П. Поверхности и линии в пространстве.

§ 23. Поверхность и ее уравнение.

Уравнением поверхности в общей декартовой или в прямо­угольной системе координат называется уравнение F(х,у,z)=0, которое удовлетворяется координатами любой точки, лежащей на этой поверхности и не удовлетворяется координатами точек, не лежащих на поверхности.

Аналогично определяется уравнение поверхности в сферических координатах (неявное) и в цилиндрических координатах (неявное).

В частности, уравнение поверхности в декартовой системе координат может быть задано в виде, разрешенном относительно одной из координат, например в виде z=f(x,y).

Наконец, поверхность может быть задана параметрическими урав­нениями.

Параметрическими уравнениями поверхности П в декартовой системе координат называются уравнения вида

где функции и имеют одну и ту же область определенияD (которая представляет собой множество упорядо­ченных пар чисел (и,); каждой паре чисел (и,) из этой области D соответствует точка M(x(u,), y(u,), z(и,)) поверхности П, и для любой точки М поверхности П найдется пара чисел и, из области D, такая, что х(и,), у (и,), z (и,) будут координатами точки М. Числа и и называются криволинейными (или внут­ренними) координатами точки М. Аналогично определяются пара­метрические уравнения линии в цилиндрических и сферических координатах.

§ 24. Примеры составления уравнений поверхностей

Пример 1. Введем в пространстве декартову прямоугольную систему коор­динат. Рассмотрим сферу S радиуса а с центром в точке С. Точка М(х,у,z) лежит на сфере S тогда и только тогда, когда длина отрезка СМ равна а (рис. 55) или тогда и только тогда, когда или

.

В частности, уравнение сферы радиуса а с центром в начале координат имеет вид .

Пример 2. Введем в пространстве декартову прямоугольную систему координат Охуz, а кроме того - полярную, принимая положительную полуось Ох за полярную ось, за экваториальную плоскость - плоскость хОу, причем ориен­тируем ее треугольником (E₁ и E₂—масштабные точки осей Ох и Оу), а за зенитную ось - ось Оz. Рассмотрим сферу S радиуса а с центром в начале координат. Возьмем на этой сфере произвольную точку М(х,у,z), обозначим ее долготу и широту соответственно через u и (рис. 56).

Рис. 55

Рис. 56

Тогда (см. § 19, формулы (1)) ; таковы параметрические уравнения рассматриваемой сферы S. Криволинейные координаты точки М - это ее долгота и и широта . Область D изменения параметров и, такова:

Заметим, что сферу S в сферических координатах можно записать уравне­нием =а.

Пример 3. Составим уравнение прямой круговой конической поверх­ности К, вершина которой находится в начале декартовой прямо-угольной системы координат, а острый угол между образующими поверхности и осью Оz равен .

Пусть М(х,у,z) - произвольная точка поверх-ности К; тогда рассто­яние MQ от этой точки М до оси Оz равно расстоянию М'O от про­екции М' (х,у,0) точки М(х,у,z) в плоскость хОу до начала координат (рис. 57), т. е. .

С другой стороны, , а так как , то из последних соотношений находим , откуда .

О

братно, если координаты некоторой точкиМ(х,у,z) удовлетворяют послед­нему уравнению, то , откуда или , а значит, точкаМ лежит на прямой, проходящей через начало координат и наклоненной к оси Оz под углом , т. е. точка М лежит на поверхности конуса К.

Наряду с декартовой прямоугольной системой координат введем поляр­ную, как это сделано в § 19 (и в предыдущем примере). Обозначим через и расстояние от точки М до начала координат, а через -долготу точки М. Тогда

.

Однако этими параметрическими уравнени-ями не задается вся поверхность К, (так как ). Для задания параметрическими уравнениями всей поверхности К следует считать, что u принимает все действительные значения. Таким образом, область D изменения параметров и и такова: . (D)

При таком выборе области D изменения параметров и и предыдущие уравнения являются параметрическими уравнениями поверхности К.

Заметим, что часть поверхности К, соответствующая неотрицательным значениям и (т. е. одна полость конической поверхности К.) , в сферических координатах может быть записана ура­внением вида ,

Рис. 58

а обе полости, т. е. вся поверхность К - двумя уравнениями:

(знак + соответствует "верхней" части поверхности К, знак - "нижней").

Пример 4. Докажем, что уравнение где , в декартовой прямоугольной системе координат является уравнением прямой круговой цилиндрической поверхности П с образующими, параллельными оси Оz, причем плоскость хОу пересекает эту поверхность по окружности С ра­диуса а с центром в начале координат.

В самом деле, координаты точки М(х,у,z) удовлетворяют уравнению тогда и только тогда, когда координаты М'(х,у,0) проекции точки М на плоскость хОу удовлетворяют этому уравнению, а это значит, что точка М лежит на поверхности, заданной уравнением тогда и только тогда, когда ее проекция М' на плоскость хОу лежит на окружности С: (). Значит, есть уравнение цилиндрической поверхности П, описанной выше (рис. 58).