25

производной (4.4) получаем:

f (M

)

o

x

A .

Аналогично доказывается, что

0

lim A

1

x1

x

0 1

x1

1

1

f (M 0 )

A .

Следовательно, частные производные функции в точке

существуют.

x2

2

Подставляя

Ai

f (M 0 )

для

в (4.7), получим формулу (4.8)

xi

Определение. Частным дифференциалом функции

по переменной xk называет-

ся произведение

.

Пример. z x2 y ln 3y . Найти полный и частные дифференциалы функции.

1

z 2xy dx , d

1

► dz

2xy dx x2

dy - полный дифференциал.

d

x

y

z

x2

dy

y

y

- частные дифференциалы по переменным x и y ◄

Теорема 2 (о достаточном условии дифференцируемости ф.н.п.). Пусть функция

определена на множестве

и имеет в некоторой окрестности точки M 0 X част-

ные производные по всем переменным,

непрерывные в точке M 0 . Тогда функция

диф-

ференцируема в этой точке.

Теорема. Пусть функция определена на множестве

. Если дифференци-

руема в точке M0 X , то она непрерывна в этой точке.

Доказательство. Пусть функция дифференцируема в точке M 0 . Тогда по опреде-

лению дифференцируемой функции ее приращение в этой точке представимо в виде

при

. Отсюда

lim f (M

0 ) lim

A x o

x

0

x 0

x 0

26

4.7.

Геометрический смысл частных производных и полного дифференциа-

ла функции двух переменных

4.7.1.

Геометрический смысл частных производных

Рассмотрим функцию двух

переменных

и . Пусть

имеет частные производные

в точке

.

Уравнение

Q

задает

поверхность

(рис.

z

( ) : z f (x, y)

4.5). Зафиксируем переменную

–

пусть

.

В результате

получим

P

R

(l) : z f (x0 , y)

функцию

одной переменной .

Обозначим

ее

:

.

Графиком этой функции будет кривая

, получающаяся

при

пересечении

поверхности

и плоскости

.

Обозначим

,

где

x x0

.

Проведем в точке

ка-

O

y

y0 y

y

сательную

к кривой

. Посколь-

0

x0

ку

, то из геометриче-

x

M 0

M

ского

смысла

производной

функции

одной

переменной

следует,

что

Рис. 4.5

, где

- угол ме-

жду прямой

, параллельной оси Oy , и касательной

к кривой

в точке .

Аналогично получаем геометрический смысл частной производной

.

Предположим, что функция

дифференцируема в точке

. Тогда ее прира-

щение в этой точке представимо в виде (4.5):

при

.

При доказательстве теоремы 1 из п. 4.5 было получено (с учетом разницы в обозна-

чениях), что

,

. Тогда

при

.

Определение. Плоскость, определяемая уравнением

,

(4.9)

называется касательной плоскостью к поверхности

в точке

.

Поскольку

, то из уравнения (4.9) получаем:

Отсюда

,

где - аппликата касательной плоскости в точке

,

.

Таким образом,

дифференциал

равен приращению аппликаты касательной

плоскости к поверхности

.

Определение. Нормалью к поверхности

в точке

называется

прямая, перпендикулярная касательной плоскости в точке касания.