4. Лекция: Достижимость в графах

Рассматриваются вопросы достижимости для орграфов и способы нахождения матриц достижимости и контрдостижимости. Рассматривается матричный способ нахождения количества путей между любыми вершинами графа, а также нахождение множества вершин, входящих в путь между парой вершин. Цель лекции: Дать представление о достижимости и контрдостижимости и способах их нахождения

Достижимость и контрдостижимость

Задач, в которых используется понятие достижимости, довольно много.

Вот одна из них. Графможет быть моделью какой-то организации, в которой люди представлены вершинами, а дуги интерпретируют каналы связи. При рассмотрении такой модели можно поставить вопрос, может ли информация от одного лицах_iбыть передана другому лицух_j, т. е. существует ли путь, идущий от вершиных_iк вершинех_j. Если такой путь существует, то говорят, что вершинах_jдостижимаиз вершиных_i. Можно интересоваться достижимостью вершиных_jиз вершиных_iтолько на таких путях, длины которых не превосходят заданной величины или длина которых меньше наибольшего числа вершин в графе и т. п. задачи.

Достижимость в графе описывается матрицей достижимости R=[r_ij], i, j=1, 2, ... n, гдеn– число вершин графа, а каждый элемент определяется следующим образом:

r_ij=1, если вершинах_jдостижима изх_i,

r_ij=0, в противном случае.

Множество вершин R(x_i)графаG, достижимых из заданной вершиныx_i, состоит из таких элементовx_i, для которых(i, j)-й элемент в матрице достижимостей равен 1. Очевидно, что все диагональные элементы в матрицеRравны 1, поскольку каждая вершина достижима из себя самой путeм длины 0. Поскольку прямое отображение 1-го порядкаГ⁺¹(x_i)является множеством таких вершинx_j, которые достижимы изx_iс использованием путей длины 1, то множествоГ⁺(Г⁺¹(x_i)) = Г⁺²(x_i)состоит из вершин, достижимых изx_iс использованием путей длины 2. АналогичноГ^+p(x_i)является множеством вершин, которые достижимы из x_i с помощью путей длиныp.

Так как любая вершина графа, которая достижима из x_i, должна быть достижима с использованием пути (или путей) длины 0 или 1, или 2, ..., илиp, то множество вершин, достижимых для вершиныx_i, можно представить в виде

R (x_i) = { x_i } Г⁺¹(x_i) Г⁺²(x_i) ...Г^+p(x_i).

Как видим, множество достижимых вершин R(x_i)представляет собой прямое транзитивное замыкание вершиныx_i, т. е.R(x_i) = T⁺(x_i). Следовательно, для построения матрицы достижимости находим достижимые множестваR(x_i)для всех вершинx_iX. Полагая,r_ij=1, еслиx_j R(x_i)иr_ij=0в противном случае.

Рис. 4.1. Достижимость в графе: а –граф; б – матрица смежности; в – матрица достижимости; г- матрица контрдостижимости.

Для графа, приведенного на рис. 4.1,а, множества достижимостейнаходятся следующим образом:

R (х₁) = { х₁}{ х₂, х₅}{ х₂, х₄, х₅ }{ х₂, х₄, х₅} = { х₁, х₂, х₄, х₅},

R (х₂) = { х₂}{ х₂, х₄}{ х₂, х₄, х₅}{ х₂, х₄, х₅} = { х₂, х₄, х₅},

R (х₃) = { х₃}{ х₄}{ х₅}{ х₅ } = { х₃, х₄, х₅},

R (х₄) = { х₄}{ х₅}{ х₅} = { х₄, х₅},

R (х₅) = { х₅}{ х₅} = { х₅},

R (х₆) = { х₆}{ х₃, х₇}{ х₄, х₆}{ х₃, х₅, х₇}{ х₄, х₅, х₆} = { х₃, х₄, х₅, х₆, х₇},

R (х₇) = { х₇}{ х₄, х₆}{ х₃, х₅, х₇}{ х₄, х₅, х₆} = { х₃, х₄, х₅, х₆, х₇}.

Матрица достижимостиимеет вид, как показано на рис. 4.1,в.Матрицу достижимости можно построить поматрице смежности(рис. 4.1,б), формируя множестваT⁺(x_i)для каждой вершиныx_i.

Матрица контрдостижимостиQ = [ q_ij],i, j =1, 2, ... n, гдеn– число вершин графа, определяется следующим образом:

q_ij=1, если из вершиныx_jможно достичь вершинуx_i,

q_ij=0, в противном случае.

КонтрдостижимыммножествомQ (x_i)является множество таких вершин, что из любой вершины этого множества можно достичь вершинуx_i. Аналогично построению достижимого множестваR (x_i)можно записать выражение дляQ (x_i):

Q (x_i) = { x_i } Г^-1(x_i) Г^-2(x_i) ...Г^-p(x_i).

Таким образом, видно, что Q (x_i)– это есть не что иное как обратное транзитивное замыкание вершиныx_i, т. е.Q (x_i) = Т^-(x_i). Из определений очевидно, что столбец x_iматрицыQ(в которомq_ij=1, еслиx_j Q (x_i), иq_ij=0в противном случае) совпадает со строкойx_i матрицыR, т. е.Q = R^T,гдеR^T– матрица, транспонированная кматрице достижимостиR.

Матрица контрдостижимостипоказана на рис. 4.1,г.

Следует отметить, что поскольку все элементы матриц RиQравны 1 или 0, то каждую строку можно хранить в двоичной форме, экономя затраты памяти ЭВМ. МатрицыRиQудобны для обработки на ЭВМ, так как с вычислительной точки зрения основными операциями являются быстродействующие логические операции.

Нахождение множества вершин, входящих в путь

Если необходимо узнать о вершинах графа, входящих в эти пути, то следует вспомнить определения прямого и обратного транзитивных замыканий. Так как T⁺(x_i)– это множество вершин, в которые есть пути из вершиныx_i, аT^–(х_j)– множество вершин, из которых есть пути вx_j, тоT⁺(x_i) T^–(x_j)– множество вершин, каждая из которых принадлежит, по крайней мере, одному пути, идущему отx_iкx_j . Эти вершины называются существенными или неотъемлемыми относительно двух концевых вершинx_iиx_j. Все остальные вершины графа называются несущественными или избыточными, поскольку их удаление не влияет на пути отx_iкx_j.

Рис. 4.2. Орграф

Так для графа на рис. 4.2 нахождение вершин, входящих в путь, например из вершины х₂в вершинух₄, сводится к нахождениюТ⁺( х₂) ={ х₂, х₃, х₄, х₅, х₆},

Т^-( х₄) ={ х₁, х₂, х₃, х₄, х₅}, и их пересеченияT⁺(х₂) T^–(х₄) ={ х₂, х₃, х₄, х₅}.

Матричный метод нахождения путей в графах

Матрица смежности полностью определяет структуру графа. Возведем матрицу смежности в квадрат по правилам математики. Каждый элемент матрицы А² определяется по формуле

a⁽²⁾_ik=ⁿ_j=1^a_ij^a_jk

Слагаемое в формуле равно 1 тогда и только тогда, когда оба числа a_ijиa_jk равны 1, в противном случае оно равно 0. Поскольку из равенстваa_ij = a_jk = 1следует существование пути длины 2 из вершиныx_iв вершинух_k, проходящего через вершинуx_j, то (i -й,k-й) элемент матрицыА²равен числу путей длины 2, идущих изx_iвх_k.

В таблице 4.1a представлена матрица смежности графа, изображенного на рис. 4.2. Результат возведения матрицы смежности в квадрат А²показан в таблице 4.1б.

Так "1", стоящая на пересечении второй строки и четвертого столбца, говорит о существовании одного пути длиной 2 из вершины х₂к вершинех₄. Действительно, как видим вграфена рис. 4.2, существует такой путь:a₆, a₅. "2" в матрицеA²говорит о существовании двух путей длиной 2 от вершиных₃к вершинех₆:a₈, a₄иa₁₀, a₃.

Аналогично для матрицы смежности, возведенной в третью степень A³ (таблица 4.1в),a ⁽³⁾ _ikравно числу путей длиной 3, идущих отx_iкх_k. Из четвертой строки матрицыA³видно, что пути длиной 3 существуют: один изх₄вх₄(a₉, a₈, a₅), один изх₄в

х₅(a₉, a₁₀, a₆)и два пути изх₄вх₆(a₉, a₁₀, a₃ и a₉, a₈, a₄). МатрицаA⁴показывает существование путей длиной 4 (таблица 4.1г).

Таким образом, если a ^р _ikявляется элементом матрицыA^р,тоa ^р _ikравно числу путей (не обязательно орцепей или простых орцепей) длиныр, идущих отx_iкх_k.