Киселева Г.А. Математика часть 2

x4 x3 1

= x

2

– 2x + 4 +

8x 9

.

x2

x

2

x2 x 2

Рассмотрим

дробь

8x 9

. Это

правильная

рациональная

x2 x 2

дробь. Представим ее в виде суммы простейших:

8x

9

8x

9

A

B

A

x 2

B

=

=

=

x 1

,

x2 x 2

x 1 x 2

x 1

x 2

x 1 x 2

– 8x + 9 = A (x + 2) + B (x – 1),

1

x = 1

–8 + 9 = 3A A =

,

3

x = –1

16 + 9 = –3B B = –

25

,

3

8x 9

=

1

1

25

1

.

x2 x

2

3

x

1

x 2

3

Таким образом, исходный интеграл:

x

4 x3

1

dx

2

1

1

25

1

=

x

2x 4

dx =

x2 x

2

3

x

1

3

x 2

= x2dx 2 x dx + 4 dx

1

dx

25

dx

=

x3

x2 4x

x 1

3

x

2

3

3

1 ln

x 1

25 ln

x 2

C .

3

3

1)

R sin x, cos x dx,

где R (sin x, cos x) – рациональная функ-

ция

от sin x и cos x, находится

с помощью замены t tg

x

. При

2

2 dt

2t

1

t

2

этом

x = 2 arctg t, dx

,

sin x

, cos x

.

1

t2

1 t2

1

t

2

Пример

sin x

2t

1 t2

2 dt

dx

=

cos x

1 t

2

=

1 t

2

=

5 4sin x

3cos x

1 t

2

5 4

2t

3

1 t

2

2 dt

1

t2

1 t2

dx

1 t2

=

2 dt

=

dt

=

dt

=

t 2 1 C =

5

5t

2

8t

3 3t

2

t

2

4t 4

t 2

2

1

=

1

C =

1

C .

t

2

x

tg

2

2

Замечание.

Подстановка

t tg

x

называется

универсальной

2

тригонометрической подстановкой.

б)

R sin x cos x dx находится

с помощью замены t = sin x,

при этом cos x dx = dt.

R cos x sin x dx

находится

с помощью замены t = соs x,

– если n

нечетное,

то

t

=

соs x,

при этом

sin 2x = 1 – t 2,

sin x dx = –dt;

cos 2x = 1 – t 2,

– если m

нечетное,

то

t

=

sin x,

при этом

cos x dx = dt.

Пример

sin3 x cos2

t cos x

= 1 t2 t2 dt = t4dt

x dx =

sin2 x 1 t2

sin x dx dt

t2dt = t5 t3

C = cos5 x

cos3 x

C .

5

3

5

3

в) sin αx

cosβx dx,

sin αx sin βx dx ,

cos αx cosβx dx сводятся

Пример

sin 5x cos3x dx = 1

sin 8x sin 2x dx =

1

sin 8x dx

2

2

1 sin 2x dx =

1

1

cos8x

1

1

cos 2x C =

1

cos8x

2

8

2

2

16

2

1 cos 2x C .

4

г) R x,

n ax b dx

находится с помощью замены t n ax b ,

tn b

n

n 1

, dx a t

при этом x

a

dt .

Пример

x

x 1 t2

= t2 1 2t

dt = 2 t2dt 2 dt =

dx

=

x t2 1

x 1

dx 2t dt

t

= 2 t3

2

2t C =

x 1 3

2 x 1 C .

3

3

д)

R x,

a2 x2 dx

находится с помощью замены x = a sin t

(или x = a cos t),

при этом

a2 x2

a cost

(или a2 x2

a sin t )

и dx = a cos t

(или dx = –a sin t).

R

x,

a2 x2 dx

находится

с помощью замены

x = a tg t

(или x = a ctg t),

при этом

a2 x2

a

(или a2 x2

a

)

cos t

sin t

и dx

a

dt

(или dx

a

dt ).

cos2 t

sin2 t

Пример

x 1

dx =

x 1

x 2 2 sin t

dx =

x 2 sin t 2

=

4 x x2

4

x 2 2

dx 2 cos t dt

= 2 sin t 3

2 cos t dt

= 2 sin t dt

+ 3 dt = 2 cos t 3t C

=

2 cos t

Пусть на отрезке [a; b]

задана непрерывная функция f (x).

Разобьем [a; b] на n

частей произвольной последовательно-

стью точек a = x0 < x1 < < xn = b.

Выберем на каждом элементарном отрезке [x k – 1, x k]

произ-

n

вольную точку ck . Тогда

f ck xk , где xk xk xk 1

– ин-

b

b

f x dx x dx .

a

a

8.

Если m и M –

наименьшее и наибольшее значения функ-

b

ции

f (x) на [a; b], то

m b a f x dx M b a .

a

b

b

9.

Если a b, то

f x dx

f x

dx.

a

a

b

x4

b

b4

a4 .

1.

x3dx

a

4

a

4

4

1

dx

1

π

π

π

2.

1

arctg x

=arctg 1 arctg ( 1)

.

1 x2

1

4

4

2

1

2x dx2 ln 1 x2

10

3.

ln 2 ln1 ln 2.

0

1 x

а) Замена переменной

Пусть функция

f (x) непрерывна на

[a, b].

Если x = φ (t),

φ (α) = a, φ (β) = b, функции φ (t),

φ (t), f (φ (t))

непрерывны на

[α; β], то

b

β

t

t dt .

f x dx f

a

α

1 x2