Часть 2

на оси OY , центр симметрии находится в точке С(0; -3) (рис. 2б). 3) 5x2 4 y2 10x 15 0.

Выделяя полные квадраты, получим:

5(x2 2x) 4 y2 15 0,

5(x2 2x 1) 5 4 y2 15 0, 5(x 1)2 4 y2 20,

y2 1 – это уравнение гиперболы, центр симметрии

5

находится в точке C(-1; 0), фокусы лежат на оси ОX

Рис. 2

31

4) y2 2x 4 y 2 0.

Выделяя полные квадраты, получим:

( y2 4 y) 2x 2 0,

( y2 4 y 4) 4 2x 2 0, ( y 2)2 2x 2 0,

( y 2)2 2(x 1) – это уравнение параболы, вершина которой находится в точке С(-1; -2), ось симметрии – параллельна ОX (рис. 2г).

2.3. Плоскость и прямая в пространстве

Задание 2.3.1.

Даны точки M1, M2 ; векторы a1, a2 ; плоскости 1, 2 (см. таблицу).

1. Составить уравнение плоскости:

1) проходящей через точку M1 параллельно плоскости 1 ;

2) проходящей через точку M 2 перпендикулярно прямой

M1M2 ;

3)проходящей через точку M 2 параллельно векторам a1, a2 ;

4)проходящей через точку M1 параллельно плоскости XOZ ;

5)проходящей через ось OZ и точку M 2 ;

6)проходящей через точки M1, M2 параллельно оси OZ ;

7)проходящей через точки M1, M2 параллельно вектору a2 ;

8)проходящей через точки M1, M2 перпендикулярно плоскости

2 ;

9)проходящей через точку M1 перпендикулярно плоскостям

1, 2 .

2. Вычислить расстояние от точки M 2 до плоскости 2 .

32

34

Примерный вариант

Даны точки M1 3, 2, 7 , M2 4, 1, 2 ; векторы a1 2, 1,3 , a2 1, 2,1 ; плоскости 1 : 5x 3y 2z 3 0, 2 : x 2 y 3z 6 0 .

1. Составить уравнение плоскости:

1) проходящей через точку M1 параллельно плоскости 1 ;

2) проходящей через точку M 2 перпендикулярно прямой

M1M2 ;

3)проходящей через точку M 2 параллельно векторам a1, a2 ;

4)проходящей через точку M1 параллельно плоскости XOZ ;

5)проходящей через ось OZ и точку M 2 ;

6)проходящей через точки M1, M2 параллельно оси OZ ;

7)проходящей через точки M1, M2 параллельно вектору a2 ;

8)проходящей через точки M1, M2 перпендикулярно плоскости

2 ;

9)проходящей через точку M1 перпендикулярно плоскостям

1, 2 .

2. Вычислить расстояние от точки M 2 до плоскости 2 .

Решение.

I.

1) Уравнение плоскости, проходящей через точку M x0 , y0 , z0 перпендикулярно вектору n A, B,C имеет вид: A x x0B y y0 C z z0 0 . Нормальный вектор плоскости 1 явля-

ется нормальным вектором искомой плоскости, так как эти плоскости параллельны, тогда уравнение искомой плоскости имеет вид:

5 x 3 3 y 2 2 z 7 0 5x 3y 2z 7 0.

2) Вектор M1M2 x2 x1, y2 y1, z2 z1 является нормальным вектором искомой плоскости. Тогда уравнение плоскости, проходящей через точку M 2 перпендикулярно прямой M1M2 , имеет

35

вид: 4 3 x 4 1 2 y 1 2 7 z 2 0

7x y 5z 17 0;

3)По определению векторного произведения вектор

перпендикулярен искомой плоскости, тогда уравнение плоскости, проходящей через точку M 2 параллельно векторам a1, a2 имеет вид: 7 x 4 1 y 1 5 z 2 0 5x y 5z 17 0.

4) Плоскость XOZ имеет нормальный вектор n 0,1,0 , который является нормальным вектором и для искомой плоскости. То-

координаты удовлетворяют данному уравнению. Подставим в это

плоскости, поэтому их векторное произведение – вектор, перпендикулярный этой плоскости.

36

Тогда уравнение плоскости, проходящей через точки M1, M2

лельны искомой плоскости, поэтому их векторное произведение – вектор, перпендикулярный этой плоскости.

37

1, n2 – нормальный вектор плоскости 2 . Тогда векторное произведение этих векторов – вектор, перпендикулярный искомой плоскости.