Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
МОТС / практикаГРАФЫ.doc
Скачиваний:
60
Добавлен:
22.03.2015
Размер:
1.03 Mб
Скачать

4. Лекция: Достижимость в графах

Рассматриваются вопросы достижимости для орграфов и способы нахождения матриц достижимости и контрдостижимости. Рассматривается матричный способ нахождения количества путей между любыми вершинами графа, а также нахождение множества вершин, входящих в путь между парой вершин. Цель лекции: Дать представление о достижимости и контрдостижимости и способах их нахождения

Достижимость и контрдостижимость

Задач, в которых используется понятие достижимости, довольно много.

Вот одна из них. Графможет быть моделью какой-то организации, в которой люди представлены вершинами, а дуги интерпретируют каналы связи. При рассмотрении такой модели можно поставить вопрос, может ли информация от одного лицахiбыть передана другому лицухj, т. е. существует ли путь, идущий от вершиныхiк вершинехj. Если такой путь существует, то говорят, что вершинахjдостижимаиз вершиныхi. Можно интересоваться достижимостью вершиныхjиз вершиныхiтолько на таких путях, длины которых не превосходят заданной величины или длина которых меньше наибольшего числа вершин в графе и т. п. задачи.

Достижимость в графе описывается матрицей достижимости R=[rij], i, j=1, 2, ... n, гдеn– число вершин графа, а каждый элемент определяется следующим образом:

rij=1, если вершинахjдостижима изхi,

rij=0, в противном случае.

Множество вершин R(xi)графаG, достижимых из заданной вершиныxi, состоит из таких элементовxi, для которых(i, j)-й элемент в матрице достижимостей равен 1. Очевидно, что все диагональные элементы в матрицеRравны 1, поскольку каждая вершина достижима из себя самой путeм длины 0. Поскольку прямое отображение 1-го порядкаГ+1(xi)является множеством таких вершинxj, которые достижимы изxiс использованием путей длины 1, то множествоГ++1(xi)) = Г+2(xi)состоит из вершин, достижимых изxiс использованием путей длины 2. АналогичноГ+p(xi)является множеством вершин, которые достижимы из xi с помощью путей длиныp.

Так как любая вершина графа, которая достижима из xi, должна быть достижима с использованием пути (или путей) длины 0 или 1, или 2, ..., илиp, то множество вершин, достижимых для вершиныxi, можно представить в виде

R (xi) = { xi } Г+1(xi) Г+2(xi) ...Г+p(xi).

Как видим, множество достижимых вершин R(xi)представляет собой прямое транзитивное замыкание вершиныxi, т. е.R(xi) = T+(xi). Следовательно, для построения матрицы достижимости находим достижимые множестваR(xi)для всех вершинxiX. Полагая,rij=1, еслиxj R(xi)иrij=0в противном случае.

Рис. 4.1. Достижимость в графе: а –граф; б – матрица смежности; в – матрица достижимости; г- матрица контрдостижимости.

Для графа, приведенного на рис. 4.1,а, множества достижимостейнаходятся следующим образом:

R (х1) = { х1}{ х2, х5}{ х2, х4, х5 }{ х2, х4, х5} = { х1, х2, х4, х5},

R (х2) = { х2}{ х2, х4}{ х2, х4, х5}{ х2, х4, х5} = { х2, х4, х5},

R (х3) = { х3}{ х4}{ х5}{ х5 } = { х3, х4, х5},

R (х4) = { х4}{ х5}{ х5} = { х4, х5},

R (х5) = { х5}{ х5} = { х5},

R (х6) = { х6}{ х3, х7}{ х4, х6}{ х3, х5, х7}{ х4, х5, х6} = { х3, х4, х5, х6, х7},

R (х7) = { х7}{ х4, х6}{ х3, х5, х7}{ х4, х5, х6} = { х3, х4, х5, х6, х7}.

Матрица достижимостиимеет вид, как показано на рис. 4.1,в.Матрицу достижимости можно построить поматрице смежности(рис. 4.1,б), формируя множестваT+(xi)для каждой вершиныxi.

Матрица контрдостижимостиQ = [ qij],i, j =1, 2, ... n, гдеn– число вершин графа, определяется следующим образом:

qij=1, если из вершиныxjможно достичь вершинуxi,

qij=0, в противном случае.

КонтрдостижимыммножествомQ (xi)является множество таких вершин, что из любой вершины этого множества можно достичь вершинуxi. Аналогично построению достижимого множестваR (xi)можно записать выражение дляQ (xi):

Q (xi) = { xi } Г-1(xi) Г-2(xi) ...Г-p(xi).

Таким образом, видно, что Q (xi)– это есть не что иное как обратное транзитивное замыкание вершиныxi, т. е.Q (xi) = Т-(xi). Из определений очевидно, что столбец xiматрицыQ(в которомqij=1, еслиxj Q (xi), иqij=0в противном случае) совпадает со строкойxi матрицыR, т. е.Q = RT,гдеRT– матрица, транспонированная кматрице достижимостиR.

Матрица контрдостижимостипоказана на рис. 4.1,г.

Следует отметить, что поскольку все элементы матриц RиQравны 1 или 0, то каждую строку можно хранить в двоичной форме, экономя затраты памяти ЭВМ. МатрицыRиQудобны для обработки на ЭВМ, так как с вычислительной точки зрения основными операциями являются быстродействующие логические операции.

Нахождение множества вершин, входящих в путь

Если необходимо узнать о вершинах графа, входящих в эти пути, то следует вспомнить определения прямого и обратного транзитивных замыканий. Так как T+(xi)– это множество вершин, в которые есть пути из вершиныxi, аTj)– множество вершин, из которых есть пути вxj, тоT+(xi) T(xj)– множество вершин, каждая из которых принадлежит, по крайней мере, одному пути, идущему отxiкxj . Эти вершины называются существенными или неотъемлемыми относительно двух концевых вершинxiиxj. Все остальные вершины графа называются несущественными или избыточными, поскольку их удаление не влияет на пути отxiкxj.

Рис. 4.2. Орграф

Так для графа на рис. 4.2 нахождение вершин, входящих в путь, например из вершины х2в вершинух4, сводится к нахождениюТ+( х2) ={ х2, х3, х4, х5, х6},

Т-( х4) ={ х1, х2, х3, х4, х5}, и их пересеченияT+2) T4) ={ х2, х3, х4, х5}.

Матричный метод нахождения путей в графах

Матрица смежности полностью определяет структуру графа. Возведем матрицу смежности в квадрат по правилам математики. Каждый элемент матрицы А2 определяется по формуле

a(2)ik=nj=1aijajk

Слагаемое в формуле равно 1 тогда и только тогда, когда оба числа aijиajk равны 1, в противном случае оно равно 0. Поскольку из равенстваaij = ajk = 1следует существование пути длины 2 из вершиныxiв вершинухk, проходящего через вершинуxj, то (i -й,k-й) элемент матрицыА2равен числу путей длины 2, идущих изxiвхk.

В таблице 4.1a представлена матрица смежности графа, изображенного на рис. 4.2. Результат возведения матрицы смежности в квадрат А2показан в таблице 4.1б.

Так "1", стоящая на пересечении второй строки и четвертого столбца, говорит о существовании одного пути длиной 2 из вершины х2к вершинех4. Действительно, как видим вграфена рис. 4.2, существует такой путь:a6, a5. "2" в матрицеA2говорит о существовании двух путей длиной 2 от вершиных3к вершинех6:a8, a4иa10, a3.

Аналогично для матрицы смежности, возведенной в третью степень A3 (таблица 4.1в),a (3) ikравно числу путей длиной 3, идущих отxiкхk. Из четвертой строки матрицыA3видно, что пути длиной 3 существуют: один изх4вх4(a9, a8, a5), один изх4в

х5(a9, a10, a6)и два пути изх4вх6(a9, a10, a3 и a9, a8, a4). МатрицаA4показывает существование путей длиной 4 (таблица 4.1г).

Таким образом, если a р ikявляется элементом матрицыAр,тоa р ikравно числу путей (не обязательно орцепей или простых орцепей) длиныр, идущих отxiкхk.