§ 4. Некоторые свойства вещественных чисел.

4.1. Модуль вещественного числа и его свойства.

Модулем илиабсолютной величинойвещественного числа называется вещественное число |a|, удовлетворяющее условиям

.

Легко проверяемы свойства:

1)|a|0;2)|a| = |-a|;3)a|a|, -a|a|.

Вставка 1.

Докажем свойства: a, bR4)|a + b||a| + |b| и5).

4)Действительно, из свойства 3) a  |a|,b  |b|.Тогда по аксиомеII₅, примененной дважды, получим

a + b  |a| + b  |a| + |b|.

Аналогично убеждаемся, что

- (a + b) = (-a)+ (-b)  |a| + |b|.

Объединяя эти неравенства , получим 4).

5) Имеем

|a| - |b|= |(a – b) +b| - |b||a – b| + |b| - |b| = |a – b|.

Меняя aи bместами, получим

|b| - |a| |b – a| = |a – b|.

Из полученных неравенств следует 5).

Отметим также следующие свойства модуля:

6)a, bR|ab| = |a| |b|.

7)неравенство|a| < эквивалентно двойному неравенству-  < a < (системе неравенств).

Вставка 2.

Вопросы и упражнения.

1. Докажите свойства модуля.

2. Докажите: |a – b|   b -   a  b + .

3. Решите неравенство в натуральных числах.

4. Для каких a иb имеет место знак равенства в свойстве 4)?

5. Для каких значений х справедливо неравенство |f(x) +g(x)| < |f(x)| + |g(x)|, еслиf(x) =x– 3,g(x) = 4 –x?

6. Дайте геометрическую иллюстрацию неравенства |a – b| .

4.2. Ограниченные и неограниченные числовые множества.

Определение1. Числовое множествоXRназываетсяограниченным сверху(ограниченным снизу), еслиMR(mR):x X xM(x  m).

Число М называетсяверхней гранью,m-нижней граньюмножестваХ.

Определение2. Числовое множествоX Rназываетсяограниченным, если оно ограничено сверху и снизу.

Используя свойство 7 модуля вещественного числа последнее определение можно сформулировать следующим образом.

Определение2^. Числовое множествоX Rназывается ограниченным, еслиM> 0:xX|x|M.

Вставка 1.

Определение3. Числовое множествоX Rназываетсянеограниченным сверху(снизу), еслиM R(mR)x X:x>M(x < m).

Числовое множество XRназываетсянеограниченным, если оно неограниченно хотя бы с одной стороны, т.е.M> 0xX:|x| > M.

Вставка 2.

Если М –верхняя грань числового множестваX R, то любое числоР, Р > М, также является верхней гранью множестваХ, т.е. в этом случае множествоХимеет бесконечно много верхних граней.

Определение 4. Наименьшая из верхних граней множестваХназываетсяточной верхнейграньюэтого множества и обозначается символом(supremum).

Вставка 3.

Утверждение1.M = sup X  1) x X x  M; 2) > 0 x_ X: x_ > M - .

Действительно, 1) означает, чтоМесть одна из верхних граней; 2) -, что эту грань нельзя уменьшить.

Вставка 4.

Определение5. Наибольшая из нижних граней множества Х называетсяточной нижнейграньюэтого множества и обозначается символом(infimum).

Утверждение2. 1)xXx m; 2) )> 0x_X:x_ < m + .

Вставка 5.

Утверждение3. Неограниченное сверху (снизу) множество не имеет точной верхней (нижней) грани.

Для доказательстваэтого утверждения достаточно сравнить определение 3 и утверждение 1 (2).

Теорема. Всякое непустое ограниченное сверху (ограниченное снизу) множество имеет точную верхнюю (нижнюю) грань.

Доказательство. Пусть множество X  R ограничено сверху. Обозначим через Y множество верхних граней множества X. Тогда x  X и y Y верно неравенство x  y, т.е. X  Y. По аксиоме непрерывности  M R: x  X и y Y x  M  y. Первое неравенство означает, что M  Y, второе, что M = min y, т.е. M = sup X .

Вопросы и упражнения.

1. Существует ли наибольшая верхняя грань у ограниченного сверху множества?

2. Существует ли наименьший элемент у ограниченного снизу множества?

3. Укажите какие-либо верхнюю и нижнюю грани множества , если они существуют.

4. Докажите, что любое конечное множество вещественных чисел ограничено.

5. Будет ли ограниченным объединение и пересечение ограниченных множеств?

6. Будет ли неограниченным объединение и пересечение неограниченных множеств?

7. Имеет ли пустое множество верхнюю и нижнюю грани?

8. Найдите точные верхнюю и нижнюю грани множества Х = . Принадлежат ли они множествуХ?

9. Для каких числовых множеств inf X = supX?

10. Может ли быть верным неравенство supX < inf X?

11. Докажите единственность inf X и supX.

12. Пусть X и Y непустые множества вещественных чисел, причем Х ограничено сверху и Y  X. Докажите, что Y ограничено сверху и supY  supX.

13. Пусть А – множество чисел, противоположных по знаку числам из множества В, и В – ограничено. Докажите, что: а) infA = - sup B, б) sup A = - inf B.

14. Пусть {x + y} есть множество всех сумм x + y, где x  {x}, y  {y}. Докажите равенства: inf{x + y} = inf{x} + inf{y}, sup{x + y} = sup{x} + sup{y}.

15. Пусть А и В – ограниченные множества. Найти sup{A  B}, inf{AB}, sup{AB}, inf {AB}.