31

Пример. Найти y

x

функции, заданной уравнением 23 x y y 3.

►

,

,

. По формуле (4.23)

получаем:

◄

Определение. Пусть на множестве

задана функция

. Точка

называ-

ется точкой локального максимума (минимума) функции , если U (M0 ) : M U (M0 )

f (M ) f (M 0 ) f (M ) f (M 0 ) .

Значение функции в точке M 0 называется локальным максимумом (минимумом)

функции

и обозначается

. Локальный максимум и локаль-

ный минимум называют локальными экстремумами

.

Теорема (о необходимом условии существования экстремума ф.н.п). Пусть

функция

имеет локальный экстремум в точке M 0 . Тогда или частные производные пер-

f (M

)

0

или не существуют.

вого порядка равны нулю в этой точке

0

(k 0,..., n)

xk

Доказательство.

Пусть

имеет частную производную по переменной

x1 . Пусть

- точка локального экстремума функции . Зафиксируем все перемен-

ные, кроме x1 :

,

, …,

. Получим функцию одного переменного

. Функция

имеет локальный экстремум в точке

. По тео-

го

. Следовательно,

. Для остальных переменных доказа-

тельство аналогичное

Следствие. Если функция дифференцируема и имеет экстремум в точке

M 0 , то

df (M 0 ) 0 .

Определение. Точка M 0 называется стационарной точкой функции , если

ее ча-

стные производные в этой точке равны нулю

f (M 0 )

0

(k 0,...,n) . Точка M 0 назы-

xk

вается критической точкой функции , если

ее частные производные в этой точке рав-

ны нулю или не существуют.

ционарной точки M 0 . Тогда

1) если d 2 f (M

0

)

- положительно определенная квадратичная форма, то

имеет ло-

кальный минимум в точке M 0 ;

2) если d 2 f (M

0

)

- отрицательно определенная квадратичная форма, то

имеет ло-

32

3) если d

2 f (M

0

) является знакопеременной квадратичной формой, то точка M

0

не

является точкой экстремума.

Следствие (достаточное условие существования экстремума функции двух пе-

ременных). Пусть функция двух переменных

имеет непрерывные частные произ-

водные второго порядка в окрестности точки

. Пусть точка

является стацио-

нарной точкой функции

, то есть

,

. Пусть

Тогда

,

,

.

(4.29)

1) если AC B2

0

и A 0 , то

имеет локальный максимум в точке

M

0

;

2) если AC B2 0

и A 0 , то

имеет локальный минимум в точке

M

0

;

3) если AC B2

0 , то не имеет экстремума в точке

M

0

.

Доказательство. По формуле (4.20) с учетом (4.29) дифференциал второго порядка

равен d 2 f (M

0

) Adx2

2 B dx dy C dy2 и является квадратичной формой относительно

, . Матрица квадратичной формы имеет вид:

. Угловые миноры равны

и

. По критерию Сильвестра, если все угловые миноры положительны, то

квадратичная форма положительно определена. Таким образом, если

и

, то

. По предыдущей теореме

имеет в точке

локальный минимум.

Если угловые миноры четного порядка положительны, а нечетного - отрицательны,

то квадратичная форма отрицательно определена. Следовательно, если

и

, то

. По предыдущей теореме

имеет в точке

локальный максимум

Замечание. Если

AC B2 0, то в точке M

0

может быть экстремум, а может и не

Пример. Найти экстремумы функции z x3

y3 3 x y .

►1) Найдем критические точки функции.

z

x

3(x2 y) 0

.

3( y 2 x)

z y

0

Решая систему, получаем две критические точки:

,

.

2) zx x

6 x, zx y 3,

z y y

6 y .

а)

Рассмотрим точку

.

По (4.29)

,

,

. Тогда

. Следовательно, по предыдущему

следствию в точке

экстремум не существует.

б) Рассмотрим точку

.

,

,

. Тогда

. Следовательно, в точке

функция

имеет ло-

кальный минимум. Найдем его:

◄

соединить ломаной, целиком принадлежащей множеству .

На рис. 4.6 множества

и

являются связными, а множество

не является связ-

ным.

1

2

3

3

1)

найти точки,

«подозрительные» на экстремум, найти значения функции в этих

точках (только для тех точек, которые принадлежат множеству

);

2) найти наибольшее (наименьшее) значение функции на границе множества

;

3) сравнив все полученные значения, найти наибольшее и наименьшее:

Пример. Найти наибольшее и наименьшее значения функ-

y

1

B

ции z 1 x x2 2 y

на , если - замкнутое множество,

ограниченное прямыми x y 1,

x 0, y 0 .

x y 1

► 1) Найдем точки, «подозрительные» на экстремум.

x 0

zx

2 x 1 0

A

.

Данная система не имеет решений. Сле-

2 0

x

z y

O

y 0

1

довательно, функция не имеет локальных экстремумов.

2) Исследуем

функцию

на границе

:

x 0 ,

Рис. 4.7

(рис. 4.7). Получаем функцию

,

0 y 1. Найдем критические точки функции

.

. Следовательно, крити-

ческих точек нет.

Найдем значения функции

на концах

отрезка

:

,

.

3) Исследуем функцию на границе

:

,

. При

получаем

функцию

,

. Найдем критические точки функции .

. Отсюда находим:

. Находим значение функции

. Теперь

найдем значения функции

на

концах

отрезка

:

,

.

34

4) Исследуем функцию на границе

:

,

. При

по-

лучаем функцию

,

.

Найдем критические точки функции .

. Отсюда находим:

. Теперь найдем значения функции на концах отрезка

:

,

.

5) Сравнивая полученные значения, находим

Наименьшее значение функция достигает в точках

.

Наибольшее значение

функция достигает в точке

◄