двойственная задача
.pdf
Для подтверждения справедливости второй части основной теоремы двойственности и последнего замечания, рассмотрим две пары двойственных задач и приведем иллюстрацию их графического решения.
Пример 1.
F = −8x1 + 2x2 → min Z = y1 − y2 → max
−x1 + 2x2 > 1 |
y1 + 2y2 > 8 |
2x1 − x2 6 1 |
2y1 + y2 6 2 |
x1, x2 > 0 |
y1, y2 > 0 |
•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель
|
x2 |
|
|
|
ОДР |
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
- 1 |
0 |
1 |
x1 |
|
|
||
(1) |
|
2 |
|
|
- 1 |
|
Fmin → -∞ |
|
(2) |
|
|
|
Рис. 5.1. |
|
|
•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель |
|||
|
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y1 |
|
|
0 |
1 |
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
(1) |
|
|
|
|
|
ОДР - Ø |
|
|
|
|
(2) |
|
|
|
|
|
|
Рис. 5.2. |
|
|
|
Пример 2. |
|
|
|
|
|
|
F = 3x1 + 5x2 → max |
Z = 5y1 − 7y2 → min |
|||||
|
3x1 |
− |
4x2 6 5 |
|
3y1 + 2y2 > 3 |
|
−2x1 |
> 7 |
−4y1 |
> 5 |
|||
|
x1, x2 > 0 |
|
y1, y2 > 0 |
|
||
•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель |
||||||
|
x2 |
|
|
|
x1 |
-3,5 |
0 |
5 |
|
|
3 |
|
5 |
ОДР - Ø |
(2) |
− 4 |
|
(1) |
|
|
|
|
Рис. 5.3. |
•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель |
||
|
y2 |
|
|
3 |
|
|
2 |
|
|
|
y1 |
5 |
0 |
1 |
− 4 |
|
|
|
(2) |
ОДР - Ø |
|
|
|
|
|
(1) |
|
|
Рис. 5.4. |
Как видно, в первом примере у одной задачи целевая функция неограничена, а у другой задачи усло- |
||
вия противоречивы. |
|
|
Во втором примере у обеих задач условия противоречивы. |
||
Тесная связь между двумя взаимно двойственными задачами проявляется не только в равенстве оп- |
||
тимальных значений их целевых функций. |
|
|
Рассмотрим разобранные ранее задачу об использовании ресурсов I и двойственную к ней II: |
||
•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель |
||
F = 2x1 + 3x2 → max Z = 18y1 + 16y2 + 5y3 + 21y4 → min
2x1 |
+ x2 |
6 16 |
y1 + 2y2 |
+ 3y4 > 2 |
||
|
x1 |
+ 3x2 |
6 |
18 |
3y1 + y2 + y3 |
> 3 |
|
x2 6 5 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1,1x2 > 0 6 |
|
y1, y2, y3, y4 > 0. |
||||
|
3x |
|
|
21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если каждую из этих задач решать симплексным методом, то необходимо привести их к каноническому виду, для чего в системы ограничений вводят дополнительные переменные:
2x1 |
+ x2 |
+ x4 |
= 16 |
y1 + 2y2 |
+ 3y4 y5 |
|
= 2 |
|
|
x1 |
+ 3x2 |
+ x3 |
= 18 |
3y1 + y2 + y3 |
− |
|
y6 = 3 |
|
x2 + x5 |
= 5 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x1 |
|
+ x6 |
= 21 |
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Установим соответствие между переменными обеих задач: первоначальным переменным одной задачи соответствуют дополнительные переменные другой:
Теорема 3 Положительным (ненулевым) компонентам оптимального решения одной из взаимно двойственных задач соответствуют нулевые компоненты оптимального решения другой задачи.
Теорема 4 Вторая теорема двойственности. Компоненты оптимального решения двойственной задачи равны абсолютным значениям коэффициентов при соответствующих переменных целевой функции исходной задачи, выраженной через свободные переменные ее оптимального решения.
•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель
Задача I (исходная)
Первоначальные переменные |
Дополнительные переменные |
||
|
|
|
|
x1 |
x2 |
x3 x4 |
x5 x6 |
l |
l |
l l |
l l |
y5 |
y6 |
y1 y2 |
y3 y4 |
Дополнительные переменные |
Первоначальные переменные |
||
|
|
|
|
|
Задача II (двойственная) |
|
|
Они находятся в последней строке симплекс-таблицы, содержащей оптимальное решение исходной задачи.
Fmax = F (6; 4; 0; 0; 1; 3) = 24,
4 3
Zmin = Z(5; 5; 0; 0; 0; 0) = 24.
Замечание. Если в одной из взаимно двойственных задач нарушается единственность оптимального решения, то оптимальное решение двойственной задачи вырожденное.
Таким образом, с помощью теорем двойственности можно, решив симплекс-методом одну из задач, найти оптимум и оптимальное решение двойственной задачи.
•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель
Базис |
св. чл. |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
6 |
1 |
0 |
− |
1 |
|
3 |
|
|
0 |
0 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
5 |
|
5 |
|
|
|||||||||||
x5 |
1 |
0 |
0 |
− |
2 |
|
1 |
|
|
1 |
0 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
5 |
|
5 |
|
|
|||||||||||
x2 |
4 |
0 |
1 |
2 |
|
|
− |
1 |
0 |
0 |
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
5 |
|
|
5 |
||||||||||||
x6 |
3 |
0 |
0 |
3 |
|
|
− |
9 |
0 |
1 |
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
5 |
|
|
5 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Fmax |
24 |
0 |
0 |
4 |
|
|
3 |
|
|
0 |
0 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
5 |
|
|
5 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Zmin |
24 |
y5 |
y6 |
y1 |
y2 |
y3 |
y4 |
||||||||
•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель
Объективно обусловленные оценки и их смысл
Компоненты оптимального решения двойстенной задачи называются оптимальными (двойственными) оценками исходной задачи.
Академик Л.В. Канторович назвал их объективно обусловленными оценками. Обратимся к экономическому смыслу переменных обеих взаимно двойственных задач.
Оптимальное решение исходной задачи (I)
|
Число единиц продукции |
|
Остатки ресурсов |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
P1 |
|
P2 |
S1 |
S2 |
S3 |
S4 |
|
|
|
|
|
|
|
x1 = 6 |
|
x2 = 4 |
x3 = 0 |
x4 = 0 |
x5 = 1 |
x6 = 3 |
l |
|
l |
l |
l |
l |
l |
y5 = 0 |
|
y6 = 0 |
y1 = 4/5 |
y2 = 3/5 |
y3 = 0 |
y4 = 0 |
Превышение затрат на ресурсы над |
Объективно обусловленные оценки |
|||||
ценой реализации |
ресурсов (условные цены ресурсов) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
Оптимальное решение двойственной задачи (II)
Объективно обусловленные оценки ресурсов определяют степень дефицитности ресурсов: по оптимальному плану производства дефицитные (т.е. полностью используемые) ресурсы получают ненулевые оценки, а недефицитные — нулевые оценки.
Объективно обусловленные оценки ресурсов показывают, на сколько денежных единиц изменится максимальная выручка от реализации продукции при изменении запаса соответствующего ресурса на одну единицу.
•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель
При этом следует помнить, что объективно обусловленные оценки ресурсов позволяют судить об эффекте не любых, а лишь сравнительно небольших изменений ресурсов. При резких изменениях сами оценки могут стать другими, что приводит к невозможности их использования для анализа эффективности производства. Говорят, что изменения запасов ресурсов, при которых оптимальное решение двойственной задачи остается неизменнным, находятся в пределах устойчивости двойственных оценок.
В оптимальный план производства могут попасть только рентабельные, неубыточные виды продукции — цена продукции равна затратам на необходимые для ее изготовления ресурсы (y5 = y6 = 0).
Двойственные оценки могут служить инструментом анализа и принятия правильных решений в условиях постоянно меняющегося производства. Так, например, с помощью объективно обусловленных оценок ресурсов возможно сопоставление оптимальных условных затрат и результатов производства.
Пример 3.
Пусть в рассмотренной нами задаче распределения ресурсов появилась возможность выпуска еще одного (третьего) вида продукции P3. Для ее производства необходимо 3 единицы ресурса S1, 2 единицы ресурса S2, 4 единицы ресурса S3 и 1 единица ресурса S4. Цена реализации этой продукции 3 денежные единицы. Установить, целесообразно ли включить эту продукцию в план производства. Какой должна быть цена этой продукции, чтобы ее производство было рентабельным?
B Можно включить в условие задачи продукцию P3 и заново решить задачу, но в этом нет необходимости, так как известны объективно обусловленные оценки ресурсов.
Сравним дополнительные затраты на ресурсы в расчете на единицу продукции P3 с ценой ее реализации.
3y1 + 2y2 + 4y3 + y4 = 3 · |
4 |
+ 2 · |
3 |
+ 4 · 0 + 0 = 3, 6 > 3 |
5 |
5 |
Т.е. затраты на производство единицы продукции P3 на 0,6 ден. ед. больше предполагаемой цены ее реализации. Поэтому включать данную продукци. в производство нецелесообразно (необходимость повторного решения задачи в изменившихся условиях отпадает).
•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель