Часть 2

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Череповецкий Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

1 – эллипсоид с центром в начале координат.

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

22.03.2015

Размер:

2.73 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 65 6 > Следующая >>>

Примерный вариант

Даны точки M1 3, 2, 7 , M2 4, 1, 2 ; векторы a1 2, 1,3 ,

a2 1, 2,1	; плоскости				1 : 5x 3y 2z 3 0, 2 : x 2 y 3z 6 0 ;
прямые. l	:	x 1		y 2		z 1	и l		: x 3t 1, y 2t 3, z 5t 1 .
								2
1	5		3			1

1. Составьте уравнения прямой, проходящей:

1)через точки M1, M2 ;

2)через точку M1 параллельно оси OY ;

3)через точку M 2 параллельно прямой l2 ;

4)через точку M1 параллельно прямой, образованной пересечением плоскостей 1, 2 ;

5)через точку M 2 перпендикулярно плоскости 1 .

2.	Найдите точку пересечения прямой l1				и плоскости 2 .
Решение.
1.
1)	Прямую		в	пространстве можно	задать	уравнениями
x x0		y y0	z z0	или x mt x , y nt y , z pt z				, где
				или x mt x , y nt y , z pt z			0	, где
m		n	p	0	0		0
m		n	p

M x0 , y0 , z0 – точка, принадлежащая данной прямой, s m, n, p – направляющий вектор прямой - вектор, лежащий на данной прямой

или

на

прямой,

параллельной

данной.

Тогда

M1M2 x2

x1, y2

y1, z2 z1 4 3, 1 2, 2 7

7,1,5

–

направляющий

вектор,

прямая

задается

уравнениями:

x 3

y 2

z 7

направляющий вектор i 0,1,0 , тогда прямая

На оси OY

задается уравнениями:

x 3

y 2

z 7

или

x 3, y t 2,

z 7.

3) Прямая l2 параллельна искомой прямой, следовательно, их направляющие векторы совпадают. Тогда прямая задается уравне-

ниями:			x 4			y 1			z 2		.
ниями:			3								.
			3				2	5														n1 5, 3, 2 ,
	4)	Искомая					прямая					параллельна						векторам				n1 5, 3, 2 ,
n2 1, 2, 3 , где n1								– нормальный вектор плоскости														1 , n2		– нор-
мальный вектор плоскости												2 . Тогда векторное произведение этих
векторов – вектор, перпендикулярный искомой прямой.
				i	j		k			3		2		5	2			5	3


n n				5	3		2						i			j					k 5i 17 j 13k .
1	2									2		3		1	3			1	2
				1	2		3			2		3		1	3			1	2
				1	2		3										x 3			y 2

	Тогда прямая задается уравнениями:																					z 7	.
	Тогда прямая задается уравнениями:																						.
																	5		17			13
	5)	Искомая прямая параллельна вектору n1 5, 3,2																						– нор-

мальному вектору плоскости 1 . Тогда вектор n1 – направляющий

вектор

искомой

прямой,

прямая задается

уравнениями:

x 4

y 1

z 2

Перепишем

уравнения

l1 в виде:

x 5t 1,

y 3t 2,

z t 1.

Координаты точки

пересечения

прямой

плоскости

удовлетворяют уравнениям прямой и уравнению плоскости. Подставим полученные выражения для x, y, z в уравнение плоскости

2 : x 2 y 3z 6 0 5t 1 2 3t 2 3 t 1 6 0 14t 6 0
t	3	x 5	3	1	22	, y 3	3	2	5	, z	3	1			10		.
t		x 5		1		, y 3		2		, z		1					.
7		7			7		7	7			7				7
													22	,	5			10
Итак, точка пересечения имеет координаты:																,			.
																,			.
													7		7			7

2.4. Поверхности второго порядка

Задание 2.4.1.

Даны уравнения. Выясните, какие поверхности описывают уравнения. Сделайте чертеж.

Номер	Уравнения	Номер	Уравнения
варианта	Уравнения	варианта	Уравнения
варианта		варианта

1	2	3	4

	1) 3x2 y2 4z2 1		1) z2 2x 1
1	2) x2 2x 6 y 55 0	7	2) 36x2 9 y2 4z2 36
1	3) x2 2 y2 z2 16	7	3) x2 4 y2 z2
	4) x2 y2 2z2 0		4) 36x2 9 y2 4z2 36

	1) 9x2 4 y2 z2 1		1)2x 2 3y 2 4z 12 y 0
	1) 9x2 4 y2 z2 1		2)		x 2						y 2		z 2			0
2	2) 2x2 3y2 1	8
	2) 2x2 3y2 1				2						16
	3) x2 2x y2 2z 1 0				2						16
	3) x2 2x y2 2z 1 0		3)x 2 3z 2 9
	4) x2 y2 z2 10		3)x 2 3z 2 9
			4)36(x 2)2										9 y 2			4z 2 36
	1) x2 y2 z2 36		1) z2 2z y2 0
	1) x2 y2 z2 36		2) x2 y2 z2 0
3	2) 3y2 2z2 1	9				x		2				y	2		z	2
3	3) 36x2 38 y2 z2 2z 71	9				x						y			z
	3) 36x2 38 y2 z2 2z 71		3)				4		1						9		1
	4) x2 4z2 y2 0		3)				4		1						9		1
			4) x2 2 y2										4z			2	8
	1) 2x2 6 y		1) z y2 4 0
4	2) 2x2 3y2 z2 4x	10	2) x2						2 y2 z2 3 0
4	3) 2x2 y z2 0	10	3) 9x2 4 y2 z2 36
	3) 2x2 y z2 0		3) 9x2 4 y2 z2 36
	4) x2 y2 4z2 0		4) x2 2 y2 z2 0
			1) x2 2x y2 z 0
	1) x2 y2 3z2 6z 3 0		2)	x2						y2			z2 1
	2) z2 y 4 0		2)										z2 1
5	2) z2 y 4 0	11	4								9
5	3) 4x2 y2 z2 16	11	3) 9x				2 y2						z2			0
	4) x2 y2 z2 27
	4) x2 y2 z2 27		4) y								1			x2				z2
			4) y								1			4			3
														4			3

	1) x2 3y2 z2 0		1) x2 y2 9z2 2x 0
6	2) x2 y2 z2 10x 2 y 1 0	12	2) z2 2x
6	3) 2x y2 4z2 0	12	3) x2 3y2 (z 2)2 0
	4) 2 y2 z2 1		4) x2 2 y2 4z2 16

Продолжение

	1) x y2 4 y 4z2 4																																1)		y2			z2 1
	1) x y2 4 y 4z2 4																																1)	4				z2 1
	2) y						2			4z								2		16														4
	2) y									4z										16													2) x2					6x y z2 0
13	3)			(x 1)2																		( y 1)2								z2	1	19	3) 9x2 y2 10z2 0
	3)																														1		3) 9x2 y2 10z2 0
										21								2							24			1																			x2			2
	4) 4x										y									z						0
	4) 4x										y									z						0							4) z									1					4 y
																																	4) z									1					4 y

	1) x				2						4z						2		16														1) y								x2 1
	1) x										4z								16																		x2						y2
	2) 3x2 12 y2 24 y 4z2 0																																2)				x2						y2				z2 1
14	2) 3x2 12 y2 24 y 4z2 0																															20	2)														z2 1
14	3) x2								2 y2 z 0																							20				16 9
	3) x2								2 y2 z 0																											16 9
	4) 9x2 y2 3z2 27																																3) 16x2							y2						z2 0
																																	4) x2 3y2 z2 6z2 0
	1) (x 1)2 y2 4z2
	1) (x 1)2 y2 4z2																																1) x							z2 y2
	2)			x2									z2					1															2) x2 4x y2 z2 0
15	2)	4											9					1														21	3) y2 4z
	3) x					2		4x y															2	8z		2		4								x			2				y	2
	3) x							4x y																8z				4					4)														z2 1
	4) 2x2 y z2 0
	4) 2x2 y z2 0
																																				16							9
	1) x2 2 y2 4 y z2 0																																1) 4x2 y2 4 y z2 0

																																	2) y x2 z2
			x			2							y		2			1															2) y x2 z2
	2)		x										y																						x2					z2
16																																22	3)										1
		16											4
		16											4
	3) x2 16 y2 z2 0																																	4 9
																																			x2						y2						z2
	4) y 4 x2 3z2																																		x2						y2						z2
	4) y 4 x2 3z2																																4)		4							9					4 1
																																	4)		4							9					4 1
																																	1) x2 4 y 16z2 0
	1) x													z 4 y2																			1) x2 4 y 16z2 0
	2) x						2			y						2		4 y z									2		0				2) 4x2 y2 4 y z2 0

17	3)			x2										y2						z2 1												23	3) x 4 y2 z2
																																			y	2						z	2
		9													4																		4)			2							2	1
										2
										2								0																9
	4) 4x										z							0																9						16

		x2										y2									z2
	1)	x2										y2									z2				1								1) z 3 1											y2
	1)																								1								1) z 3 1
		16											9							4																									4
18				x			2			z 1																						24	2) x2					3y2 z2 6z 0
18	2) 4																															24			x2					y2								2
	2) 4																																		x2					y2								2
	3) x					2			4x y2 z2 0																								3)										z						1
	3) x					2			4x y2 z2 0																								3)	16						9			z						1
	4) x2 4 y2 z2 0																																	16						9
	4) x2 4 y2 z2 0																																4) 4x2 y z2 0

Продолжение

			1) 5x2 y2 3z2 0
	1) x2 y (z 1)2 0								y2		z2
	2) 4 y2 2z2 1		2) x			1
25	2) 4 y2 2z2 1	28	2) x			1			4	9
	3) x2 3y2 z2 0								4	9
	3) x2 3y2 z2 0		3) x2 4x y 0
	4) x2 2 y2 z2 4 y 2 0		4)	x	2		y	2	z2	1
			4)						z2	1
			4			9

1) x2 4 y2 5z2 0
1) x2 4 y2 5z2 0																																	1) z									x 4 y2
2) x		2		4x y														2	z				2		3								1) z									x 4 y2
2) x				4x y															z						3											x2							y2
26 3) y							z																									29	2)			x2							y2				z2 1
							z																										2)														z2 1
				4																																9					2			4				2	4z	2	0
				4																																9					2			4				2		2
	x		2				y		2																								3)				2x							y
4)	x						y						z2							1													4) x2 6x 4z2 0
4)	4							9					z2							1													4) x2 6x 4z2 0
	4							9

1) z2 4 y 0
1) z2 4 y 0																																	1)z							x 9 y 2
										x			2																				1)z							x 9 y 2
2) y 2										x				z2 1																				2												2
2) y 2											9			z2 1																			x	2		4x y										2		0
27																																30	x			4x y												0
	x2					y2										z2
																																	3)x 2				6 y 2 3z 2 12
																																	3)x 2				6 y 2 3z 2 12
3)																				1
3)	1						4									16				1													4)x2				2 y 2 2x z 2 0
4) x2								4 y2 z2 4z 0
																							Примерный вариант
Даны уравнения.
				1)								x2									y2					z2				1,		4)	x2						y2						z,
				1)																										1,		4)													z,
													4						16					9									4					1
				2)									x2									y	2				z2			1,		5)			x2								y2					z.
				2)																										1,		5)																z.
													9						4					9												4								6
					3)										x2								y2					z2			1,
					3)																		1								1,
																	4						1						4

Выясните, какие поверхности описывают уравнения. Сделайте

Построим координатные сечения этой поверхности.

Сечение плоскостью YOZ

Сечение плоскостью XOZ

	х 0
	у2	z2
			1
			1
16		9

y 0
x2		z2
			1
			1
	4	9

Сечение плоскостью XOY	z 0
	x2		y2
	x2		y2
				1
				1
		4	16

Все сечения

2) x2 y2 z2 1– однополостный гиперболоид с центром в на-

9 4 9

чале координат. Построим координатные сечения этой поверхности и сечения, параллельные координатным.

Сечение плоскостью XOY

z 0
x2		y2
			1
			1
	9	4

Сечение плоскостью XOZ

y 0
x2		z2
			1
			1
	9	9

Сечение плоскостью YOZ

х 0
у2	z2
		1
		1
4	9

Сечение плоскостью z = 3, параллельной ХOY


	z 3
	x2	y2
			1
			1
	18	8

Сечение плоскостью z = –3, параллельной ХOY

z 3
x2	y2
		1

18	8

Все сечения

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 65 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
22.03.2015433.15 Кб66ч4.doc
#
22.03.2015374.78 Кб104ч7.doc
#
23.11.20191.35 Mб3Часть 1 БП.doc
#
14.08.2019188.93 Кб3Часть 2 компьютерные преступления.doc
#
23.11.20192.02 Mб13Часть 2 Ус.doc
#
22.03.20152.73 Mб11Часть 2.pdf
#
14.08.2019128.51 Кб1Часть 3 Вирусы.doc
#
23.11.20191.15 Mб10Часть 3 Ген.doc
#
23.11.20191.02 Mб4Часть 4 Нелин.doc
#
23.11.20192.02 Mб10Часть 5 ИЦУ.doc
#
23.11.2019501.25 Кб1Часть 6 Конв.doc