Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Киселева Г.А. Математика часть 2

.pdf
Скачиваний:
9
Добавлен:
22.03.2015
Размер:
395.18 Кб
Скачать

Решение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1) y = (9x 4 + 4x 3 – 7) = 36x 3 + 12x 2;

y = 0 при 36x 3 + 12x 2 =

= 12x 2 (3x + 1) = 0,

т.е. при

x = 0

или x

1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

3

 

Следовательно, x = 0,

x

критические точки.

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

2) y (–1) = 9 (–1) 4 + 4 (–1) 3 – 7 = –2;

 

 

 

y (2) = 9

2 4 + 4 2 3 – 7 = 169 – наибольшее;

y (0) = 9 0 4 + 4 0 3 – 7 = –7;

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1

4

 

 

1

3

 

 

 

1

 

 

y

 

9

 

 

 

4

 

 

 

7 7

 

наименьшее.

3

3

27

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:

min 9x4 4x3

7 7

1

,

max 9x4

4x3 7 169 .

27

 

[ 1; 2]

 

 

 

 

 

 

 

 

[ 1; 2]

 

 

Контрольная работа 2.2

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Краткие теоретические сведения

1. Неопределенный интеграл

1.1. Первообразная функции и неопределенный интеграл

Функция F (x) называется первообразной для функции f (x) на

некотором промежутке, если в каждой точке этого промежутка

F x f x .

21

Совокупность всех первообразных для данной функции назы-

вается неопределенным интегралом от этой функции: f (x) dx =

= F (x) + С, где С – некоторая постоянная.

График первообразной называется интегральной кривой. Неопределенному интегралу соответствует совокупность инте-

гральных кривых, полученных из произвольной интегральной кривой параллельным переносом вдоль оси OY.

Свойства неопределенного интеграла

1. f x dx f x .

2.dF x F (x) C .

3.k f x dx k f (x) dx .

4. f x g x dx = f x dx g x dx .

1

 

5. Если

f

x dx F x C , то f ax b dx

F ax b

C

(где

а, b – некоторые числа).

a

 

 

 

1.2. Таблица интегралов

1. x dx

x 1

 

C

(α ≠ –1).

1

 

 

 

2.dxx ln x C .

3.sin x dx cos x C .

4.cos x dx sin x C .

5.cosdx2 x tg x C .

22

6.

 

 

dx

 

ctg x C .

 

2

x

 

 

sin

 

 

 

 

7.

ax dx

ax

C .

 

 

 

 

 

 

 

 

ln a

8.

ex dx ex C .

9.

 

 

dx

 

arctg x C .

x

2

 

 

 

1

 

 

 

 

10.

 

dx

 

arcsin x C .

 

 

 

 

 

 

 

1 x2

1.3. Основные методы интегрирования

а) Непосредственное интегрирование

Метод состоит в приведении данного интеграла к одному или нескольким табличным с помощью элементарных преобразований, используя свойства интегралов.

Примеры. Найти интегралы.

1.

x2

3 x 4

1

dx

 

 

3

2 3

 

 

 

 

dx = x2 dx 3

4 x

2 dx =

 

x

 

 

 

 

x

 

3 x2 3 ln

 

 

 

 

x x

 

 

 

 

 

 

1

8x2 C .

2.sin 4x dx 14 cos 4x C .

3.

dx

 

 

1 ln

 

3x 1

 

C .

 

 

3x 1

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. e2 x dx 12 e2 x C .

23

б) Замена переменной

Введение новой переменной позволяет свести нахождение данного интеграла к нахождению табличного.

Пусть нужно найти f x dx .

Делаем замену х = φ(t) (где φ(t) – непрерывная, дифференцируемая функция), тогда = φ (t) dt.

При этом f x dx f t t dt .

Примеры. Найти интегралы.

 

 

1.

 

 

 

 

 

 

x 2sin t

 

 

 

=

 

4 4cos2 t 2cos t dt

 

 

 

 

4 x2 dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx 2 cos t dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 4 cos2 t dt

= 2 1 cos 2t dt

 

= 2 dt + 2 cos 2t dt = 2 t sin 2t C =

=

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

x

 

C =

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

2arcsin

 

 

sin 2arcsin

 

 

2arcsin

 

 

 

2sin

arcsin

 

 

 

 

 

2

2

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

C

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

x

 

cos arcsin

 

 

= 2arcsin

 

 

 

2

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

C

 

= 2arcsin

 

 

 

2

2

 

 

4

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

4 x2

C .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 dx

 

 

 

 

t x3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

=

1

 

dt

 

 

=

 

 

 

 

 

1 x6

 

 

dt 3x

2

dx

 

 

 

 

1 t 2

 

 

 

1 t2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

=

 

1 arcsin t C

= 1 arcsin x3

C .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t ln x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln x

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. ln xxdx =

 

 

 

1 dx

= t d t = t2 C =

 

C .

 

 

 

 

 

dt

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

24

 

4.

x

=

 

t x

 

 

 

 

 

 

 

 

= dt

= ln

 

t

 

 

C = ln

 

x

 

C .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

dt x dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

a dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

a

=

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

2

a

2

a

2

 

x

2

1

 

 

dt

1

dx

 

 

 

 

a

2

 

t

2

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

1 arctg t C =

1 arctg

 

x

C .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

а

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

=

1

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

=

 

 

t

x

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

a dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

1

a dt

 

= arcsin t C =

arcsin

x

 

C .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 t2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Замечание. Примеры 4 – 6 будем использовать в дальнейшем как табличные интегралы.

в) Интегрирование по частям

Этот метод основан на правиле дифференцирования произведения двух функций. Пусть u, v – некоторые дифференцируемые функции. Тогда

u dv uv v du .

Примеры. Найти интегралы.

 

 

 

 

1. 2 x 3 e xdx =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u 2x 3,

du 2x 3

dx 2dx

=

 

dv exdx,

v exdx e x

C 0

 

25

= 2 x 3 e x e x 2 dx = 2x 3 e x 2e x С = 2x 1 e x С.

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

2.

ln x dx =

u ln x,

du ln x

dx x dx

= x ln x

 

 

dv dx,

v dx x

(C 0)

 

x

1 dx = x ln x x C .

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

Замечание. При определении u и dv удобно пользоваться следующей таблицей (где Pn (x) – многочлен степени n от x):

u dv

u

dv

 

 

 

Pn (x) cos x dx

Pn (x)

cos x dx

Pn (x) sin x dx

Pn (x)

sin x dx

Pn (x) a x dx

Pn (x)

a x dx

Pn (x) ln x dx

ln x

Pn (x) dx

Pn (x) arcsin x dx

arcsin x

Pn (x) dx

Pn (x) arctg x dx

arctg x

Pn (x) dx

1.4. Интегрирование рациональных функций

Рациональной функцией называется отношение двух много-

членов Pm x , где Pm (x) – многочлен степени m от x, Pn (x) –

Pn x

многочлен степени n от x.

Если m < n, то дробь правильная, если m n, то дробь неправильная.

Если дробь неправильная, то, разделив числитель на знаменатель, можно представить дробь в виде суммы многочлена и правильной дроби.

26

Правильные рациональные дроби вида:

1)

 

 

A

,

 

 

 

 

x a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2)

 

 

B

(где k = 2, 3, 4, ),

 

 

 

x a k

 

 

3)

 

 

Cx D

 

(где p 2 – 4q < 0),

 

 

 

x2 p x q

 

 

 

 

 

 

 

 

4)

 

 

Mx N

 

(где l = 2, 3, 4, ; p 2

– 4q < 0),

 

x2 p x q l

 

 

 

 

где A, B, C, D, M, N – действительные числа, называются про-

стейшими рациональными дробями 1 – 4-го типов.

Интегрирование простейших дробей

1) x Aa dx Aln x a C .

Пример

 

 

 

 

2

 

dx 2ln

 

x 5

 

C .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

5

x a k 1

 

 

 

 

 

B

 

 

dx = B x a k dx = B

 

 

 

 

2)

 

 

 

C

=

 

x a

k

k 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

1 k

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

x

a

 

 

C .

 

 

 

 

1 k

 

 

 

 

 

 

27

Пример

 

4 dx

 

= 4 x 1 3 dx = 4

x 1 2

C =

2

 

C .

x 1

3

2

x 1

2

 

 

 

 

 

 

3) Для нахождения интегралов от дробей 3-го типа необходимо найти производную знаменателя, выделить в числителе производную знаменателя, выделить в знаменателе полный квадрат, воспользоваться табличными интегралами:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln

x

 

C ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

1

 

arctg

 

x

C .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

2

a

2

a

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1) x2 8x 5

2x 8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3x

5

 

dx =

 

 

 

 

2) 3x 5

 

3

2x 8 7

 

 

 

 

=

3

 

 

2x 8

 

dx

x

2

8x

25

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

x

2

8

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3) x2 8x 25 x 4 2 9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

dx

 

=

3

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

 

x 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln

 

 

8x

25

 

 

 

arctg

 

C .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

4

2

9

2

 

 

 

 

3

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4) Интегралы от дробей 4-го типа мы не рассматриваем.

Теорема. Всякая правильная рациональная дробь, знаменатель которой Pn x x a x b x2 px q , может быть

представлена единственным образом в виде

28

 

 

 

Pm x

 

A1

 

A2

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Pn x

x a

x a 2

 

x a

 

 

 

B

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

M

x

N

 

+

 

1

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

1

 

 

 

1

+

 

x

b

x

b 2

 

x b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 px q

 

 

 

 

 

 

+

 

M2 x N2

+ +

 

 

M x N

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 px q 2

 

x2 px q

 

 

 

где A 1, A 2, , Mγ , N γ

 

– неизвестные постоянные.

 

 

 

Для нахождения неизвестных постоянных существуют сле-

 

дующие методы:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

метод неопределенных коэффициентов

 

 

 

 

 

 

 

Пример

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4x2 x 10

 

 

4x2

x 10

 

 

A

Bx C

A x2 2 Bx C x

 

x3 2x

=

 

 

=

 

 

 

 

x2 2 =

 

 

 

 

 

=

 

x x2 2

x

 

 

 

 

 

 

x x2 2

=Ax2 2A Bx2 Cx , 4x 2 + x + 10 = Ax 2 + 2A + Bx 2 + Cx,

xx2 2

x 2 x 1 x 0

4 A B,1 C,

10 2A,

A 5,

B 1,C 1,

4x2 x 10

=

5

 

x 1

;

x3

2x

x

x2

2

 

 

 

 

метод частных значений

29

Пример

6

6

=

A

 

B

 

C

=

 

 

 

 

 

 

 

x3 x

x x 1 x 1

x

x 1

x 1

=A x 1 x 1 Bx x 1 Cx x 1 ,

xx 1 x 1

6 = A (x – 1) (x + 1) + Bx (x + 1) + Cx (x – 1),

6 x3 x

 

 

 

x = 0

6

= – A

A = –6,

 

 

 

x = 1

6 = 2B

B = 3,

 

 

x = –1

6 = 2C C = 3,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

3

 

 

3

 

.

 

x

x 1

x 1

 

 

 

 

 

 

Замечание. Таким образом, интегрирование рациональных функций сводится к интегрированию многочлена и простейших дробей.

Пример

x4 x3 1 dx . x2 x 2

Подынтегральная функция – неправильная рациональная дробь. Выделим целую часть:

_ x 4 x 3 + 1 | x 2 + x – 2

 

 

 

x 4 + x 3 – 2x 2

x 2 – 2x + 4

_ –2x 3 + 2x 2 + 1

–2x 3 – 2x 2 + 4x _ 4x 2 – 4x + 1 4x 2 + 4x – 8

–8x + 9

30