Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Киселева Г.А. Математика часть 1

.pdf
Скачиваний:
10
Добавлен:
22.03.2015
Размер:
327.61 Кб
Скачать

–4 x + 4 (у + 6) – 4 (z – 2) = 0,

или x – (у + 6) + (z – 2) = 0,

 

или

x у + z – 8 = 0 – уравнение

(АBC).

Пусть DD / – высота, опущенная из точки

D

на плоскость

АBC. Тогда (DD /) (АBC),

sDD

nABC .

 

 

 

 

Из уравнения плоскости АBC найдем nABC 1; 1; 1 .

Уравнение

DD /

найдем по формуле

(7); D (1; 0; –2),

s DD 1; 1; 1 :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 1

 

y 0

 

z 2

,

или

x 1

 

y

 

z 2

.

1

 

 

1

1

 

 

1

 

1

1

 

2) Проекцией точки D на плоскость АBC будет точка D /. Для нахождения ее координат воспользуемся формулой (8):

x y z 8 0,

x 1 t 1,y 1 t 0,

z 1 t 2,

 

x t 1,

 

 

t 3,

 

 

 

 

 

 

y t,

 

 

x 4,

 

 

 

 

z t 2,

8 0

 

y 3,

 

t 1 t t 2

 

z 1.

 

 

 

 

 

Таким образом, D / (4; –3; 1).

 

Ответ: 1)

x 1

 

y

 

 

z 2

;

1

1

 

 

 

1

 

2) D / (4; –3;

1).

 

21

Контрольная работа 1.2

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ

Краткие теоретические сведения

1. Абсолютная величина числа

1.1. Определение

Абсолютной величиной, или модулем действительного числа x называется само число x, если x неотрицательно, и противоположное число (–x), если x отрицательно:

x, если x 0,

xx, если x 0.

Абсолютная величина разности двух чисел | x a | означает расстояние между точками x и a числовой прямой.

1.2. Свойства

1)

| x | 0.

3) | x y | = | x | | y |.

5) | x + y | | x | + | y |.

2)

| –x | = | x |.

4)

 

x

 

 

 

 

x

 

 

 

 

.

6) | x y | | x | – | y |.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.3. Решение неравенств с модулем

 

1)

| x a | < b,

где

b > 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

b < x a < b,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a b < x < a + b.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2)

| x a | > b,

где

b > 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

x a b,x a b.

22

x a b,x a b.

2. Предел функции

2.1. Основные свойства пределов

1)

lim f x g x = lim f x lim g x .

 

x a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x a

 

x a

2)

lim f x g x = lim f x lim g x .

 

x a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x a

 

 

x a

 

 

 

 

f

x

 

 

lim f x

 

 

 

 

lim g x 0.

3)

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

x a

 

 

 

 

при

 

g

x

lim g x

 

 

 

x a

 

 

 

 

 

 

 

x a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x a

 

 

 

 

 

 

 

4)

lim c

f x

= c lim f

x

(c = const).

 

x a

 

 

 

 

 

 

 

 

x a

 

 

 

 

5)

x a

 

f

 

x

 

n

 

x a

 

x

 

 

n

 

.

 

lim

 

 

 

 

 

 

lim f

 

 

 

 

2.2. Бесконечно малые и бесконечно большие функции

1)

Определение.

Функция

 

f (x) называется бесконечно малой

в точке a, если lim f x 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Функция

f (x) называется бесконечно большой в точке a, ес-

ли lim f x .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2) Свойства

Если f (x), g (x) бесконечно малые (бесконечно большие) функции в точке a, то f (x) + g (x) также будет бесконечно малой (бесконечно большой) функцией в точке a.

23

Произведение бесконечно малой (бесконечно большой) функции на бесконечно малую (бесконечно большую), ограниченную, постоянную функции есть бесконечно малая (бесконечно большая) функция.

Если f (x) бесконечно малая функция в точке a, то

1

 

 

f x

 

бесконечно большая функция в точке a и наоборот.

 

 

 

 

 

 

3) Сравнение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Бесконечно малые (бесконечно большие) в точке

a

функции

f (x)

и g (x)

называются эквивалентными, если

lim

f x

1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x a

g x

 

Обозначение:

f (x) g (x)

при x a.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема.

Если

 

f (x) f 1

(x), g (x) g 1 (x)

при

x a

и

существует

lim

f1

x

, то существует lim

f

x

 

. При этом

g1

x

g

x

 

f x

 

x a

 

x a

 

 

 

 

 

 

lim

lim

f1 x

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

g x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x a

x a

g

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Замечание. Все вышесказанное (п. 2.1, 2.2) имеет место и при x , x a .

2.3. Замечательные пределы

1) Первый замечательный предел:

lim sin x 1 .

x 0 x

2) Следствия из первого замечательного предела:

при x 0

24

sin x x, sin x x, tg x x.

3) Второй замечательный предел:

 

 

1

x

e .

lim 1

 

 

x

x

 

 

 

4) Следствия из второго замечательного предела:

 

 

 

1

 

 

 

lim

1 x

 

 

 

e,

 

x

 

 

x 0

 

 

 

 

 

lim

loga 1 x

 

loga e,

 

 

x

x 0

 

 

 

 

 

lim

ln 1 x

1.

 

 

 

x 0

x

 

 

2.4. Основные приемы раскрытия неопределенностей

При нахождении пределов могут встретиться неопределенности вида

 

0

 

,

 

 

,

[0 ],

[ – ],

[1 ].

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

1)Раскрытие неопределенности вида 0 .

0

Если под знаком предела алгебраическая дробь, то ее следует преобразовать таким образом, чтобы в числителе и знаменателе выделить множитель (x a), затем сократить на него.

25

П р и м е р

 

x2

3 x 18

 

0

lim

 

x 3 x 6

=

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

3

27

 

x 3 x

2

3x 9

x 3

 

 

 

0

x 3

 

 

 

 

 

 

= lim

 

x 6

 

9

 

1

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 3

x2 3x 9

27 3

 

 

 

 

Если под знаком предела дробь, содержащая иррациональность, то следует избавиться от иррациональности, домножая на сопряженный множитель.

П р и м е р

 

x 2 6

0

 

 

 

x 2 6

x 2 6

=

lim

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

x 8

0

 

x 8 x 2

6

x 8

 

 

x 8

 

 

= lim

 

x 2

2 6 2

=

lim

 

х 2 6

=

x 8

x 2 6

x 8

x 2 6

x 8

 

 

x 8

 

 

 

= lim

 

1

 

=

 

1

=

1

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 8

x 2 6

 

 

6 6

 

2 6

 

 

Если под знаком предела дробь, содержащая тригонометрические функции, то используем первый замечательный предел или следствия из него.

П р и м е р

lim

 

3x sin 5 x

 

0

 

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

1

cos

2

x

 

x 0

 

 

0

 

 

x 0

sin x x,

sin 5 x 5 x, то

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 0

 

3x sin 5 x

. Поскольку при x 0

 

 

 

sin 2 x

 

 

 

 

3xsin 5 x

lim

3x5 x

15 .

 

sin2 x

x2

 

 

x 0

 

26

2)Раскрытие неопределенности вида .

Неопределенность вида возникает в тех случаях, когда

под знаком предела стоит рациональная дробь или дробь, содержащая иррациональность. В этом случае используют эквивалентные бесконечно большие функции:

a 0 x n + a 1 x n – 1 + + a n – 1 x + a n a 0 x n

при x .

 

П р и м е р

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

1 15x 4 x

3

=

 

 

x 1 – 15x +

 

 

 

 

 

 

 

 

. Поскольку при

 

 

 

 

 

 

 

x 3

6 x

2

x

9

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ 4x 3 4x 3, 6x 2 + x 9

– 7 x 9, то данный предел равен lim

4x3

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 3 x9

 

=4.

3)Раскрытие неопределенностей вида [0 ] и [ – ].

Неопределенности [0 ] и [ – ] путем тождественных преобразований функции, стоящей под знаком предела, сводятся

к неопределенности вида

0

 

или

 

 

 

 

 

 

.

0

 

 

 

 

 

 

П р и м е р ы

1) lim x sin 2 x ctg 2 3 x = [0 ]. Поскольку

ctg 3 x

1

 

,

tg 3 x

x 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

то исходный предел равен lim

x sin 2 x

=

 

0

 

. Поскольку

 

 

 

 

 

 

tg

2

3 x

0

x 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

27

sin 2x 2x,

tg

3x 3x

 

при x 0,

то придем к пределу

lim

x 2 x

 

 

2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 0

 

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2)

 

 

lim

 

x2 8x x2

8x

= [ – ] =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= lim

 

x2 8x x2 8x x2 8x

x2 8x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

x2 8x

x2 8x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= lim

 

 

x2

8x x2 8x

= lim

 

x2 8x x2

8x

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

x2 8x

x2 8x

 

x

 

x2 8x

x2 8x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

x

2

 

= lim

 

 

 

 

 

 

=

.

 

Поскольку

 

при

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x x2 8x x2 8x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ 8x x 2,

x 2 – 8x x 2, то придем к пределу

 

lim

 

16x

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

x2

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= lim

16x

= 8.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4) Раскрытие неопределенности вида [1 ].

В таких случаях используют второй замечательный предел или следствия из него.

П р и м е р

x 3

x

 

 

lim

 

 

 

 

.

 

x x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Будем выделять второй замечательный предел путем тождественных преобразований:

28

x 3

x

 

 

5 x

 

=

lim

 

 

lim 1

 

x 2

 

1

x x 2

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

x

 

 

 

 

5

 

x 2

 

x 2

 

 

 

5

 

 

 

 

lim 1

 

 

 

 

 

.

x 2

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Используя второй замечательный предел, получим lim e

5x

 

x 2

 

 

 

 

x

 

lim

5 x

 

 

 

 

x 2

. Поскольку x – 2

x при

x , то придем к пределу

= e x

 

lim 5 x

e5 .

 

 

 

 

e x x

 

 

 

 

Замечание. При нахождении пределов следует помнить, что:

 

1

 

 

1

 

 

0

 

 

 

; [0 + 0] = 0; [ + ] = .

 

 

 

0

;

 

 

;

 

 

0 ;

 

0

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Непрерывность функции

3.1. Графики основных элементарных функций

Степенные функции (рис. 22 - 27).

 

 

 

 

 

y = x 2n + 1,

y = x

2n

,

y

y

 

n N

n N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

x

 

 

 

 

 

 

 

0

x

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 22

 

Рис. 23

29

y

1

,

y

 

y

 

1

y

 

 

,

x2 n

 

 

 

 

 

x

2 n 1

 

 

 

 

 

 

n N

 

 

 

n N

 

 

 

 

 

0

x

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

Рис. 24

 

 

Рис. 25

 

y

 

y 3 x

y

 

y x

 

 

 

 

0

x

 

0

x

Рис. 26

Рис. 27

Показательные функции (рис. 28, 29).

 

 

 

 

y = a x,

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

y = a ,

y

 

0 < a < 1

 

y

 

 

 

a > 1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 28

 

Рис. 29

 

 

 

30