ГОС / 22

22. Уравнения Максвелла для электромагнитного поля в вакууме. Физический смысл каждого из уравнений. Скалярный и векторный потенциалы поля.

Система уравнений Максвелла в вакууме.

Первое уравнение Максвелла:

-оно говорит о том, что существуют электрические заряды, они и являются источником электрического поля. Линии электрического поля начинаются и заканчиваются на электрических зарядах. Поток вектора напряженности электрического поля пропорционален числу силовых линий, пронизывающих данную замкнутую поверхность, где есть заряды. Выходящие силовые линии через поверхность считаются полжительными, выходящие- отрицательными.

Отличие от нуля говорит о том, что число силовых линий, входящих и выходящих через поверхность, не совпадают; это значит, что линии напряженности электрического поля теряются или возникают внутри объема, где есть заряды. В дифференциальной форме уравнения Максвелла записаны для данной точки, где есть заряд. В интегральной форме- для всех точек на поверхности и внутри объема, охваченного данной поверхностью, где есть заряд.

В интегральной форме I уравнение Максвелла есть теорема Гаусса.В основе I уравнения Максвелла лежит закон Кулона и принцип линейной суперпозиции для вектора напряженности электрического поля.

II уравнение Максвелла:

В дифференциальной форме данное уравнение говорит о том, что изменяющееся во времени магнитное поле порождает вихревое электрическое.

В интегральной форме II уравнение Максвелла представляет собой закон электромагнитной индукции Фарадея.

Э.д.с. индукии определяется скоростью убывания магнитного потока, пронизывающего поверхность, ограниченную данным контуром.

III уравнение Максвелла:

В дифференциальной форме III уравнение Максвелла говорит о том, что плотность тока проводимости и тока смещения порождают вихревое магнитное поле.

Так как плотность тока смещения пропорциональна скорости изменения электрического поля, то можно сказать, что изменяющееся во времени электрическое поле порождает вихревое магнитное.

В интегральной форме III уравнение Максвелла представляет собой закон полного тока или теорему о циркуляции вектора индукции магнитного поля.

IV уравнение Маквелла:

Поток вектора магнитного поля через замкнутую поверхность равен 0.

IV уравнение Максвелла называют законом отсутствия магнитных зарядов. Для дифференциальной формы , это значит, что линии вектора индукции магнитного поля не возникают и не обрываются, они либо непрерывны и уходят на бесконечность, либо замкнуты. Система уравнений Максвелла представляет собой систему линейных дифференциальных уравнений частных производных первого порядка. Решения данной системы подчиняются принципу линейной суперпозиции. Это значит, что если и являются решением данной системы уравнений и вторая пара векторов и является также решением, то их линейная суперпозиция также является решением этой системы.

Рассмотрим II и IV уравнение Максвелла и от обеих частей II уравнения возьмем дивергенцию:

; ;

Это соотношение утверждает, что источники магнитного поля «заморожены» во времени. IV уравнение утверждает, что они отсутствуют. Из I уравнения выразим плотность заряда. Вспомним уравнение непрерывности.

, где - плотность тока проводимости.

,, отсюда

Тот же результат можно получить взяв дивергенцию от III уравнения

, то есть

- плотность силы Лоренца.

Выясним источники возникновения электромагнитных волн.

I. II. III. IV.

Четвертое уравнение позволяет ввести поле векторного потенциала , такое что (3.1) . Подставим (3.1) во II уравнение Максвелла и получим (3.2)говорит о том, что ротор некоторого векторного поля равен нулю и такое поле называется потенциальным.

Потенциальность некоторого векторного поля позволяет ввести некоторое скалярное поле: (3.3) (3.3’). То есть выразить через два потенциала: скалярный и векторный. Соотношение(3.3) и (3.3’) обладает неоднозначностью, т.е. существует градиентная инвариантность, которая состоит в том, что если потенциалы подвергнуть калибровочному преобразованию, напряженность электрического и индукция магнитного поля не изменятся. (3.4) (3.5)

Воспользуемся соотношением (3.3’):

.

Возможность калибровочного преобразования позволяет на потенциалы наложить дополнительные условия – это условия Лоренца: . Условие Лоренца не является чрезмерно жестким при его наложении так же остается неоднозначность для векторов (потенциалов).