ГОС / 26

26. Волновое движение. Интерференция и дифракция волн. Бегущие и стоячие волны. Энергия волны. Звуковые волны.

Волнами называются возмущения, распространяющиеся в среде (или в вакууме) и несущие с собой энергию. Характерное свойство волн состоит в том, что перенос энергии волной осуществляется без переноса вещества. Основными видами волн являются упругие (звуковые и сейсмические) волны, волны на поверхности жидкости и электромагнитные волны (световые и радиоволны).

В зависимости от направления колебаний частиц по отно­шению к направлению, в котором распространяется волна, различают продольные и поперечные. В про­дольной волне частицы среды колеблются вдоль направле­ния распространения волны. В поперечной волне частицы среды колеблются в направлениях, перпендикулярных к направлению распространения волны. Упругие попереч­ные волны могут возникнуть лишь в среде, обладающей сопротивлением сдвигу. Поэтому в жидкой и газообразной средах возможно возникновение только продольных волн. В твердой среде возможно возникновение как продольных, так и поперечных волн.

рис. 1 движение частиц при распро­странении в среде поперечной волны.

рис. 2. движение частицы при распро­странении в среде продольной волны.

Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, называется волновой поверхностью. Волновые поверхности могут быть любой формы. В простейших случаях они имеют форму плоскости, сферы или цилиндра. Соответственно волна в этих случаях называется плоской, сферической или цилиндрической.

Рис. 1.4

Расстояние λ, на которое распространяется волна за время, равное периоду колебаний частиц среды, называ­ется длиной волны.

где v — скорость волны, Т — период колебаний. Длину волны можно определить также как расстояние между бли­жайшими точками среды, колеблющимися с разностью фаз, равной 2π (рис. 1.4).

Уравнением волны называется выражение, которое дает смещение колеблющейся частицы как функцию её координат x, y, z и времени t: .

Эта функция должна быть периодической как относительно времени, так и относительно координат. Найдем вид функции в случае плос­кой волны, предполагая, что колебания носят гармонический характер. Для уп­рощения направим оси координат так, чтобы ось х совпала с направлением распространения волны. Тогда волновые поверхности будут перпендикулярными к оси х и, по­скольку все точки волновой поверхности колеблются оди­наково, смещение будет зависеть только от х и t: . Пусть колебания точек, лежащих в плоскости х = 0 (рис.), имеют вид . Найдем вид колебания точек в плоскости, соответствую­щей произвольному значению х. Для того чтобы пройти путь от плоскости х = 0 до этой плоскости, волне тре­буется время τ = x/v (v — скорость распространения волны). Следовательно, колебания частиц, лежащих в плоскости х, будут отставать по времени на τ от колебаний частиц в плоскости х = 0, т. е. будут иметь вид

.

Итак, уравнение плоской волны (и продольной, и попереч­ной), распространяющейся в направлении оси х, выгля­дит следующим образом:

(1.4)

Величина а представляет собой амплитуду волны. На­чальная фаза волны α определяется выбором начал от­счета x и t. Зафиксируем какое-либо значение фазы, стоящей в уравнении (1.4), положив (1.5)

Это выражение определяет связь между временем t и тем местом х, в котором фаза имеет зафиксированное значе­ние. Вытекающее из него значение dx/dt дает скорость, с которой перемещается данное значение фазы. Продиф­ференцировав выражение (1.5), получим

(1.6) Таким образом, скорость распространения волны v в урав­нении (1.4) есть скорость перемещения фазы, в связи с чем ее называют фазовой скоростью.

Согласно (1.6) dx/dt > 0. Следовательно, уравнение (1.4) описывает волну, распространяющуюся в сторону возрастания х. Волна, распространяющаяся в противо­положном направлении, описывается уравнением

(1.7)

Уравнению плоской волны можно придать симметрич­ный относительно х и t вид. Для этого введем величину (1.8) Тогда уравнение волны можно переписать так: (1.9)

Уравнение волны, распространяющейся в сторону убыва­ния х, отличается от (1.9) только знаком при члене кх. При выводе формулы (1.9) мы предполагали, что ам­плитуда колебаний не зависит от х. Соответственно уравнение плоской волны с учетом этой зависимости имеет следующий вид:

(1.10) ( — амплитуда в точках плоскости х = 0).

Уравнение плоской волны, распространяющейся в производном направлении, образующем с осями координат x, y, z углы α, β, γ:

где – волновой вектор, – радиус вектор; или:

,

где , , .

Стоячие волны – волны, возникающие вследствие интерференции волн, распространяющихся во взаимно противоположных направлениях. Практически С. в. возникают при отражениях волн от преград и неоднородностей в результате наложения отражённой волны на прямую. Различные участки С. в. колеблются в одной и той же фазе, но с различной амплитудой. В С. в., в отличие от бегущей, не происходит течения энергии. Такие волны возникают, например, в упругой системе - стержне или столбе воздуха, находящегося внутри трубы, закрытой с одного конца, при колебаниях поршня в трубе. Бегущие волны отражаются от границ системы, и в результате наложения падающих и отражённых волн в системе устанавливаются С. в. При этом по длине воздушного столба образуются т. н. узлы смещений (скоростей) - плоскости, перпендикулярные к оси столба, на которых смещения частиц воздуха отсутствуют, а амплитуды давлений максимальны, и пучности смещений - плоскости, на которых смещения максимальны, а давления равны нулю. Узлы и пучности смещений располагаются в трубе на расстояниях четверти длины волны, причём у твёрдой стенки образуются всегда узел смещений и пучность давлений. Во всяком объёме, имеющем определённые границы и источник звука, образуются С. в., но более сложной структуры.

Падающая волна: , отраженная: .

складываем: –

уравнение стоячей волны. Выбираем начало отсчета x и t так, чтобы выполнялось:

,

Координаты узлов (min):

Координаты пучностей (max):

Волновое уравнение и его решение.

Уравнение любой волны является решением диффе­ренциального уравнения, называемого волновым. Что­бы установить вид волнового уравнения, сопоставим вто­рые частные производные по координатам и времени от функции

,описывающей плоскую волну. Продиф­ференцировав эту функцию дважды по каждой из пере­менных, получим:

Сложение производных по координатам дает

Сопоставив эту сумму с производной по времени и заменив на 1/v², получим уравнение

Это и есть волновое можно записать в виде

где Δ — оператор Лапласа.

Легко убедиться в том, что волновому уравнению удо­влетворяет не только функция

, но и любая функция вида

Действительно, обозначив выражение, стоящее в скобках в правой части, через ζ, имеем

Аналогично

Подстановка последних двух выражений в волновое уравнение приводит к выводу, что функция

удовлетворяет вол­новому уравнению, если положить v = ω/k.

Всякая функция, удовлетворяющая волновому уравнению, описывает некоторую волну, причем корень ква­дратный из величины, обратной коэффициенту при , дает фазовую скорость этой волны.

Для плоской волны, распространяющейся вдоль оси х, волновое уравнение имеет вид

Энергия упругой волны

Пусть в некоторой среде распространяется в направле­нии оси х плоская продольная волна

Выделим в среде элементарный объем ΔV, настолько ма­лый, чтобы скорость движения и деформацию во всех точ­ках этого объема можно было считать одинаковыми и рав­ными соответственно дξ/дt и дξ/дх.

Выделенный нами объем обладает кинетической энер­гией

(ρ ΔV — масса объема, дξ/дt — его скорость).

Рассматриваемый объем обладает также потенциальной энергией упругой деформа­ции

(ε = дξ/дх — относительное удлинение цилиндра, Е — модуль Юнга среды). Заменим модуль Юнга на ρv² (ρ — плотность среды, v — фазо­вая скорость волны). Тогда выражение для потенциаль­ной энергии объема ΔV примет вид

Сумма даёт полную энергию

Разделив эту энергию на объем ΔV, в котором она содер­жится, получим плотность энергии

Дифференцирование уравнения один раз по t, дру­гой раз по х дает

Подставив эти выражения в формулу для ω и приняв во внимание, что k²v² = ω², получим

В случае поперечной волны для плотности энергии полу­чается такое же выражение.

Из предыдущего выражения следует, что плотность энергии в каждый мо­мент времени в разных точках пространства различна. В одной и той же точке плотность энергии изменяется со вре­менем по закону квадрата синуса. Среднее значение ква­драта синуса равно 1/2. Соответственно среднее по вре­мени значение плотности энергии в каждой точке среды равно

Плотность энергии и ее среднее значение про­порциональны плотности среды ρ, квадрату частоты ω и квадрату амплитуды волны а. Подобная зависимость име­ет место не только для незатухающей плоской волны, но и для других видов волн (плоской затухающей, сферической и т. д.).

Итак, среда, в которой распространяется волна, обла­дает дополнительным запасом энергии. Эта энергия до­ставляется от источника колебаний в различные точки среды самой волной; следовательно, волна переносит с со­бой энергию. Количество энергии, переносимое волной через некоторую поверхность в единицу времени, называ­ется потоком энергии через эту поверхность. Если через данную поверхность переносится за время dt энер­гия dW, то поток энергии Ф равен

Поток энергии — скалярная величина, размерность кото­рой равна размерности энергии, деленной на размерность времени, т. е. совпадает с размерностью мощности. В со­ответствии с этим Ф измеряется в ваттах, эргах в секунду и т. п.

Поток энергии в разных точках среды может быть раз­личной интенсивности. Для характеристики течения энергии в разных точках пространства вводится вектор­ная величина, называемая плотностью потока энергии . Эта величина численно равна потоку энергии через единичную площадку, помещенную в данной точке перпендикулярно к направлению, в котором переносится энергия. Направление вектора плотности потока энергии совпадает с направлением переноса энергии.

Пусть через площадку , перпендикулярную к на­правлению распространения волны, переносится за время Δt энергия ΔW. Тогда плотность потока энергии равна

Через площадку (рис.) будет пе­ренесена за время Δt энергия ΔW, заключенная в объ­еме цилиндра с основанием и высотой vΔt (v — фа­зовая скорость волны). Если размеры цилиндра достаточно малы (за счет малости и Δt) для того, чтобы плотность энергии во всех точках цилиндра можно было считать одинаковой, то ΔW можно найти как произве­дение плотности энергии w на объем цилиндра, равный vΔt:

Подставив это выражение в формулу для j, получим для плотности потока энергии

Наконец, введя вектор v, модуль которого равен фазовой скорости волны, а направление совпадает с направлением распространения волны (и переноса энергии), можно на­писать

Мы получили выражение для вектора плотности потока энергии. Этот вектор был введен в рассмотрение Умовым и называется вектором Умова (Пойтинга). Вектор j, как и

плотность энергии Е, различен в разных точках пространства, а в данной точке изменяется со временем по закону квадрата синуса. Его среднее значение равно

Это выражение, так же спра­ведливо для волны любого вида (сферической, затухаю­щей и т. д.). Отметим, что, когда говорят об интенсивности волны в данной точке, имеют в виду среднее по времени значение плотности потока энергии, переносимой волной.

Зная j во всех точках произвольной поверхности S, можно вычислить поток энергии через эту поверхность. С этой целью разобьем поверхность на элементарные участки dS. За время dt через площадку dS пройдет энергия dW, заключенная в изображенном на рис. косом ци­линдре. Объем этого цилиндра равен dV = vdt dS cos φ. В нем содержится энергия dW = w dV = wv dt dS cos φ (w — мгновенное значение плотности энергии в том ме­сте, где расположена площадка dS). Приняв во внимание, что

(dS = ndS; см.рис.), можно написать dW = jdSdt. Отсюда для потока энергии dФ через площадку dS полу­чается формула

Полный поток энергии через поверхность равен сумме элементарных потоков:

Поток энергии равен потоку вектора j через поверхность S.

Заменив вектор j его средним по вре­мени значением, получим среднее значение Ф:

Вычислим среднее значение потока энергии через про­извольную волновую поверхность незатухающей сфериче­ской волны. В каждой точке этой поверхности векторы j и dS совпадают по направлению. Кроме того, модуль вектора j для всех точек поверхности одинаков. Следовательно,

(r — радиус волновой поверхности). ‹ j › = ρa²ω²v/2. Таким образом,

(а_r — амплитуда волны на расстоянии r от источника).

Звук — колебательное движение частиц упругой среды, распространяющееся в виде волн в газообразной, жидкой или твёрдой средах. Человек слышит З. с частотой от 16 гц до 20 000 гц. Физическое понятие о З. охватывает как слышимые, так и неслышимые звуки. З. с частотой ниже 16 гц называется инфразвуком, выше 20 000 гц — ультразвуком; самые высокочастотные упругие волны в диапазоне от 10⁹ до 10¹²—10¹³ гц относят к гиперзвуку. Область инфразвуковых частот снизу практически не ограничена — в природе встречаются инфразвуковые колебания с частотой в десятые и сотые доли гц. Частотный диапазон гиперзвуковых волн сверху ограничивается физическими факторами, характеризующими атомное и молекулярное строение среды: длина упругой волны должна быть значительно больше длины свободного пробега молекул в газах и больше межатомных расстоянии в жидкостях и в твёрдых телах. Поэтому в воздухе не может распространяться гиперзвук с частотой 10⁹ гц и выше, а в твёрдых телах — с частотой более 10¹²—10¹³ гц.

Основные характеристики звука. Важной характеристикой З. является его спектр, получаемый в результате разложения З. на простые гармонические колебания (т. н. частотный звука анализ). Спектр бывает сплошной, когда энергия звуковых колебаний непрерывно распределена в более или менее широкой области частот, и линейчатый, когда имеется совокупность дискретных (прерывных) частотных составляющих. З. со сплошным спектром воспринимается как шум, например шелест деревьев под ветром, звуки работающих механизмов. Линейчатым спектром с кратными частотами обладают музыкальные З.; основная частота определяет при этом воспринимаемую на слух высоту звука, а набор гармонических составляющих — тембр звука. В спектре З. речи имеются форманты — устойчивые группы частотных составляющих, соответствующие определённым фонетическим элементам. Энергетической характеристикой звуковых колебаний является интенсивность звука — энергия, переносимая звуковой волной через единицу поверхности, перпендикулярную направлению распространения волны, в единицу времени. Интенсивность З. зависит от амплитуды звукового давления, а также от свойств самой среды и от формы волны. Субъективной характеристикой З., связанной с его интенсивностью, является громкость звука, зависящая от частоты. Наибольшей чувствительностью человеческое ухо обладает в области частот 1—5 кгц. В этой области порог слышимости, т. е. интенсивность самых слабых слышимых звуков, по порядку величины равна 10^-12вт/м², а соответствующее звуковое давление — 10^-5н/м². Верхняя по интенсивности граница области воспринимаемых человеческим ухом З. характеризуется порогом болевого ощущения, слабо зависящим от частоты в слышимом диапазоне и равным примерно 1 вт/м². В ультразвуковой технике достигаются значительно большие интенсивности (до 10⁴ квт/м²).

Уровень громкости в децибелах (дБ): , где I₀ – исходная интенсивность (принимается равной 10^-12 Вт/м²)

Звуковая волна в газе представляет собой распространяющуюся в пространстве последовательность чередующихся областей сжатия и разряжения газа.

Скорость звука в газе (выведена при учёте, что процесс распространения в пространстве последовательность чередующихся областей сжатия и разряжения газа адиабатический): , М – масса одного моля.

Средняя скорость теплового движения молекул газа: .

Интерференция и дифракция упругих волн – сущность явления и способы практического осуществления.

Интерференция. При приходе в данную точку среды двух волн их действие складывается. Особо важное значение имеет наложение так называемых когерентных волн (т. е. волн, разность фаз которых постоянна, не меняется со временем). В случае когерентности волн имеет место явление, называемое интерференцией: в точках, куда обе волны приходят в фазе, они усиливают друг друга; в точках же, куда они попадают в противофазе, — ослабляют друг друга. В результате получается характерная интерференционная картина. Стоячие волны – волны, возникающие вследствие интерференции волн, распространяющихся во взаимно противоположных направлениях. Практически С. в. возникают при отражениях волн от преград и неоднородностей в результате наложения отражённой волны на прямую.

Падающая волна: , отраженная: .

складываем: –

уравнение стоячей волны.

Выбираем начало отсчета x и t так, чтобы выполнялось:

Координаты узлов (min):

Координаты пучностей (max):

Рис. Стоячая волна, возникшая в результате интерференции падающей и отраженной от препятствия АА волны; в точке а — узел колебания, в точках b — пучности.

Д

Рис. Образование тени при падении волны: а — на непрозрачное тело; б — на отверстие в непрозрачном экране (d — paзмер тела или отверстия).

ифракция. При падении волны на непрозрачное для неё тело или на экран позади тела образуется теневое пространство (заштриховано на рис. а и б). Однако границы тени не резки, а размыты, причём размытость увеличивается при удалении от тела. Это явление огибания тела волной называется дифракцией. Чем больше размеры тела, тем большее пространство занимает тень. Тела, размеры которых малы по сравнению с длиной волны, вообще не создают тени, они рассеивают падающую на них волны во всех направлениях. Изменение амплитуды волны при переходе из «освещённой» области в область тени происходит по сложному закону с чередующимися уменьшением и увеличением амплитуды (рис.), что обусловлено интерференцией волн, огибающих тело.

  Дифракция имеет место также при прохождении волны через отверстие (рис.), где она также выражается в проникновении волны в область тени и в некотором изменении характера волны в «освещённой» области: чем меньше диаметр отверстия по сравнению с длиной волны, тем шире область, в которую проникает волна.

Рис. а — дифракция света от края экрана; виден сложный переход от света к тени; б — кривая, характеризующая освещенность пространства между светом и тенью; край экрана в точке О.