5. Лекция: Типы графов
Рассматриваются типы графов такие как полный, симметрический, антисимметрический, двудольный, дерево, планарный и их возможные комбинации. Дается теорема о двудольности графов. Цель лекции: Дать представление о типах графов и их свойствах
ГрафG = (X, A)называютполным, если для любой пары вершинхiихj вXсуществует ребро(хi, хj)в неориентированном графе
_ _
G=(X,A)
т. е. для каждой пары вершин графа Gдолжна существовать по крайней мере одна дуга, соединяющая их (рис. 5.1,а).
Граф G =(X, A)называетсясимметрическим, если в множестве дугAдля любой дуги(хi, хj)существует также противоположно ориентированная дуга(хj, хi)(рис. 5.1,б).
Рис. 5.1. а – полный граф; б – симметрический граф; в – антисимметрический граф; г – полный симметрический;
Антисимметрическимназывается
такойграф, для которого справедливо
следующее условие: если дуга(хi,
хj)
A, то во множествеAнет противоположно ориентированной
дуги, т. е.( хj,
хi)
A(рис. 5.1,в). Очевидно, что в
антисимметрическом графе нет петель.
В качестве примера можно рассмотреть граф, являющийся моделью некоторой группы людей: вершины графа интерпретируют людей, а дуги – их взаимоотношения. Так, если в графе дуга, нарисованная от вершины хiк вершинехj , означает, чтохiявляется другом или родственникомхj , тогда данный граф должен быть симметрическим. Если дуга, направленная отхiкхj, означает, что вершинахj подчинена вершинехi, то такой граф должен быть антисимметрическим.
Комбинируя определения полного и симметрического графов и полного и антисимметрического графов, получили следующие определения:
граф G =(X, A), в котором любая пара вершин(хi, хj)соединена двунаправленными дугами, называется полным симметрическим (рис. 5.1,г);
граф G =(X, A), имеющий для каждой пары вершин(хi, хj)только одну дугу, называется полным антисимметрическим или турниром.
Связный граф, не имеющий циклов, либо граф, в котором каждая пара вершин соединена одной и только одной простой цепью, называется деревом(рис. 5.2, а, б).
Рис. 5.2. Граф типа “дерево”: а – неориентированное дерево, б – ориентированное дерево
Ориентированное дерево представляет собой ориентированный граф без циклов, в котором полустепень захода каждой вершины, за исключением одной (например, вершины х1 ), равна 1, а полустепень захода вершины х1 (называют корнем этого дерева) равна 0 (рис. 5.2,б).
Граф G =(X, A), который может быть изображен на плоскости или сфере без пересечений называется планарным (рис. 5.3).
Рис. 5.3. Планарный граф
На рис. 5.4 показаны непланарные графы. Эти два графа играют важную роль в теории планарных графов и известны как графы Куратовского.
Рис. 5.4. Непланарные графы
Неориентированный граф G = (X, A)называют двудольным, если множество его вершин X может быть разбито на такие два подмножества Xа и Xb , что каждое ребро имеет один конец в Xа , а другой в Xb (рис. 5.5,а).
Ориентированный граф G называется двудольным, если его неориентированный двойник – двудольный граф (рис. 5.5,б,в).
Двудольный граф G=(Xа Xb, A) называют полным, если для любых двух вершин хi Xа и хj Xb существует ребро (хi,хj) в G=(X,A) (рис. 5.5,г).
Рис. 5.5. Двудольные графы: а, б, в – двудольные графы; г – полный двудольный граф
Для доказательства двудольности графа существует теорема.