§ 130. Двуполостный гиперболоид.

Определение. Двуполостным гиперболоидом назы-вается поверхность, уравнение которой в некоторой специально выбранной прямоугольной системе коор-динат, имеет вид: . (7)

Начало координат является центром симметрии (центр) двуполостного гиперболоида. Оси координат - осями симметрии (главные оси), координатные плос-кости - плоскостями симметрии (главные плоскости).

Если в уравнении (7) , то двуполостный гиперболоид называется гиперболоидом вращения, так как может быть получен вращением гиперболы:вокруг его действительной оси (См. рис.202).

Рис. 202. Рис. 203

Вершинами двуполостного гиперболоида называются точки его пересечения с главной осью . Двуполостный гиперболоид (7) имеет две вершины.

Плоскости ипересекает двуполостный гиперболоид (7) по гиперболам:,, и,.

Сечения двуполостного гиперболоида (7) плоскостью выражается уравнениями:

; .

Если , то первое уравнение не имеет действительных решений - плоскостьне пересекает поверхности.

Если , то, откуда, т.е. это две точки.

Если , то уравнение линии пересечения можно переписать в виде:

; .

Этими уравнениями выражается эллипс с полуосями ,с центром в точкеи осями, соответственно параллельными осями.

Плоскость пересекает поверхность двуполостного гиперболоида (7) по линии, выражаемой уравнениями:;.

Или ;,

т.е. по гиперболе с центром в точке , лежащей в плоскости. Действительная ось этой гиперболы, параллельна оси, мнимая - оси.

Аналогично исследуются сечения поверхности (7) плоскостями (См. рис. 203).

Двуполостный гиперболоид можно получить из двуполостного гиперболоида вращения: ,производя равномерное сжатие.,к плоскости. Двуполостный гиперболоид (7) можно получить из равностороннего двуполостного гиперболоида враще-ния:, производя равномерные сжатия,,соответственно к плоскостям,ис коэффициентами сжатия.

§ 131. Конус второго порядка.

Определение. Конусом второго порядка называется поверхность, уравнение которой в некоторой спе-циально выбранной прямоугольной системе коор-динат, имеет вид: . (8)

Считаем, что в этом уравнении . Начало координат, оси координат и координатные плоскости являются соответственно, центром симметрии, осями симметрии и плоскостями симметрии и называются вершиной, главными осями и главными плоскостями.

Осью конуса (8) обычно называют ось . Основное свойство конуса - это, если на конусе лежит точка(не совпадающая с вершиной), то на нём лежат все точки прямой, проходящей через вершинуи эту точку.

В самом деле, если - произвольная точка, лежащая на прямой, то,,и поэтому:

.

Таким образом, поверхность (8) образована прямыми, проходящими через начало координат. Поэтому для представления вида этой поверхности достаточно рассмотреть её сечение какой-нибудь плоскостью , параллельной плоскости. В сечении получится эллипс, уравнения которого имеют вид:,. Центр этого эллипсалежит на осив точке, а значит, поверхность (8) образована прямыми, соединяющими начало ко-ординат со всеми точками эллипса. (См. рис. 204).

Рис. 204.

Конус (8) может быть получен в результате равномерного сжатия ,,к плоскостиконуса вращения, полученного вращением вокруг осипрямой,, или в результате равномерного сжатия к плоскостям,и:,,равностороннего конуса вращения.