Гл. I. Множества. Вещественные числа. § 1. Множества и операции над ними.

Для удобства записей в дальнейшем будем использовать символы:

 А – «для любого (произвольного) А»;

 В – «существует (найдется) В»;

А В (импликация) – «В следует из А», «В – необходимое условие для А», «А – достаточное условие для В»;

А В – «В является необходимым и достаточным условием для А»; «А имеет место тогда и только тогда, когда выполнено В»;

А В – «А и В справедливы одновременно»;

А В – «справедливо хотя бы одно из предложений А или В».

Понятие множества относится к начальным понятиям современной математики. Оно не сводится к другим, уже известным и потому более простым понятиям, а значит, его нельзя определить, не используя синонимы, а можно только описать.

Под множеством будем понимать собрание, совокупность некоторых предметов, понятий, объединенных по какому-либо признаку (условию).

Вставка 1.

Предметы или понятия, составляющие некоторое множество, называются его элементами(иногда,точками).

Множества будем обозначать либо заглавными буквами А,В,…, либо прописными в фигурных скобках {x}, {a},... Множество элементов, обладающих характерным свойством Р, будем записывать такА= {x|P}.

Вставка 2.

В дальнейшем: N – множество натуральных чисел,Z – множество целых чисел, Q – множество рациональных чисел,J – множество иррациональных чисел, R – множество вещественных (действительных) чисел.

Если элемент хпринадлежит множествуА, то будем писатьхА; если жехне принадлежитА, то будем писатьхА.

Начальным понятием является также понятие пустого множества, т.е. множества, не содержащее элементов. Пустое множество будем обозначать символом.

Множество АназываетсяподмножествоммножестваВ, еслихАхВ. В этом случае пишутАВ.Пустое множество считают подмножеством любого множества А.

Возможен случай А=В, т.е. элементы множествАиВ совпадают.

Вставка 3.

Суммой илиобъединениемАВмножествАиВ называется множествоС, состоящее из элементов, принадлежащих хотя бы одному из множествАилиВ(С=АВ = {x|хАхВ}).

Вставка 4.

Из приведенного определения суммы вытекает, что АВ=ВА,А(ВС) =А(ВС).

ПересечениемАВдвух множествАиВназывается множествоD, составленное из элементов, принадлежащих как множествуА, так и множествуВ(D=АВ= {x|xAxB}).

Вставка 5.

Легко убедиться в справедливости следующих свойств: 1) АВ=ВА, 2) (АВ)С=А(ВС), 3)АВ, тоАВ=А, в частностиАА=А,А=.

РазностьюЕ=А\Вдвух множествАиВназывается множество, состоящее из элементов множестваА, не принадлежащихВ. ЕслиАS, то множествоK=S\АназываетсядополнениеммножестваАдо множестваS.

Вставка 6.

Вопросы и упражнения.

1. Совпадают ли множества: a)А= {a,b}иВ= {b,a};б) А– множество всех прямоугольников с неравными диагоналями,В – множество действительных корней уравнениях²+ 1 = 0?

2. Сколько элементов в множестве {}?

3. Пусть A = {x| x = ,n  N}. Какие из чисел 3; ¾; 0,8; 5/8; 8/9 принадлежатА? Приведите еще несколько элементов множестваА.

4. Укажите все подмножества множества A={1, 2, 3, 4}.

5. А– множество студентов в учебной группе,В– множество спортсменов в институте,С– множество отличников в институте. Что представляет множествоАВС?

6. Докажите равенство (АВ)С= (АС)(ВС).

7. Пусть А= {0, 1, 2, 3},B= {2, 3, 4, 5},C= {- 1, 2, 3},D= {3, 4,2, 0}. Найдите множестваM₁=ABCD,M₂=ABCD,M₃=(AB)(CD),M₄= (AB)(C D).

8. Приведите пример множеств А,В,С таких, чтоА В=,АВ=С.