Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Киселева Г.А. Математика часть 1

.pdf
Скачиваний:
10
Добавлен:
22.03.2015
Размер:
327.61 Кб
Скачать

 

 

у

 

y2 = 2 ,

F

p

; 0 ,

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

x 2

х

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 F

F – фокус параболы, p – параметр

 

 

 

 

параболы (p > 0), прямая x

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

директриса

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 13

 

 

 

 

 

 

 

 

у

p

 

x

 

 

2

 

0

 

F

х

 

y

2

 

 

 

p

 

 

 

 

= – 2 px,

F

 

 

; 0

 

,

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

F – фокус параболы, p – параметр параболы (p > 0), прямая x 2p

директриса

Рис. 14

у

F

 

y p

0

х

 

2

 

 

Рис. 15

 

у

y

p

 

2

0

 

х

F

 

 

 

Рис. 16

 

x

2

 

 

 

p

 

 

= 2 p y,

F

0;

 

 

,

 

2

 

 

 

 

 

 

 

F – фокус параболы, p – параметр

параболы (p > 0), прямая у

p

 

2

 

директриса

 

 

2

 

 

 

p

 

x

 

= – 2 p y , F

0;

 

 

 

,

 

2

 

 

 

 

 

 

 

F – фокус параболы, p – параметр

параболы (p > 0), прямая у

p

2

директриса

 

 

 

11

Канонические уравнения параболы с вершиной в точке (x 0; y 0) имеют вид

(y y0) 2 = 2 p (x x0), (x x0) 2 = 2 p (y y0).

3. Плоскость

3.1. Различные виды уравнений плоскости

Уравнение плоскости (рис. 17), проходящей через заданную точку M 0 (x 0; y 0; z 0) перпендикулярно заданному вектору

n A; B;C , имеет вид

A (x x0) + B (y y 0) + C (z z 0) = 0.

n

M 0

Рис. 17

Вектор n называется вектором нормали плоскости.

Общее уравнение плоскости имеет вид

A x + B y + C z + D = 0.

Уравнение плоскости (рис. 18), проходящей через три задан-

ные точки M 1(x 1; y 1; z 1), M 2 (x 2; y 2; z 2) и M 3 (x 3; y 3; z 3), име-

ет вид

12

x x1

y y1

z z1

 

 

x2 x1

y 2 y1

z 2 z1

0 .

(6)

x3 x1

y3 y1

z3 z1

 

 

M 2

M 1 M 3

Рис. 18

Уравнение плоскости в отрезках (рис. 19) имеет вид

ax by cz 1.

z c

 

b

0

y

a

x

Рис. 19

3.2. Основные задачи на плоскость

Расстояние d от точки М0 (x 0; y 0; z 0) до плоскости A x + B y + + C z + D = 0 равно

13

 

d

A x0

B y0 C z 0 D

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A2 B2 C2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Взаимное расположение плоскостей:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

уравнение плоскости 1

 

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

уравнение плоскости 2

 

A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

угол φ между плоскостя-

 

arccos

 

A1 A2 B1 B2 C1 C 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ми 1 и 2

 

 

 

 

A12 B12 C12

A22 B22 C22

 

 

 

 

 

 

 

 

условие

параллельности

 

 

 

A1

B1

C1

1 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A2

B2

C 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

условие

перпендикуляр-

 

А1 А2 + B 1 B 2 + C 1 C 2 = 0

ности 1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Прямая в пространстве

4.1. Различные виды уравнений прямой в пространстве

Уравнение прямой (рис. 20), проходящей через заданную точку M 0 (x 0; y 0; z 0) параллельно заданному вектору s m; n; p , имеет вид

x x0

 

y y0

 

z z0

– канонические уравнения. (7)

m

n

p

 

 

 

s

M 0

Рис. 20

14

Вектор s называется направляющим вектором прямой.

Параметрические уравнения прямой в пространстве имеют вид

x mt x0 ,

y nt y0 ,z pt z 0 .

Общие уравнения прямой в пространстве (как линия пересечения двух плоскостей) имеют вид

A x B

y C

z D 0,

 

1

1

1

1

 

 

 

 

 

A2 x B2 y C2 z D2 0.

Уравнение прямой (рис. 21), проходящей через две заданные точки M 1 (x 1; y 1; z 1) и M 2 (x 2; y 2; z 2), имеет вид

x x1

 

y y1

 

z z1

.

x2 x1

y2 y1

z 2 z1

 

 

 

M 2

M 1

Рис. 21

15

4.2. Взаимное расположение двух прямых в пространстве:

уравнение прямой l 1

 

 

x x1

 

 

y y1

 

 

z z1

 

 

 

 

m1

 

n1

 

p1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

уравнение прямой l 2

 

x x 2

 

 

y y 2

 

 

z z 2

 

 

 

m2

 

n2

 

p2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

угол φ между прямыми l 1

arccos

 

 

m1 m2 n1 n2 p1 p 2

 

и l 2

 

m12

n12 p12

 

m22 n22 p22

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

условие

параллельности

 

 

 

 

m1

 

n1

 

p1

l 1 l 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m2

n2

 

p 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

условие

перпендикуляр-

m 1 m 2 + n 1 n 2 + p 1 p 2 = 0

ности l 1 l 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.3. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве:

уравнение плоскости

 

A x + B y + C z + D = 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

уравнение прямой l

 

 

x x0

 

 

y y 0

 

z z

0

 

 

 

 

m

 

 

n

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

угол φ между прямой l и плоско-

arcsin

 

 

Am B n Cp

 

 

 

 

A2 B 2 C 2

m2 n2 p2

стью

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

условие параллельности прямой и

 

 

Am B n Cp 0

 

 

 

плоскости l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

условие перпендикулярности пря-

 

 

 

A

 

 

B

C

 

 

 

 

мой и плоскости l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

n

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ax By Cz D 0,

 

 

 

точка пересечения прямой и

 

 

 

 

x0 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

x mt

 

 

 

(8)

плоскости l

 

 

y nt y ,

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z pt z0

 

 

 

 

 

 

16

Решение примерного варианта контрольной работы

Задача 1. Даны координаты вершин треугольника A (–6; –2),

 

 

 

 

B (–3;

2), C (–8; 4). Найдите:

B

 

 

N

1)

уравнение стороны АB;

 

 

2)

уравнение медианы АE;

 

 

E

 

 

3)

уравнение и длину высоты CD;

 

 

 

 

D

 

 

С

4)

уравнение прямой CN, параллель-

 

 

 

 

ной AB.

 

 

 

 

 

AРешение

1)Найдем уравнение стороны АВ по

 

 

формуле (3); A (–6; –2), B (–3; 2):

x ( 6)

=

y ( 2)

 

x 6

 

y 2

4 x – 3 y + 18 = 0.

3 ( 6)

2 ( 2)

3

 

 

 

4

 

2) Точка E – середина отрезка BC. Найдем координаты точки E по координатам B (–3; 2) и C (–8; 4):

 

 

 

 

 

 

 

xE

xB xC

=

3 ( 8) =

11

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

B

y

 

 

2 4

 

 

 

 

 

 

 

11

 

 

 

 

 

 

yE

 

 

 

 

 

C

 

=

 

 

 

 

 

= 3

E

 

 

 

 

; 3

.

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Найдем уравнение медианы

 

 

AE

 

по формуле (3); A (–6; –2),

 

 

11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E

 

 

 

; 3 :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 6

 

y 2

 

 

 

x 6

 

 

y 2

 

10 x y + 58 = 0.

 

 

11

6

3 2

 

 

 

 

1

 

 

5

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

17

3) Так как CD – высота, то CD АB

 

 

 

 

 

 

. Найдем

nCD AB

 

 

 

 

 

 

 

по координатам A (–6; –2)

и B (–3;

2):

 

координаты AB

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 6 ; 2 2 3; 4 .

 

 

 

 

 

 

 

AB

 

 

 

 

 

Найдем уравнение

высоты CD по формуле (1);

C (–8;

4),

nCD (3; 4):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 (x – (-8)) + 4 (y – 4) = 0 3 x + 4 y + 8= 0.

 

 

 

Длину высоты CD найдем

по

 

формуле (4);

C (–8;

4),

(АB) : 4x – 3y + 18 = 0:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

 

 

4 8 3 4 18

 

 

 

 

 

26

 

 

 

 

26

5, 2;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

42 3 2

 

 

 

 

25

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

|CD| = 5,2

(ед.).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4) Так как прямая

CN // АB,

то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

CN

 

AB

.

Найдем урав-

нение прямой CN по формуле (2);

C (–8;

4),

 

 

 

CN

3; 4 :

 

 

S

 

 

x 8

 

 

y 4

4x – 3 y + 44 = 0.

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: 1) (АB): 4 x – 3 y + 18 = 0.

2)(AE): 10 x y + 58 = 0.

3)(CD): 3 x + 4 y + 8 = 0; |CD| = 5,2 (ед.).

4)(CN): 4x – 3 y + 44 = 0.

18

Задача 2. Дано уравнение кривой второго порядка

x 2 – 4y 2 + 8 x – 24y – 24 = 0.

Определите тип кривой, приведите уравнение к каноническому виду, укажите основные характеристики кривой, постройте кривую.

Решение

Так как коэффициенты при x 2 и y 2 отличны от нуля и имеют разные знаки, то, следовательно, данное уравнение на плоскости задает гиперболу. Для приведения уравнения к каноническому виду выделим полные квадраты:

x 2 – 4 y 2 + 8 x – 24 y – 24 = 0, (x 2 + 8 x) – 4 (y 2 + 6 y) – 24 = 0,

(x 2 + 2 x 4 + 4 2) – 4 2 – 4 (y 2 + 2 y 3 + 3 2) + 4 3 2 – 24 = 0, (x + 4)2 – 4 (y + 3) 2 = 4 (: 4),

x 4 2

 

y 3 2

1 – каноническое уравнение гиперболы

4

1

 

[см. формулу (5)].

 

 

 

Из уравнения видно, что центр гиперболы находится в точке (–4; –3), действительная полуось а = 2, мнимая полуось b = 1. Тогда эксцентриситет будет равен

 

ε

c

 

a2 b2

=

22 12

 

5

1.

 

 

a

a

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

Так как c

5 , то координаты фокусов равны F1; 2 -4

5; -3 .

Для построения гиперболы проведем вспомогательные оси через точку (-4; -3) (см. рисунок).

19

у

–6

–4

–2

0

х

–2

–3

–4

Ответ:

x 4 2

 

y 3 2

1.

4

1

 

 

 

Задача 3. Даны координаты вершин пирамиды АBCD:

А (0; –6; 2),

B (2; –4; 2),

C (8; 0; 0), D (1; 0; –2). Найдите:

1)уравнение высоты, опущенной из точки D на плоскость

АBC;

2)координаты проекции точки D на плоскость АBC.

Решение

 

 

 

 

АBC по

формуле (6);

1)

Найдем уравнение плоскости

А (0; –6; 2), B (2; –4; 2),

C (8; 0; 0):

 

 

 

 

 

 

D

 

x 0

y 6

z 2

 

 

 

 

 

 

2 0

4 ( 6)

2 2

0 , или

 

 

 

 

 

 

8 0

0 ( 6)

0 2

 

B

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D /

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

y 6

z 2

 

0 , или

 

 

 

 

 

 

A

 

2

2

0

 

 

 

 

 

8

6

2

 

 

 

 

20