Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Часть 2

.pdf
Скачиваний:
11
Добавлен:
22.03.2015
Размер:
2.73 Mб
Скачать

Примерный вариант

Даны точки M1 3, 2, 7 , M2 4, 1, 2 ; векторы a1 2, 1,3 ,

a2 1, 2,1

; плоскости

1 : 5x 3y 2z 3 0, 2 : x 2 y 3z 6 0 ;

прямые. l

:

x 1

 

y 2

 

z 1

 

и l

 

: x 3t 1, y 2t 3, z 5t 1 .

 

 

 

2

1

5

3

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1. Составьте уравнения прямой, проходящей:

1)через точки M1, M2 ;

2)через точку M1 параллельно оси OY ;

3)через точку M 2 параллельно прямой l2 ;

4)через точку M1 параллельно прямой, образованной пересечением плоскостей 1, 2 ;

5)через точку M 2 перпендикулярно плоскости 1 .

2.

Найдите точку пересечения прямой l1

и плоскости 2 .

 

Решение.

 

 

 

 

 

 

1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1)

Прямую

в

пространстве можно

задать

уравнениями

x x0

 

y y0

 

z z0

или x mt x , y nt y , z pt z

 

, где

 

 

 

0

m

 

n

p

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

M x0 , y0 , z0 – точка, принадлежащая данной прямой, s m, n, p – направляющий вектор прямой - вектор, лежащий на данной прямой

или

 

на

 

прямой,

параллельной

данной.

Тогда

 

M1M2 x2

x1, y2

y1, z2 z1 4 3, 1 2, 2 7

7,1,5

направляющий

вектор,

прямая

 

задается

уравнениями:

 

x 3

 

y 2

 

z 7

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

5

направляющий вектор i 0,1,0 , тогда прямая

2)

 

На оси OY

задается уравнениями:

x 3

 

y 2

 

z 7

или

x 3, y t 2,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

1

0

 

 

 

 

z 7.

41

3) Прямая l2 параллельна искомой прямой, следовательно, их направляющие векторы совпадают. Тогда прямая задается уравне-

ниями:

 

x 4

 

y 1

 

 

z 2

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n1 5, 3, 2 ,

 

4)

Искомая

прямая

параллельна

 

векторам

n2 1, 2, 3 , где n1

– нормальный вектор плоскости

1 , n2

– нор-

мальный вектор плоскости

2 . Тогда векторное произведение этих

векторов – вектор, перпендикулярный искомой прямой.

 

 

 

 

 

i

j

k

 

 

3

2

 

5

2

 

 

 

5

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n n

5

3

2

 

i

j

 

k 5i 17 j 13k .

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

3

 

1

3

 

 

 

1

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 3

 

y 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда прямая задается уравнениями:

 

 

 

z 7

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

17

 

13

 

 

 

5)

Искомая прямая параллельна вектору n1 5, 3,2

– нор-

мальному вектору плоскости 1 . Тогда вектор n1 – направляющий

вектор

искомой

прямой,

прямая задается

уравнениями:

 

x 4

 

y 1

 

z 2

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

3

2

 

 

 

 

 

 

2.

 

Перепишем

уравнения

l1 в виде:

x 5t 1,

y 3t 2,

 

z t 1.

Координаты точки

пересечения

прямой

и

плоскости

удовлетворяют уравнениям прямой и уравнению плоскости. Подставим полученные выражения для x, y, z в уравнение плоскости

2 : x 2 y 3z 6 0 5t 1 2 3t 2 3 t 1 6 0 14t 6 0

t

3

x 5

3

1

22

, y 3

3

2

5

, z

3

1

10

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

7

 

7

 

7

7

 

7

 

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

22

,

5

 

 

 

10

 

Итак, точка пересечения имеет координаты:

 

 

 

 

,

 

 

.

 

 

 

 

 

 

7

 

7

 

 

 

7

 

42

2.4. Поверхности второго порядка

Задание 2.4.1.

Даны уравнения. Выясните, какие поверхности описывают уравнения. Сделайте чертеж.

Номер

Уравнения

Номер

Уравнения

варианта

варианта

 

 

 

 

 

 

1

2

3

4

 

1) 3x2 y2 4z2 1

 

1) z2 2x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2) x2 2x 6 y 55 0

7

2) 36x2 9 y2 4z2 36

3) x2 2 y2 z2 16

3) x2 4 y2 z2

 

 

 

 

 

 

 

4) x2 y2 2z2 0

 

4) 36x2 9 y2 4z2 36

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1) 9x2 4 y2 z2 1

 

1)2x 2 3y 2 4z 12 y 0

 

 

2)

x 2

 

y 2

z 2

 

 

0

2

2) 2x2 3y2 1

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

16

 

 

 

3) x2 2x y2 2z 1 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3)x 2 3z 2 9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4) x2 y2 z2 10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4)36(x 2)2

9 y 2

4z 2 36

 

1) x2 y2 z2 36

 

1) z2 2z y2 0

 

 

2) x2 y2 z2 0

3

2) 3y2 2z2 1

9

 

 

 

x

2

 

 

 

y

2

 

 

 

z

2

 

 

 

 

 

3) 36x2 38 y2 z2 2z 71

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3)

 

 

4

1

 

9

 

1

 

4) x2 4z2 y2 0

 

 

 

 

 

 

 

4) x2 2 y2

4z

2

 

8

 

1) 2x2 6 y

 

1) z y2 4 0

 

 

 

 

 

 

4

2) 2x2 3y2 z2 4x

10

2) x2

2 y2 z2 3 0

3) 2x2 y z2 0

3) 9x2 4 y2 z2 36

 

 

 

4) x2 y2 4z2 0

 

4) x2 2 y2 z2 0

 

 

 

1) x2 2x y2 z 0

 

1) x2 y2 3z2 6z 3 0

 

2)

x2

 

 

 

y2

 

z2 1

 

2) z2 y 4 0

 

 

 

 

 

 

5

11

4

 

 

 

 

 

 

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3) 4x2 y2 z2 16

3) 9x

2 y2

z2

0

 

4) x2 y2 z2 27

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4) y

1

x2

 

 

 

z2

 

 

 

 

4

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1) x2 3y2 z2 0

 

1) x2 y2 9z2 2x 0

6

2) x2 y2 z2 10x 2 y 1 0

12

2) z2 2x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3) 2x y2 4z2 0

3) x2 3y2 (z 2)2 0

 

4) 2 y2 z2 1

 

4) x2 2 y2 4z2 16

Продолжение

43

1

2

3

4

 

1) x y2 4 y 4z2 4

 

 

1)

 

 

y2

 

z2 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2) y

2

 

 

4z

2

16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2) x2

 

6x y z2 0

13

3)

 

 

(x 1)2

 

 

( y 1)2

 

z2

1

19

3) 9x2 y2 10z2 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

21

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

24

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

2

 

 

4) 4x

 

 

y

 

 

z

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4) z

 

 

1

 

 

4 y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1) x

2

 

 

4z

2

 

16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1) y

 

 

 

 

x2 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2) 3x2 12 y2 24 y 4z2 0

 

2)

 

 

 

 

z2 1

14

20

 

 

 

 

 

 

 

 

3) x2

 

2 y2 z 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16 9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4) 9x2 y2 3z2 27

 

 

3) 16x2

y2

 

z2 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4) x2 3y2 z2 6z2 0

 

1) (x 1)2 y2 4z2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1) x

 

 

 

z2 y2

 

 

 

 

 

 

2)

 

 

x2

 

 

 

z2

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2) x2 4x y2 z2 0

15

4

 

 

 

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

21

3) y2 4z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3) x

2

 

4x y

2

8z

2

4

 

 

 

 

 

 

x

2

 

 

 

 

 

y

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4)

 

 

 

 

 

 

 

z2 1

 

4) 2x2 y z2 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16

 

 

 

 

 

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1) x2 2 y2 4 y z2 0

 

 

1) 4x2 y2 4 y z2 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2) y x2 z2

 

 

 

 

 

x

2

 

 

 

 

 

 

y

2

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

z2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

22

3)

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

16

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3) x2 16 y2 z2 0

 

 

 

4 9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

y2

 

 

 

 

z2

 

 

 

 

 

 

4) y 4 x2 3z2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4)

 

 

4

 

 

9

 

 

4 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1) x2 4 y 16z2 0

 

1) x

 

 

 

z 4 y2

 

 

 

 

 

 

 

 

2) x

2

 

 

y

2

4 y z

2

 

0

 

 

2) 4x2 y2 4 y z2 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

17

3)

 

 

x2

 

 

 

 

y2

z2 1

 

 

 

 

23

3) x 4 y2 z2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

2

 

 

 

 

 

 

z

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

4)

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4) 4x

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

y2

 

 

 

 

 

z2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1)

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1) z 3 1

y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16

 

 

 

 

 

 

9

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

18

 

 

 

x

2

 

 

z 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

24

2) x2

 

3y2 z2 6z 0

2) 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

y2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3) x

2

 

 

4x y2 z2 0

 

 

3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

16

 

 

9

 

 

 

 

 

 

4) x2 4 y2 z2 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4) 4x2 y z2 0

 

 

Продолжение

44

1

2

3

4

 

 

 

1) 5x2 y2 3z2 0

 

1) x2 y (z 1)2 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y2

 

z2

 

2) 4 y2 2z2 1

 

2) x

1

 

 

 

 

 

25

28

4

9

 

3) x2 3y2 z2 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3) x2 4x y 0

 

 

 

 

4) x2 2 y2 z2 4 y 2 0

 

4)

x

2

 

y

2

 

z2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

9

 

 

 

 

 

 

1) x2 4 y2 5z2 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1) z

 

 

 

 

x 4 y2

 

 

2) x

2

 

 

4x y

2

z

2

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

y2

 

 

 

 

 

 

 

26 3) y

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

29

2)

 

 

 

 

z2 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

 

 

 

 

2

 

4

 

 

 

2

4z

2

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

 

 

 

 

 

y

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3)

2x

 

 

 

 

y

 

 

4)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z2

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4) x2 6x 4z2 0

4

 

 

 

 

 

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1) z2 4 y 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1)z

 

 

x 9 y 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2) y 2

 

 

 

z2 1

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

 

 

 

 

x

4x y

0

 

 

27

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

30

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

y2

 

 

z2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3)x 2

6 y 2 3z 2 12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

4

 

16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4)x2

2 y 2 2x z 2 0

4) x2

4 y2 z2 4z 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Примерный вариант

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Даны уравнения.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1)

 

 

 

 

x2

 

 

y2

 

 

z2

 

1,

4)

x2

 

y2

 

z,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

16

 

9

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2)

 

 

 

 

x2

 

 

y

2

 

 

z2

 

1,

5)

x2

 

 

 

y2

 

z.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

 

 

 

4

 

9

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3)

x2

 

 

 

y2

 

z2

1,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выясните, какие поверхности описывают уравнения. Сделайте

чертеж.

 

 

 

 

 

Решение.

 

 

 

1)

x2

 

y2

 

z2

1 – эллипсоид с центром в начале координат.

 

 

 

4

16

9

 

Построим координатные сечения этой поверхности.

45

Сечение плоскостью YOZ

Сечение плоскостью XOZ

 

х 0

 

 

 

у2

 

z2

 

 

 

 

1

 

 

16

 

9

 

 

 

 

 

 

y 0

 

 

x2

z2

 

 

 

 

1

 

 

 

4

 

9

 

 

 

 

 

 

46

Сечение плоскостью XOY

 

z 0

 

 

 

 

x2

y2

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

4

 

16

 

 

 

 

 

 

 

 

Все сечения

47

2) x2 y2 z2 1– однополостный гиперболоид с центром в на-

9 4 9

чале координат. Построим координатные сечения этой поверхности и сечения, параллельные координатным.

Сечение плоскостью XOY

z 0

 

 

x2

y2

 

 

 

 

1

 

 

 

9

 

4

 

 

 

 

 

 

Сечение плоскостью XOZ

y 0

 

 

x2

z2

 

 

 

 

1

 

 

 

9

 

9

 

 

 

 

 

 

48

Сечение плоскостью YOZ

 

х 0

 

 

 

у2

z2

 

 

 

 

1

 

 

 

4

 

9

 

 

 

 

 

 

Сечение плоскостью z = 3, параллельной ХOY

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z 3

 

 

 

 

x2

 

y2

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

18

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

49

Сечение плоскостью z = –3, параллельной ХOY

z 3

x2

 

y2

 

 

 

 

1

 

 

18

 

8

 

 

 

 

 

 

Все сечения

50