поверхности

в точке

:

. Следовательно,

уравнение

нормали к поверхности

в точке

имеет вид:

.

(4.10)

Пример. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности

в точке

.

►

,

,

,

,

. По формуле (4.9) урав-

нение касательной плоскости имеет вид:

или

.

По формуле (4.10) уравнение нормали имеет вид:

◄

Теорема 1.

Пусть

- дифференцируемая

функция.

Пусть

,

,

имеют частные производные по обеим переменным. Тогда слож-

ная функция

имеет

частные производные,

которые

вычисляются по формулам:

f x

f y

f

z ,

(4.11)

u

x u

y u

z u

f x

f y

f

z .

(4.12)

v

x v

y v

z v

Из теоремы 1 следует теорема.

Теорема 2.

Пусть

и

,

,

-

дифференцируемые

функции. Тогда сложная функция

также дифференцируема. При

этом

d

f d x

f d y

f

d z

.

(4.13)

x d t

y d t

dt

z d t

Производная

d

называется полной производной.

dt

dz

f

f

d y

.

(4.14)

x

dx

y d x

Производная

dz

называется полной производной.

dx

Примеры

1.

,

,

. Найти частную производную

.

►

◄

2.

,

,

. Найти полную производную

.

►

◄

3.

,

. Найти полную производную.

►

◄

Пусть функции

и

,

,

имеют непрерывные

частные производные.

Тогда сложная функция

по

ф.н.п.) из

п.

4.5

функция

дифференцируема.

По

формуле (4.8):

d

du

dv . Учитывая формулы (4.11), (4.12), получаем

u

v

f x

f y

f

z

f x

f y

f

z

d

du

dv

x u

y u

z

x v

y v

z

u

v

f

x

x

f

y

y

f

z

z

x

u

du

v

dv

u

du

v

dv

u

du

v

dv

y

z

f

dx

f

dy

f

dz.

x

y

z

Рассмотрим функцию двух переменных f (x, y) . Пусть f (x, y)

имеет частную про-

изводную

f

в каждой точке некоторого множества X . Тогда

f

является некоторой

x

x

f

по

y . Функция

называется второй производной функции

f

по x

и обозначает-

x

x

2 f

2

f

f

ся

или

fx x .

Аналогично определяются частные производные

=

,

x

y

x2

y

x

2 f

f

2

f

f

=

,

=

и частные производные третьего, четвертого и так да-

y x

y

2

x

y

y

y

точки (x0 , y0 )

смешанные частные производные

2

f

и

2

f

, непрерывные в точке

x y

y

x

29

2 f (x

0

, y

0

)

=

2 f (x

0

, y

0

)

.

(4.15)

x y

y x

Аналогичную теорему можно сформулировать

для функции n

переменных

лом функции f (x, y)

и обозначают d 2 f (x, y) . Найдем

.

. (4.16)

По формуле (4.8) и по определению частных производных высших порядков

,

.

(4.17)

Из (4.16) и (4.17) находим:

=

.

(4.18)

Если смешанные производные

и

непрерывны, то по теореме о смешанных

производных

. Тогда из (4.18) получаем:

.

(4.19)

В случае, когда

и независимые переменные, их дифференциалы равны прираще-

ниям:

,

. Тогда

и

и, следовательно,

.

(4.20)

Аналогично определяются дифференциалы более высоких порядков для функции n

переменных. Если переменные независимые, то символически можно записать:

k

d k f (x ,..., x

n

)

dx

...

dx

f (x ,..., x

n

) .

(4.21)

1

x1

1

xn

n

1

Для функции двух переменных из формулы (4.21) получаем:

k

d k f (x, y)

dx

dy

f (x, y) .

y

x

Например,

.

Пример. Найти полный дифференциал функции

.

►

,

,

,

,

.

По формуле (4.20)