Matematika / Математика. Сборник заданий, часть 1

Окончание

3α & (α β) β

4(α & α β) (α β)

5(α β) (β α)

6(α β) (α β) (α β)

7(α β) & (β γ) (α γ)

8(α γ) & (β γ) (α β γ)

9(α β) & (β γ) (α γ) 10 (γ & α β) (γ (α β)) 11 (α α) β α

12(α α) β

13α (α β) β

14(α α β) (α β)

15(α β) (β α)

16(α β) & (α β) α

17(α β) & (β γ) (α γ)

18(α γ) & (β γ) (α & β γ)

19(α γ) (β γ) (α β γ)

20(γ α β) (γ (α β))

21(α α) & (β β) (α & β) (α & β)

22(α α) & (α α) α

23α & (α β) β

24(α & α β) β

25(α & β) (β & α)

26(α β) (α β) & (β α)

27(α β) (β α)

28(β α) (β α)

29(β α) (α β)

30(α β) (β α)

21

Образец выполнения задания 2.2.1.

Проверить, является ли следующая формула алгебры высказываний законом логики:

(α β) & (α β) α.

Р е ш е н и е.

В соответствии с определением, формула является законом логики, если при любом наборе входящих в нее переменных, она принимает значение И (истина). Поэтому для проверки необходимо составить таблицу истинности для данной формулы и убедиться, что последний столбец, соответствующий окончательному виду формулы, содержит только значения И – тогда данная формула является законом логики (если последний столбец таблицы истинности содержит хотя бы одно значение Л, то формула не является законом логики).

переменных высказываний α и β можно составить 4 различные набора их значений, а для заполнения остальных столбцов таблицы необходимо использовать таблицы истинности соответствующих операций над высказываниями.

В ы в о д. Последний, восьмой столбец таблицы истинности содержит только значения И (истина). Это значит, что при каждом наборе значений переменных высказываний α и β, формула

(α β) & (α β) α принимает истинное значение, а, следова-

22

тельно, по определению она является законом логики. Данный за-

кон логики носит название закон доказательства от противного.

Литература

1.Аляев Ю.А. Тюрин С.Ф. Дискретная математика и математическая логика. – М.: Финансы и статистика, 2006.

2.Данилов А.Н., Толстиков А.В. Вводные главы алгебры и математического анализа: Учебное пособие. – Вологда, 1986.

3.Оревков В.П., Оревкова О.А. Дискретная математика для гуманитариев: Учебное пособие. – СПб., 2006.

4.Судоплатов С.В., Овчинникова Е.В. Элементы дискретной математики: Учебник. – М.; Новосибирск, 2002.

5.Тишин В.В. Дискретная математика в примерах и задачах. – СПб.: БХВ-Петербург, 2008.

23