§ 2. Конечные и бесконечные множества.

Определение1. ЕслихА по какому-либо правилу поставлен в соответствие единственный элемент множестваВ, причем так, что каждому элементу множестваВотвечает единственный элемент множестваА, то говорят, что между множествамиАиВ установлено взаимно однозначное соответствие. МножестваАиВв этом случае называютсяэквивалентнымиилиравномощными.

Вставка 1.

Определение2. Непустое множествоАназываетсяконечным, если оно эквивалентно какому-либо множествуB_n={1, 2, ...,n}. В противном случае множествоАназывается бесконечным.

Определение3. МножествоА называетсясчетным, если оно эквивалентно множеству натуральных чисел.

Другими словами, элементы счетного множества можно занумеровать.

Теорема1. Всякое бесконечное множество содержит счетное подмножество.

Доказательство. ПустьМ – бесконечное множество. Возьмем произвольный элемент из множестваМи обозначим его череза₁. Так какМбесконечно, то вМнайдутся элементы, отличные ота₁. Возьмем любой из них и обозначим его череза₂и т.д. Продолжая этот процесс, мы получим счетное множествоА= {a₁,а_{2, ...,} a_n,...}M.

Из доказанной теоремы вытекает, что счетное множество среди бесконечных множеств самое «маленькое».

Теорема 2. Объединение конечной или счетной совокупности счетных множеств есть множество счетное.

Доказательство. ПустьА₁,А₂,… - счетные множества иА=А_i, где число слагаемых либо конечно, либо счетно. ПустьA_i= {a_in} = {a_i1,a_i2,...}. Составим бесконечную таблицу

a₁₁ a₁₂ a₁₃ . . .

a₂₁ a₂₂ a₂₃ . . .

a₃₁ a₃₂ a₃₃ . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

Нумерацию элементов множества Апроведем в порядке, показанном стрелками:b₁=a₁₁,

b₂=a₂₁,b₃=a₁₂,b₄=a₃₁,... . Если некоторые элементы повторяются, то их учитываем только один раз.

Указанным способом удается занумеровать все элементы множества А.

Теорема3. Множество всех бесконечных десятичных дробей {x}, 0 <x < 1, несчетно.

Доказательство. Предположим, что это множество счетное. Тогда его элементы можно занумеровать:

х₁= 0,а₁₁ а₁₂ а₁₃…

х₂= 0,а₂₁ а₂₂а₂₃…

х₃ = 0,а₃₁а₃₂а₃₃…

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

Рассмотрим дробь х= 0,b₁b₂b₃..., гдеb₁а₁₁,b₂а₂₂,b₃а₃₃, . . . иb_i0; 9. Тогдаxx_ii= 1, 2, 3, ... и 0 <x < 1, т.е. десятичная дробьхоказалась незанумерованной. Это противоречит предположению о счетности множества.

Вопросы и упражнения.

1. Какие множества называются эквивалентными (равномощными)?

2. В каком случае два конечных множества являются эквивалентными? Обосновать.

3. Обосновать эквивалентность следующих пар множеств:

а) А= {(x,y)|x²+ (y – 1)²= 1,y< 1} иB= {x| - 2x 3};

б) A = {x| 0 < x < 1} и B = {x| 0  x  1}.

4)Доказать счетность множества рациональных чисел.

5)Доказать существование иррациональных чисел.

6)Можно ли счетное множетво представить в виде объединения: а) счетного и конечного множеств; б) двух и более счетных множеств?