Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
ФНП.pdf
Скачиваний:
31
Добавлен:
22.03.2015
Размер:
617.67 Кб
Скачать

27

Из уравнения касательной плоскости (4.9) получаем координаты вектора нормали к

поверхности

в точке

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

. Следовательно,

уравнение

нормали к поверхности

 

в точке

имеет вид:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

(4.10)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности

 

в точке

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

,

,

,

 

 

 

. По формуле (4.9) урав-

нение касательной плоскости имеет вид:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

или

.

По формуле (4.10) уравнение нормали имеет вид:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.8.Дифференцирование сложных функций

Теорема 1.

Пусть

 

- дифференцируемая

 

функция.

Пусть

,

,

 

 

имеют частные производные по обеим переменным. Тогда слож-

ная функция

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

имеет

частные производные,

которые

вычисляются по формулам:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f x

 

f y

 

f

 

z ,

 

(4.11)

 

 

 

 

u

 

x u

 

y u

 

z u

 

 

 

 

 

 

 

 

f x

 

f y

 

f

 

z .

 

(4.12)

 

 

 

 

v

 

x v

 

y v

 

z v

 

 

Из теоремы 1 следует теорема.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема 2.

Пусть

и

 

,

 

 

,

-

дифференцируемые

функции. Тогда сложная функция

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

также дифференцируема. При

этом

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

 

 

f d x

 

f d y

 

f

 

d z

.

 

(4.13)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x d t

y d t

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

z d t

 

 

Производная

 

d

называется полной производной.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из теоремы 2 следует теорема.

Теорема 3. Пусть f (x, y) и y y(x) дифференцируемые функции. Тогда сложная функция z(x) f [x, (x)] также дифференцируема. При этом

 

 

 

dz

 

f

 

f

d y

.

(4.14)

 

 

 

 

x

 

 

 

 

dx

 

 

y d x

 

Производная

dz

называется полной производной.

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Замечание. Аналогичные теоремы верны для функций нескольких переменных.

 

Примеры

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

 

 

 

 

 

 

,

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

. Найти частную производную

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

28

2.

,

 

,

 

 

 

 

 

 

. Найти полную производную

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

. Найти полную производную.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.9.Инвариантность формы дифференциала

Пусть функции

и

,

,

имеют непрерывные

частные производные.

Тогда сложная функция

 

по

теореме 1 пункта 4.8 также имеет частные производные, которые вычисляются по формулам (4.11), (4.12). Эти производные непрерывны, как сумма произведений непрерывных функций. Следовательно, по теореме 2 (о достаточном условии дифференцируемости

ф.н.п.) из

п.

 

 

4.5

функция

 

 

 

 

 

 

 

дифференцируема.

 

По

формуле (4.8):

d

du

dv . Учитывая формулы (4.11), (4.12), получаем

 

 

 

 

 

 

 

u

v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f x

 

f y

 

 

f

z

 

 

f x

 

f y

 

f

z

 

 

d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

du

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dv

 

x u

y u

z

 

 

x v

y v

z

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

 

 

v

 

 

 

f

 

 

x

 

 

x

 

 

f

 

y

 

 

 

y

 

 

f

z

 

 

 

z

 

 

 

 

x

 

u

du

 

v

dv

 

 

 

u

 

du

 

v

dv

 

 

 

u

du

v

dv

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

dx

f

dy

f

dz.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

y

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом, форма первого дифференциала инвариантна.

4.10.Частные производные и дифференциалы высших порядков

Рассмотрим функцию двух переменных f (x, y) . Пусть f (x, y)

имеет частную про-

изводную

f

в каждой точке некоторого множества X . Тогда

f

является некоторой

 

x

 

x

 

функцией, определенной на множестве X , и может иметь частную производную по x или

 

 

 

 

 

 

 

f

 

 

 

 

 

 

 

 

 

по

y . Функция

 

 

 

называется второй производной функции

f

по x

и обозначает-

 

 

 

 

 

 

 

x

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 f

 

 

 

 

 

 

 

2

 

f

 

 

 

f

ся

 

 

или

fx x .

Аналогично определяются частные производные

 

 

 

=

 

 

,

 

 

x

y

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

y

x

2 f

 

 

 

f

 

 

2

f

 

 

 

f

 

 

 

=

 

 

 

 

,

 

 

 

=

 

 

 

 

и частные производные третьего, четвертого и так да-

y x

 

 

 

 

 

 

y

2

 

 

 

 

 

 

 

x

y

 

 

 

y

y

 

лее порядков. Частная производная, взятая по разным переменным, называется смешанной производной.

Теорема (о смешанных производных). Если функция f (x, y) имеет в окрестности

точки (x0 , y0 )

смешанные частные производные

2

f

и

2

f

, непрерывные в точке

x y

y

x

 

 

 

 

(x0 , y0 ) , то эти производные равны между собой в этой точке:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

29

2 f (x

0

, y

0

)

=

2 f (x

0

, y

0

)

.

(4.15)

 

 

 

 

 

 

x y

 

 

 

y x

 

 

 

 

Аналогичную теорему можно сформулировать

 

 

для функции n

переменных

f (x1 ,..., xn ) .

Если f (x, y) дифференцируема на X , то ее дифференциал df может также быть дифференцируем на X . Если существует d (df ) , то его называют вторым дифференциа-

лом функции f (x, y)

и обозначают d 2 f (x, y) . Найдем

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

. (4.16)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

По формуле (4.8) и по определению частных производных высших порядков

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

(4.17)

Из (4.16) и (4.17) находим:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

(4.18)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если смешанные производные

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и

 

 

 

 

 

 

 

непрерывны, то по теореме о смешанных

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

производных

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

. Тогда из (4.18) получаем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

(4.19)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В случае, когда

 

и независимые переменные, их дифференциалы равны прираще-

ниям:

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

. Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и, следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(4.20)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Аналогично определяются дифференциалы более высоких порядков для функции n

переменных. Если переменные независимые, то символически можно записать:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d k f (x ,..., x

n

)

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

...

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

f (x ,..., x

n

) .

 

 

 

 

 

(4.21)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xn

 

 

n

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для функции двух переменных из формулы (4.21) получаем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d k f (x, y)

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

dy

 

f (x, y) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Например,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

Пример. Найти полный дифференциал функции

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

По формуле (4.20)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

30

4.11. Дифференцирование функций, заданных неявно

 

1) Пусть уравнение

 

F(x, y) 0

(4.22)

определяет функцию y y(x) . Пусть F(x, y) дифференцируема по переменной

x как

сложная функция. Тогда, продифференцировав обе части равенства (4.22) по переменной

x , получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

dF x, y(x)

0 .

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

По теореме 3 из п. 4.8, получаем:

 

 

 

 

 

 

 

F (x, y)

F (x, y) dy

0 .

y

 

 

 

x

 

 

dx

 

Отсюда находим:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy

 

Fx

.

(4.23)

 

 

 

 

 

 

dx

 

F

 

 

 

 

 

 

 

y

 

2) Пусть функция z z(x, y) задана неявно уравнением

 

F(x, y, z) 0 .

(4.24)

Пусть функция F(x, y, z) дифференцируема как сложная функция по переменным x и y . Продифференцировав обе части уравнения (4.24) по x , получим

F x, y, z(x, y) 0 .

x

По теореме 1 из п. 4.8 находим:

F F z 0 .

x z x

Отсюда получаем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

Fx

.

 

 

 

 

 

(4.25)

 

 

 

 

 

 

x

F

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Аналогично

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

Fy

 

.

 

 

 

 

 

(4.26)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

F

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3) Запишем уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности, заданной

неявно: F(x, y, z) 0 . По формулам (4.9), (4.25) и (4.26) получаем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Fx (M 0 ) (x x0 ) Fy (M 0 ) ( y y0 ) Fz (M 0 ) (z z0 ) 0 .

(4.27)

Из формул (4.10), (4.25) и (4.26) получаем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

(4.28)