Киселева Г.А. Математика часть 2

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Череповецкий Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

1 dx = x ln x x C .

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

22.03.2015

Размер:

395.18 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 63 4 5 6 > Следующая >>>

Решение
1) y = (9x 4 + 4x 3 – 7) = 36x 3 + 12x 2;												y = 0 при 36x 3 + 12x 2 =
= 12x 2 (3x + 1) = 0,			т.е. при				x = 0			или x				1 .
								1						3
Следовательно, x = 0,						x		1	–	критические точки.
								3
2) y (–1) = 9 (–1) 4 + 4 (–1) 3 – 7 = –2;
y (2) = 9		2 4 + 4 2 3 – 7 = 169 – наибольшее;
y (0) = 9 0 4 + 4 0 3 – 7 = –7;
	1			1	4			1	3				1
y		9				4				7 7				–	наименьшее.
y		9		3		4		3		7 7			27	–	наименьшее.
	3			3				3					27
Ответ:	min 9x4 4x3					7 7				1	,	max 9x4			4x3 7 169 .
Ответ:	min 9x4 4x3					7 7				27	,	max 9x4			4x3 7 169 .
	[ 1; 2]									27		[ 1; 2]

Контрольная работа 2.2

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Краткие теоретические сведения

1. Неопределенный интеграл

1.1. Первообразная функции и неопределенный интеграл

Функция F (x) называется первообразной для функции f (x) на

некотором промежутке, если в каждой точке этого промежутка

F x f x .

Совокупность всех первообразных для данной функции назы-

вается неопределенным интегралом от этой функции: f (x) dx =

= F (x) + С, где С – некоторая постоянная.

График первообразной называется интегральной кривой. Неопределенному интегралу соответствует совокупность инте-

гральных кривых, полученных из произвольной интегральной кривой параллельным переносом вдоль оси OY.

Свойства неопределенного интеграла

1. f x dx f x .

2.dF x F (x) C .

3.k f x dx k f (x) dx .

4. f x g x dx = f x dx g x dx .			1
5. Если	f	x dx F x C , то f ax b dx		F ax b
C	(где	а, b – некоторые числа).	a

1.2. Таблица интегралов

1. x dx	x 1	C	(α ≠ –1).
	1

2.dxx ln x C .

3.sin x dx cos x C .

4.cos x dx sin x C .

5.cosdx2 x tg x C .

6.			dx		ctg x C .
			2	x
		sin
7.	ax dx						ax	C .

							ln a
8.	ex dx ex C .
9.			dx		arctg x C .
		x	2
			1
10.			dx			arcsin x C .

			1 x2

1.3. Основные методы интегрирования

а) Непосредственное интегрирование

Метод состоит в приведении данного интеграла к одному или нескольким табличным с помощью элементарных преобразований, используя свойства интегралов.

Примеры. Найти интегралы.

3 x 4

2 3

dx = x2 dx 3

4 x

2 dx =

3 x2 3 ln

x x

–8x2 C .

2.sin 4x dx 14 cos 4x C .

3.	dx	1 ln	3x 1	C .

	3x 1
		3

4. e2 x dx 12 e2 x C .

б) Замена переменной

Введение новой переменной позволяет свести нахождение данного интеграла к нахождению табличного.

Пусть нужно найти f x dx .

Делаем замену х = φ(t) (где φ(t) – непрерывная, дифференцируемая функция), тогда dх = φ (t) dt.

При этом f x dx f t t dt .

Примеры. Найти интегралы.

x 2sin t

4 4cos2 t 2cos t dt

4 x2 dx

dx 2 cos t dt

= 4 cos2 t dt

= 2 1 cos 2t dt

= 2 dt + 2 cos 2t dt = 2 t sin 2t C =

C =

2arcsin

sin 2arcsin

2arcsin

2sin

arcsin

cos arcsin

= 2arcsin

4 x2

C .

x2 dx

t x3

1 x6

dt 3x

1 t 2

1 t2

1 arcsin t C

= 1 arcsin x3

C .

t ln x

ln x

3. ln xxdx =

1 dx

= t d t = t2 C =

C .

t x

= dt

= ln

C = ln

C .

dt x dx

a dt

1 arctg t C =

1 arctg

C .

x 2

a dx

a dt

= arcsin t C =

arcsin

C .

1 t2

Замечание. Примеры 4 – 6 будем использовать в дальнейшем как табличные интегралы.

в) Интегрирование по частям

Этот метод основан на правиле дифференцирования произведения двух функций. Пусть u, v – некоторые дифференцируемые функции. Тогда

u dv uv v du .

Примеры. Найти интегралы.
1. 2 x 3 e xdx =

	u 2x 3,	du 2x 3	dx 2dx		=
	dv exdx,	v exdx e x		C 0

= 2 x 3 e x e x 2 dx = 2x 3 e x 2e x С = 2x 1 e x С.

Замечание. При определении u и dv удобно пользоваться следующей таблицей (где Pn (x) – многочлен степени n от x):

u dv	u	dv

Pn (x) cos x dx	Pn (x)	cos x dx
Pn (x) sin x dx	Pn (x)	sin x dx
Pn (x) a x dx	Pn (x)	a x dx
Pn (x) ln x dx	ln x	Pn (x) dx
Pn (x) arcsin x dx	arcsin x	Pn (x) dx
Pn (x) arctg x dx	arctg x	Pn (x) dx

1.4. Интегрирование рациональных функций

Рациональной функцией называется отношение двух много-

членов Pm x , где Pm (x) – многочлен степени m от x, Pn (x) –

Pn x

многочлен степени n от x.

Если m < n, то дробь правильная, если m n, то дробь неправильная.

Если дробь неправильная, то, разделив числитель на знаменатель, можно представить дробь в виде суммы многочлена и правильной дроби.

Правильные рациональные дроби вида:

1)			A	,
1)	x a			,
	x a
2)			B		(где k = 2, 3, 4, ),
2)			x a k		(где k = 2, 3, 4, ),
3)			Cx D			(где p 2 – 4q < 0),
3)			x2 p x q			(где p 2 – 4q < 0),
			x2 p x q
4)			Mx N			(где l = 2, 3, 4, ; p 2	– 4q < 0),
4)		x2 p x q l				(где l = 2, 3, 4, ; p 2	– 4q < 0),
		x2 p x q l

где A, B, C, D, M, N – действительные числа, называются про-

стейшими рациональными дробями 1 – 4-го типов.

Интегрирование простейших дробей

1) x Aa dx Aln x a C .

Пример

dx 2ln

x 5

C .

x a k 1

dx = B x a k dx = B

x a

k 1

1 k

C .

1 k

Пример

4 dx		= 4 x 1 3 dx = 4	x 1 2	C =	2		C .
x 1	3		2		x 1	2

3) Для нахождения интегралов от дробей 3-го типа необходимо найти производную знаменателя, выделить в числителе производную знаменателя, выделить в знаменателе полный квадрат, воспользоваться табличными интегралами:

x dx

C ,

arctg

C .

Пример

1) x2 8x 5

2x 8

dx =

2) 3x 5

2x 8 7

2x 8

3) x2 8x 25 x 4 2 9

x 4

arctg

C .

4) Интегралы от дробей 4-го типа мы не рассматриваем.

Теорема. Всякая правильная рациональная дробь, знаменатель которой Pn x x a x b x2 px q , может быть

представлена единственным образом в виде

Pm x

Pn x

x a

x a 2

x a

b 2

x b

x2 px q

M2 x N2

+ +

M x N

x2 px q 2

x2 px q

где A 1, A 2, , Mγ , N γ

– неизвестные постоянные.

Для нахождения неизвестных постоянных существуют сле-

дующие методы:

– метод неопределенных коэффициентов

Пример

4x2 x 10

4x2

x 10

Bx C

A x2 2 Bx C x

x3 2x

x2 2 =

x x2 2

=Ax2 2A Bx2 Cx , 4x 2 + x + 10 = Ax 2 + 2A + Bx 2 + Cx,

xx2 2

x 2 x 1 x 0

4 A B,1 C,

10 2A,

A 5,

B 1,C 1,

4x2 x 10		=	5	x 1		;
x3	2x		x	x2	2

– метод частных значений

Пример

6	6		=	A	B	C	=

x3 x		x x 1 x 1		x	x 1	x 1

=A x 1 x 1 Bx x 1 Cx x 1 ,

xx 1 x 1

6 = A (x – 1) (x + 1) + Bx (x + 1) + Cx (x – 1),

6 x3 x


		x = 0	6	= – A		A = –6,
		x = 1	6 = 2B			B = 3,
	x = –1		6 = 2C C = 3,

6		3	3		.
x		x 1	x 1		.
x		x 1	x 1

Замечание. Таким образом, интегрирование рациональных функций сводится к интегрированию многочлена и простейших дробей.

Пример

x4 x3 1 dx . x2 x 2

Подынтегральная функция – неправильная рациональная дробь. Выделим целую часть:

_ x 4 – x 3 + 1 | x 2 + x – 2


x 4 + x 3 – 2x 2	x 2 – 2x + 4

_ –2x 3 + 2x 2 + 1

–2x 3 – 2x 2 + 4x _ 4x 2 – 4x + 1 4x 2 + 4x – 8

–8x + 9

<<< < Предыдущая 1 23 / 63 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
28.08.2019241.66 Кб4Кейс по Северстали.doc
#
18.07.2019103.42 Кб17КЕЙСЫ.doc
#
22.03.201535.92 Кб20Киевская Русь в 11.docx
#
24.12.2018258.05 Кб8КИМ геология.doc
#
22.03.2015327.61 Кб15Киселева Г.А. Математика часть 1.pdf
#
22.03.2015395.18 Кб16Киселева Г.А. Математика часть 2.pdf
#
22.03.2015416.05 Кб18Киселева Г.А. Математика часть 3.pdf
#
20.04.2019145.92 Кб21Классификация нарушений речи.doc
#
22.03.2015603.44 Кб15книга об англо-бурской войне.rtf
#
16.08.20195.84 Mб57Козлов Г.С. Термическая обработка стали курс ле...doc
#
16.08.20191.01 Mб12Козлов Г.С. УП порошковые мат. испр 28.01.09.doc