§ 131. Асимптотический конус гиперболоидов.
Два гиперболоида
(один однополостный, другой двуполостный):
(9)
называются сопряжёнными.
Конус второго
порядка, выражаемый уравнением:
(10)
называется асимптотическим конусом для обоих гиперболоидов.
Докажем, что любая
плоскость, проходящая через ось
,
пересекает поверхности (9) по сопряжённым
гиперболам, а асимптотический конус
(10) по двум прямым, которые для этих
сопряженных гипербол являются асимптотами.
В самом деле, повернём оси координат
вокруг оси
на угол
.
Уравнения (9) и
(10) в новой системе координат
будут иметь вид:
,
(
)
.
(
)
Сечения этих
поверхностей плоскостью
выражаются уравнениями:
,
(
)
,
(
)
Из этих уравнений
видно, что сечениями являются две
гиперболы (
)
с полуосями:
,
,
а прямые (
)
- асимптотами этих гипербол (См. рис.
205).
Заметим, что все
гиперболоиды семейства:
имеют общий асимптотический конус:
(См. рис. 206).
Рис. 205. Рис. 206.
