Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Киселева Г.А. Математика часть 1

.pdf
Скачиваний:
10
Добавлен:
22.03.2015
Размер:
327.61 Кб
Скачать

Логарифмические функции (рис. 30, 31).

y = log a x, y

 

y = log a x, y

 

 

 

 

 

 

a > 1

 

0 < a < 1

 

 

0 1

x

0

1

x

Рис. 30 Рис. 31

Тригонометрические функции (рис. 32 - 35).

y = sin x

y

 

1

 

 

π

0

π

 

 

 

x

2

 

2

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

–1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 32

 

 

 

 

 

 

y = cos x

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π 0

π

 

 

 

2

x

 

2

 

2

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

– 1

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 33

31

y = tg x

y

 

π

0

π

 

x

2

 

2

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 34

y = сtg x

y

 

π

0

π

 

2

x

 

2

 

2

 

2

 

Рис. 35

32

Обратные тригонометрические функции (рис. 36 - 39).

y = arcsin x

y

π

2

–1

0 1

x

 

π

 

2

 

 

 

 

 

Рис. 36

y = arсtg x

y

 

π

2

0

π2

y = arccos x

y

π

2

–1 0 1 x

Рис. 37

x

Рис. 38

33

y = arcсtg x

y

 

π

2

0

x

Рис. 39

Замечание. При нахождении пределов следует помнить, что:

[a + ] = + , [a ] = 0,

 

если a > 1.

 

[a + ] = 0, [a ] = + ,

если 0 < a < 1.

 

[e + ] = + , [e ] = 0.

 

 

 

 

 

 

[log a ( + )] = + ,

[log a (0 +)] = – ,

если a > 1.

[log a ( + )] = – ,

[log a (0 +)] = + ,

если 0 < a < 1.

[ln ( + )] = + , [ln (0 +)] = – .

 

 

 

π

 

 

 

 

 

π

 

 

 

tg

 

,

tg

 

 

 

.

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

arctg π2 .

34

3.2. Точки разрыва функции, их классификация

Функция f (x) называется непрерывной в точке x0, если:

– функция определена в точке x0;

– существует конечный

lim f x ;

 

 

x x0

 

– lim f x f x0 .

 

 

x x0

 

 

 

Или: lim

f x lim f

x f x

.

x x

x x

0

 

0

0

 

 

Точка, в которой функция не является непрерывной, называ-

ется точкой разрыва функции.

Классификация точек разрыва.

1) Если в точке разрыва существуют конечные односторонние пределы, то это точка разрыва I рода. При этом если

lim

f x lim

f x f x

,

x x

x x

0

 

0

0

 

 

то разрыв называют устранимым.

2) Если в точке разрыва хотя бы один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности, то это точка разрыва II рода.

35

Решение примерного варианта контрольной работы

Задача 1. Решить неравенство.

 

 

 

 

 

 

 

 

3x 4

 

1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3x 4

 

1

1

 

3x 4

 

1 –2 3x + 4 2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

–6 3x –2 2 x

2

.

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2;

 

.

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 2. Найти область определения функции.

y

x 4

x

ln 39 x .

x 5

 

 

 

Решение

x 4

0,

 

x 4,

 

0,

 

 

x 5

x 5,

 

 

 

 

39 x 0

 

x 39.

Ответ:

x [4; 5)

(5; 39).

36

4 5 39

Задача 3.

 

Вычислить пределы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1)

 

lim

n

 

n 1

n .

 

3)

lim

 

cos x cos3 x

.

 

 

 

 

 

 

 

tg

2

2x

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 x 12

.

 

 

 

4)

 

 

x 5

3x

 

 

2)

 

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

 

.

 

 

2x

2

9x

 

9

 

 

 

 

x

 

 

 

 

x 3

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

Решение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1)

 

lim

n

n 1

n = [ ( – )] =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= lim

n

n 1

 

n

n 1

n

=

 

lim

 

n n 1 n

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

n 1

n

 

 

 

n

 

 

n 1

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

Поскольку n + 1 n при n , то

= lim

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

n 1

 

 

 

n

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

придем к пределу

lim

 

n

= lim

 

n

 

1

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

n n

n 2 n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: 12 .

 

x2 x 12

=

0

 

2) lim

 

 

 

 

 

.

2x

2

9x 9

0

x 3

 

 

 

 

Разложим числитель и знаменатель на множители:

x 2 + x – 12 = 0,

2 x 2 – 9 x + 9 = 0,

D = 1 + 48 = 49,

D = 81 – 72 = 9,

37

 

 

x 1 49

 

4 ,

 

 

 

 

 

 

x

9 9

 

 

3

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

4

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

1 49

 

3,

 

 

 

 

 

 

 

x

9 9

3,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

x

 

 

+ x – 12 =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x

 

– 9x + 9 = 2

x

 

x 3 =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

= (x + 4) (x – 3).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= (2x – 3) (x – 3).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Придем к пределу

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

x2 x 12

 

= lim

x 4 x 3

 

= lim

x 4

 

 

 

=

3 4

 

7

.

 

 

 

2x2 9x 9

 

2x 3 x 3

 

2x 3

2 3 3

3

 

 

x 3

 

 

x 3

 

 

 

 

 

x 3

 

 

 

 

 

 

Ответ:

 

7

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos x cos3 x

 

 

0

 

 

cos x

1 cos2 x

 

 

 

 

 

cos xsin2 x

 

 

3)

 

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

= lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= lim

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

tg

2

2x

 

 

 

 

 

tg

2

2x

 

 

 

 

 

 

tg

2

2x

 

 

 

 

 

x 0

 

 

 

 

 

0

 

x 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 0

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

. Поскольку sin x x,

tg 2x 2x

при x 0, то придем к

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

пределу

lim

cos x x2

 

= lim

 

cos x

 

1

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x 2

 

4

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 0

 

 

 

 

x 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: 14 .

38

 

 

lim

x 5

3x

 

 

 

 

 

 

lim

x

 

5

 

3x

= lim

1

5

3x

4)

 

 

 

 

=

=

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

x

 

 

 

 

 

 

 

x

 

x

 

 

x

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

5

3x

 

 

 

 

 

 

 

 

15

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

x

 

5

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

1

= lim

1

 

 

 

5

 

 

= lim 1

 

5

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

x

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Используя второй замечательный предел, получим

lim e15 e15 . x

О т в е т : e 15.

Задача 4. Исследовать функцию на непрерывность и построить ее график (схематично).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln ( x),

 

 

x 0,

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

y tg x

 

 

,

0 x

 

 

,

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

sin x,

 

 

 

x

 

.

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1) Построим графики.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

График функции y = ln (– x)

при x < 0.

 

 

Данный график получается из графика

y = ln x зеркальным

отражением относительно оси OY. Рассмотрим график на промежутке (– ; 0).

39

 

y

y = ln (–x)

y = ln x

 

1

–1

1 x

 

–1

 

 

График функции y tg x

π

при 0 x

π

.

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

Данный график получается из графика

y = tg x сдвигом на

π

вдоль оси OX вправо.

Рассмотрим график на промежутке

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

0;

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

y = tg x

 

π

 

y tg x

 

 

 

2

y

 

 

 

 

 

 

π

–1

0 1

π

 

x

 

 

2

 

 

2

 

2

 

40