственных задач имеет решение, а другая — нет. Ответ на эти вопросы дает следующая теорема.

Теорема 2 Первая (основная) теорема двойственности. Если одна из взаимно двойственных задач имеет оптимальное решение, то его имеет и другая, причем оптимальные значения их целевых функций равны:

Fmax = Zmin или F (X ) = Z(Y )

(5.9)

Если целевая функция одной из задач не ограничена, то условия другой задачи противоречивы.

Из первой части утверждения теоремы следует, что равенство (5.8) является не только достаточным, но и необходимым признаком оптимальности решений взаимно двойственных задач.

Рассмотрим примеры, подтверждающие справедливость первой теоремы двойственности.

В разделе 1.2 была сформулирована задача об использовании ресурсов I, которая была решена ранее (см.разд. 4.2 и 4.6) и двойственная ей задача II, решенная в разд. 4.3. Оптимальные значения их целевых функций были равны Fmax = 24 для задачи I и Xmin = 24 для задачи II, т.е. заключение первой части основной теоремы двойственности (5.9) верно.

Экономический смысл первой теоремы двойственности: предприятию безразлично, производить ли продукцию по оптимальному плану X = (x1, x2, . . . , xn) и получить максимальную прибыль от ее реализации Fmax либо продавать ресурсы по оптимальным ценам Y = (y1, y2, . . . , ym) и возместить от продажи равные ей минимальные затраты на ресурсы Zmin.

Замечание. Утверждение, обратное по отношению ко второй части основной теоремы двойственности, в общем случае неверно, т.е. из того, что условия исходной задачи противоречивы, не всегда следует, что целевая функция двойственной задачи не ограничена.

Назад Первая Предыдущая Следующая Последняя Перейти Предметный указатель

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.