§ 3. Аксиоматика вещественных чисел.

Понятие числа является первичным и основным в математике. Это понятие прошло длительный путь исторического развития. Множество натуральных чисел (N) появилось в связи со счетом предметов. Затем под влиянием потребностей практики и развития самой математики были введены целые (Z) и рациональные числа (Q=Z,nN). Затем возникла необходимость в иррациональных числах (J). Объединение рациональных и иррациональных чисел представляют множество вещественных или действительных чисел (R)

Множество R удовлетворяет следующим аксиомам.

1. Аксиома упорядоченности.x,yRвыполненоx<y, илиx=y, илиx>y. При этом, еслиx<y,y<z, тоx<z.

2. Аксиомы сложения.x,yRопределено единственное вещественное число, называемое ихсуммойи обозначаемоеx+y, причем

II₁.Переместительный(коммутативный) закон сложения:x,yRx+y=y+x ;

II_2.Cочетательный (ассоциативный) закон сложения:x,y,zRx+ (y+z) = (x+y) +z;

II_3. Существование нулевого элемента (нуля):xR0R:x+ 0 =x;

II_4.Cуществование противоположного элемента:xR(-х)R:x + (-х) = 0;

II₅. Еслиx<y, тоzRx+z < y + z.

3. Аксиомы умножения.x, yRопределено единственное вещественное число, называемое ихпроизведениеми обозначаемоеxy(илиxy), причем

III₁.Переместительный (коммутативный) закон умножения:xy = yxx, yR;

III_2.Cочетательный(ассоциативный) закон умножения:x, y,zRx(yz) = (xy)z;

III₃.Существование единичного элемента:1R:xR x1 =x;

III₄.Cуществование обратного элемента:x0x^-1= R:xx^-1= 1;

III₅. Еслиx < yиz> 0, тоxz < yz; еслиx < yиz < 0, тоxz > yz.

IY.Распределительный(дистрибутивный) закон умножения относительно сложения: (x + y)z = xz + yzx, y,zR.

Y.Аксиома непрерывности. ПустьА, ВR, причемx АиyВx  y(В этом случае будем писатьАВ). ТогдаxАиyВ zR:x  z  y.

Отметим, что приведенная система аксиом может быть заменена другой, эквивалентной этой.

Вещественные числа необходимы в первую очередь для измерения различных величин. В связи с этим вещественным числам можно дать различную иллюстрацию, простейшая из которых связана с измерением длины отрезка. Если выбрать масштаб (отрезок, который принимается за единицу), то длину любого отрезка можно будет выразить некоторым вещественным числом (см. .§5 глII). Можно показать, что справедливо и обратное, т.е. каждому вещественному положительному числу будет отвечать некоторый отрезок. При этом, если договориться вещественное число записывать десятичной дробью без девяток в периоде, то указанное соответствие будет взаимно однозначным. На этом принципе основано изображение вещественных чисел точками на числовой прямой: на прямой выбирается начало отсчета, масштаб и направление положительного отсчета (а значит, и отрицательного). Тогда множествоRи множество точек на прямой эквивалентны. Поэтому вещественные числа называют еще точками.

Вопросы и упражнения.

1. Сформулируйте аксиомы вещественных чисел.

2. Доказать, что число, обладающее свойством нуля (единицы) единственное.

3. Доказать, что число, противоположное (обратное) данному, единственно.

4. Доказать, что xRвыполненох0 = 0.

5. Доказать, используя геометрическую иллюстрацию, равенство а,а₁а₂…а_n(9) =a,a₁a₂...(a_n+ 1) (в частности, 0,(9) = 1).

6. Показать, что любое рациональное число записывается периодической десятичной дробью.

7. Проиллюстрируйте аксиому непрерывности на числовой оси.