Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Киселева Г.А. Математика часть 2

.pdf
Скачиваний:
16
Добавлен:
22.03.2015
Размер:
395.18 Кб
Скачать

2. Площадь криволинейного сектора (ограничивающая кривая задана уравнением в полярных координатах r = r (φ) и двумя лучами φ = φ1, φ = φ2) находится по формуле

 

1

 

 

 

S

2

r2

d .

 

2

 

 

 

 

 

1

 

 

2.4.2. Вычисление длины дуги плоской кривой

а) Если кривая задана уравнением y = f (x) в прямоугольных координатах, то

 

b

 

 

l 1 f x 2 dx .

 

 

 

a

 

 

б) Если кривая задана в параметрической форме

x x t

, то

 

 

 

y y t

 

 

 

 

 

 

x t 2 y t 2 dt .

 

 

l

 

 

в) Если кривая задана уравнением r = r (φ) в полярных координатах, то

2

r 2 r2 d .

l

1

 

2.4.3. Вычисление объемов тел вращения

Объем тела, полученного вращением вокруг оси OX криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = f (x), осью OX и прямыми x = a, x = b, равен

41

b

V π f x 2 dx .

a

Объем тела, полученного вращением вокруг оси OY криволинейной трапеции, ограниченной кривой x = φ (y), осью OY и прямыми y = c, y = d, равен

d

V π y 2 dy .

с

3. Несобственные интегралы

3.1. Интегралы по бесконечному промежутку

Интегралы с бесконечными пределами интегрирования назы-

вают несобственными интегралами первого рода и определяют по формулам:

a

b

f x dx lim

b

f x dx ;

 

 

b

 

 

 

 

a

 

 

 

f x dx lim

b

f x dx;

 

 

a

 

 

 

 

a

 

 

 

f x dx lim

c

f x dx lim

b

f x dx .

a

b

 

 

a

 

c

 

Если в указанных равенствах существуют конечные пределы, стоящие справа, то существуют и несобственные интегралы, стоящие слева. В этом случае говорят, что интеграл сходится. В противном случае соответствующие несобственные интегралы расходятся.

42

Примеры

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

dx

 

 

 

 

1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

=

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

1 x

 

a

 

 

x

2

 

 

b

 

1

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a 1

 

 

 

 

 

c

 

 

 

 

 

= lim

 

 

arctg

x

 

c

 

 

lim

 

 

arctg x

 

b

 

=

 

 

lim

arctg c arctg a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

arctg b arctg c = arctg c

 

 

 

π

 

 

π

arctg c π.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Следовательно, интеграл сходится.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

a 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

1

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

lim

 

 

 

lim

 

 

 

 

 

=

 

 

 

x

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

x

 

 

b

 

 

 

 

 

 

a

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, если 1,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 a

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

если 1;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

dx

lim

 

 

ln

 

x

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

b a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом,

 

 

 

 

сходится при > 1 и расходится при

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

≤ 1.

3.2.Интегралы от неограниченных функций

Если функция f (x) имеет бесконечный разрыв в одной или не-

b

скольких (конечное число) точках [a; b], то f x dx называют

a

несобственным интегралом второго рода.

43

Пусть f (x) имеет бесконечный разрыв в точке c (a, b). Тогда

b

f x dx lim c ε

f x dx lim

b

f x dx.

 

ε 0

 

ε 0

 

 

a

 

a

 

c ε

 

Если существуют конечные пределы справа, то интеграл слева сходится.

Примеры

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t ln x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

dx

 

 

 

 

2

 

 

dx

 

 

 

 

 

dt dx

 

 

 

 

 

1.

 

 

 

lim

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

x

 

 

 

 

=

 

2

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

x ln

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

x

 

0

1 x ln

 

x

 

 

 

x

 

1

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

ln 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln 1

 

 

 

 

 

ln 2

 

dt

 

 

 

1

 

ln 2

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= lim

 

 

 

2

 

= lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

t

 

0

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln 1

 

 

 

 

 

 

 

 

ln 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Следовательно, интеграл расходится.

2.

 

b

dx

α

 

 

 

 

 

b

dx

 

 

 

 

x a

1

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

lim

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

ε 0 a

 

 

 

 

 

ε 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x a

 

 

 

 

x a

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

,

если α 1,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

b a

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

если α 1;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

dx

 

 

 

 

b

dx

 

 

 

 

 

x a

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

lim

 

ln

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

x a

ε 0

 

 

 

 

ε 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

a x a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

44

b

dx

 

 

Таким образом,

 

сходится при < 1 и расходится

x a

α

a

 

 

при ≥ 1.

 

 

 

3.3. Теоремы сравнения

Теорема 1. Если при x a выполняется 0 f (x) φ (x), то:

 

 

 

 

 

а)

из сходимости интеграла

x dx

следует сходимость

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

интеграла f x dx (из сходимости большего следует сходи-

 

a

 

 

 

мость меньшего);

 

 

 

 

 

 

f x dx

 

б)

из расходимости интеграла

 

следует расходи-

a

мость интеграла x dx (из расходимости меньшего следует

a

расходимость большего).

Теорема 2. Если при любом a ≤ x b выполняется 0 f (x)φ (x) и если функции f (x) и φ (x) имеют в точке c [a; b] бесконечный разрыв, то:

а) из сходимости интеграла

b

f x dx ;

a

б) из расходимости интеграла

b

мость x dx .

a

b

x dx следует сходимость

a

b

f x dx следует расходи-

a

45

Примеры

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

1.

Выяснить, сходится или нет

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

x2 1 ex

 

 

 

 

При всех x ≥ 1 выполняется

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

1

e

x

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

1

x2

сходится ( = 2 > 1), следовательно,

1

 

схо-

x2 1 ex

дится (по теореме 1).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2 sin x 1

 

 

2.

Выяснить, сходится или нет

 

 

 

 

 

 

 

 

dx.

 

 

 

5

1 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

Подынтегральная функция в точке x = 1 терпит бесконечный разрыв.

Для всех х [0; 1) выполняется неравенство

 

 

 

 

2 sin x 1

 

2 1

 

 

 

3

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

5 1 x

 

 

5 1 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 x 5

 

1

3

 

сходится

 

 

1

1

 

 

 

 

 

 

dx

 

,

следовательно, исходный

1

5

0

1 x 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

интеграл сходится (по теореме 2).

46

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение примерного варианта

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

контрольной работы

 

 

 

 

Задача 1.

Найти интегралы:

 

 

 

 

1)

 

 

sin 2x dx

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

2

x 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2)

 

 

 

x 13

 

 

dx ;

 

 

 

 

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x 8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3)

 

x sin 3x dx.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1)

 

 

sin 2x dx

=

 

t cos2 x 3

 

=

dt

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt 2cos x sin x dx sin 2x dx

 

 

cos

2

x 3

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

C

 

cos2 x 3

 

C .

 

 

 

 

= ln

 

 

= ln

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x13

2)x2 2x 8 dx .

 

x 13

 

 

x 13

 

 

=

 

A

 

 

 

B

 

 

A x 2 B x 4

,

 

x2 2x 8

x 4 x 2

 

 

x 4

x 2

 

 

x 4 x 2

x – 13 = A(x + 2) + B(x – 4),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x = –2

 

–15 = –6B

B =

5

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

x = 4

 

–9 = 6A A = –

3

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

x 13

3

 

 

1

 

5

 

1

 

,

 

 

 

 

 

 

 

x2 2x 8

x 4

x 2

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

47

 

 

 

 

x 13

 

 

3

 

dx

 

5

 

dx

 

 

=

3

 

 

x 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

2 ln

 

 

 

 

x2 2 x 8

2

x 4

2

x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5 ln

 

x 2

 

C .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

u x

 

 

du dx

 

 

 

 

 

1 xcos 3x

 

 

 

x sin 3x dx

=

 

 

 

 

 

=

 

3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dv sin 3xdx

 

v

3 cos3x

 

 

 

3

 

 

 

1 cos 3x dx 1 xcos 3x 1 sin 3x C .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

3

 

 

 

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: 1) ln cos2 x 3 C ;

2) 32 ln x 4 52 ln x 2 C ; 3) 13 xcos 3x 19 sin 3x C .

Задача 2. Вычислить интеграл или доказать его расходимость:

 

dx

 

 

.

x2 6x 11

Решение

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

0

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

2

6x 11

 

2

6x 11

x

2

6x 11

 

 

 

x

 

 

 

 

x

 

 

0

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

b

 

dx

 

 

 

 

0

 

 

dx

 

 

= lim

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

 

 

= lim

 

 

 

 

 

x

2

6x 11

 

2

6x 11

x 3

2

 

a a

 

b

0 x

 

 

a a

 

2

48

+ lim

 

b

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

x 3

0

 

 

 

1

 

 

x 3

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= lim

 

 

 

arctg

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

arctg

 

 

 

 

=

 

0 x 3

2

 

2

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

0

b

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

a

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

3

 

 

 

3

=

 

 

 

 

lim

arctg

 

 

 

arctg

 

 

 

lim

arctg

 

 

 

arctg

 

 

 

2

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

b

 

 

 

 

 

 

2

 

 

=

 

1

 

 

3

 

 

 

 

 

 

π

 

 

π

 

 

 

 

3

 

 

 

 

π

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

arctg

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

arctg

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

2

2

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: π2 .

Задача 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = e x, y = e - x, x = 1.

Решение

Построим заданную фигуру:

y

y = e x

e

1

y = e - x

1e

0 1

x

1

1

 

1

 

 

 

10 = e1 e0

 

S ex e x

dx = exdx

e x dx = ex

 

10 e x

 

 

 

0

0

 

0

 

 

 

 

 

e 1 e0 = e 1e 2 =

e 1

2

 

 

 

 

 

e

(ед2).

 

49

Ответ: e e1 2 ед2.

Список литературы

Основная литература

1.Кремер Н. Ш . Высшая математика для экономистов: Учебник. –

М.: ЮНИТИ, 2000.

2.Шипачев В . С. Высшая математика: Учебник для вузов. - М.:

Высш. шк., 2001.

Дополнительная литература

1.Минорский В. П . Сборник задач по высшей математике: Учеб. пособие для втузов, 2004.

2.Шипачев В . С. Задачник по высшей математике. – М.: Высш.

шк., 2001.

50