Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Часть 2

.pdf
Скачиваний:
11
Добавлен:
22.03.2015
Размер:
2.73 Mб
Скачать

 

2

 

 

4

 

 

0

 

 

 

1

 

 

2

 

 

 

m

 

 

;

 

 

;

 

 

 

=

 

 

 

;

 

 

 

; 0

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 5 2 5 2 5

 

 

5 5

 

 

 

3)C(8; 0; 0),

D(1; 0; 2) CD (1 8;0 0; 2 0) ( 7; 0 ;

2) ;

AB (2; 4; 0).

 

 

 

 

Скалярное

произведение

векторов

a (xa ; ya ; za )

и

b (xb ; yb ; zb )

находится по формуле: a b xa xb ya yb za zb.

Тогда AB CD 2 ( 7) 4 0 0 ( 2) 14 .

4) B в треугольнике ABC - это угол между векторами BA и

BC .

AB (2; 4; 0) BA ( 2; 4;0) .

B(2; 4; 2), C(8; 0; 0) BC = (8 2; 0 ( 4); 0 2) (6; 4; 2).

Угол между векторами a (xa ; ya ; za ) и b (xb ; yb ; zb ) находит-

ся по формуле

cos(aˆ; b )

 

xa xb ya

yb za zb

 

.

Тогда cos B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

y2

z2

x2

y2

z2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

a

 

 

a

 

 

 

b

 

b

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 6 ( 4) 4 0 ( 2)

 

 

 

 

 

12

16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

28

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( 2)2 ( 4)2 02 62 42 ( 2)2

 

 

20 56

 

 

4 70

 

 

10

 

 

0,7 .

5)C(8; 0; 0), D(1; 2; 2) CD (1 8; 0 0; 2 0) ( 7; 0; 2);

AB (2; 4; 0);

n AB CD = (2 ( 7); 4 2; 0 ( 2)) (9; 4; 2).

n 92 42 22 121 11.

6)B(2; 4; 2), D(1; 0; 2) BD = (1 2; 0 ( 4); 2 2)

( 1; 4; 4);

BC = (6; 4; 2);

 

2BC = (2 6; 2 4; 2 ( 2)) (12; 8; 4).

 

 

 

 

p 2BC BD =(12 ( 1); 8 4; 4 ( 4)) (11;12; 8);

 

 

 

 

AB = (2; 4; 0).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пр

 

AB

p

AB

 

,

тогда Пр

 

AB

11 2 12 4

( 8)

0

 

 

72

 

.

p

 

 

 

p

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

112 122

 

329

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( 8)2

 

 

21

7) Векторное

 

произведение

векторов

 

 

a (xa ; ya ; za ) и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

j

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b (xb ; yb ; zb ) находится по формуле: a b

x

a

y

a

z

a

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xb

yb

zb

 

 

BC = (6; 4; 2),

BD = ( 1; 4; 4),

тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

j

k

 

4

2

 

6

2

 

 

 

6 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

BC BD

6

4 2

i

j

 

k

 

 

1

4

4

 

4

4

 

1

4

 

 

 

1 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i ( 16 8) j ( 24 2) k (24 4) 8i 26 j 28k ( 8;26; 28).

8) Площадь треугольника BCD равна половине длины векторно-

го произведения векторов BC и BD (по свойствам векторного произведения).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

BC BD = ( 8; 26; 28)

S BCD

 

( 8)2 262 282

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

(ед2).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1524

381

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9) Смешанное произведение векторов a (xa ; ya ; za ) ,

b (xb ; yb ; zb ) ,

c (xc ; yc ; zc ) находится по формуле:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xa

ya

za

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a b c

xb

yb

zb

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xc

yc

zc

 

 

 

AB = (2; 4; 0);

 

A(0; 6; 2), C(8; 0; 0)

 

 

 

 

 

AC = (8 0; 0 ( 6); 0 2) (8; 6; 2);

 

 

 

 

 

A(0; 6; 2), D(1; 0; 2) AD =(1 0; 0 ( 6); 2 2) (1; 6; 4).

 

 

 

 

 

 

 

4

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

AB AC AD

8 6

2

2 6 ( 4) 8 6 0 4 ( 2) 1

 

 

 

 

 

 

 

1

6

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1 6 0 8 4 ( 4) 6 ( 2) 2) 48 8 ( 128 24) 76.

10) Модуль смешанного произведения векторов численно равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах (по свой-

22

ствам смешанного произведения). Объем пирамиды равен 16 объе-

ма параллелепипеда.

 

V

 

 

 

 

 

1

 

 

AB AC AD

 

 

1

 

 

76

 

 

 

76

 

38

12

2

(ед3).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

пир. ABCD

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

3

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

0

1

 

;

 

2

 

;0 ; 3)

AB CD 14;

 

Ответ: 1)

AB

5 ;

2)

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11;

 

5

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

72

 

 

 

 

 

 

 

 

4) cos B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

AB

 

 

 

 

 

 

 

 

0,7;

 

 

5)

 

6)

Пр

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

329

 

 

 

 

 

7) BC BD ( 8; 26; 28);

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8) S BCD

381 (ед2);

 

 

 

 

 

 

 

 

9) AB AC AD 76; 10)

V

 

 

 

 

12

2

 

(ед3).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

пир. ABCD

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 1.3.2. Даны векторы

a1 , a2 , a3 ,

b . Показать, что век-

торы a1 ,

a2 ,

 

a3 образуют базис трехмерного пространства и най-

ти координаты вектора b

 

в этом базисе.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Номер

 

 

Координаты

 

 

Координаты

 

 

 

 

Координаты

 

Координаты

 

 

варианта

 

 

вектора a1

 

 

 

вектора a2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ветора a3

 

вектора b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

(1; 2; 3)

 

 

 

(-1; 3; 5)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3; 0; 7)

 

 

(-2;2;6)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

(2; -3; 0)

 

 

 

(7; 0; 2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(4;1; 3)

 

 

(5; -2; 2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

(-1; 3; -2)

 

 

(0; 5; 0)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1; 6; 2)

 

 

(-2; 0; 3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

(3; 5; 1)

 

 

 

(2; 3; 4)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(7; 5; 2)

 

 

(-1; 3; 3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

(3; -1; 2)

 

 

 

(5; 0; 4)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(6; 1; 2)

 

 

(0; 2; 5)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

(0; 2; 3)

 

 

 

(3; 1; 7)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1; 2; 5)

 

 

(-1; 0; 4)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

(-2; 3; 1)

 

 

 

(0; 5; 2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(-1; 6; 0)

 

 

(-3; 4; 5)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

 

 

 

(1; 0; 5)

 

 

 

(3; 2; 7)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(-2; 4; 5)

 

 

(0; 2; 8)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

 

 

 

 

(-5; 0; 1)

 

 

 

(3; -3; 0)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(4; 1; 1)

 

 

(2; -2; 3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10

 

 

 

 

(2; -1; 3)

 

 

 

(7; 0; 1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(-3; 2; 0)

 

 

(5; -3; 4)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Продолжение

23

1

2

3

4

5

 

 

 

 

 

11

(1; 0; -1)

(2; -1; 3)

(0; -1; -2)

(1; -2; 3)

 

 

 

 

 

12

(2; -3; 4)

(0; 1; 3)

(5; -1; 1)

(0; -3; 0)

 

 

 

 

 

13

(4; 0; 1)

(3; -1; 0)

(2; -2; 1)

(0; -1; 5)

 

 

 

 

 

14

( 1; 2; 3)

(-1; 3; 4)

(5; 0; 3)

(2; -1; 4)

 

 

 

 

 

15

(1; 0; 3)

(-2; 1; 5)

(3; 2; 6)

(-1; 3; 3)

 

 

 

 

 

16

(0; -1; 4)

(3; 2; 7)

(2; -5; 4)

(1; 2; 5)

 

 

 

 

 

17

(3; 0; -1)

(6; 2; -3)

(4; -1; -5)

(2; 2; -2)

 

 

 

 

 

18

(0; 1; -2)

(2; 4; -3)

(1; 3; -2)

(3; -1; -4)

 

 

 

 

 

19

(-3; 5; 1)

(-1; 7; 6)

(0; 4; 3)

(-2; 1; -1)

 

 

 

 

 

20

(4; -1; -1)

(7; 0; 3)

(5; -2; 0)

(1; -3; -5)

 

 

 

 

 

21

(2; -1; -3)

(4; 0; 2)

(-1; 2; -3)

(5; 1; 0)

 

 

 

 

 

22

(3; -1; 2)

(5; 1; 3)

(0; 2; 6)

(7; -1; -2)

 

 

 

 

 

23

(1; 2; 2)

(-1; 4; 7)

(3; 0; 3)

(-2; 2; 5)

 

 

 

 

 

24

(-2; 0; -1)

(0; 3; 1)

(-4; 2; 0)

(1; 3; -5)

 

 

 

 

 

25

(1; -1; 0)

(-2; 3; 1)

(3; -2; 2)

(5; -3; -2)

 

 

 

 

 

26

(-3; 0; -1)

(2; -4; -3)

(0; 5; -5)

(-6; 3; 2)

 

 

 

 

 

27

(1; -3; 2)

(-2; 0; 4)

(5; -2; 3)

(-1; -4; 4)

 

 

 

 

 

28

(5; 0; -1)

(2; -3; 3)

(6; 2; -3)

(4; -2; 2)

 

 

 

 

 

29

(-2; 3; 4)

(0; -1; 5)

(-3; 2; 2)

(-4; 0; 6)

 

 

 

 

 

30

(3; 1; -2)

(1; 2; -5)

(4; 3; -2)

(2; -3; -1)

 

 

 

 

 

Примерный вариант

Даны векторы a1 (1;2; 1) , a2 (1;1;2) , a3 (2;1;3), b (3;6;1) .

Показать, что векторы a1 , a2 , a3 образуют базис трехмерного пространства и найти координаты вектора b в этом базисе.

Решение.

Вычислим определитель, составленный из координат векторов

a1 , a2 , a3.

24

 

2

1

 

 

 

1 2

 

 

 

1 2

 

 

 

1 1

 

 

 

 

 

 

1

1

 

 

2

 

 

1

 

 

1 1 2 ( 1) 1 ( 1) 4

 

 

 

 

 

 

1 1

2

 

 

 

 

 

 

 

2

1

3

 

 

 

1

 

3

 

 

 

2

3

 

 

 

2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Так как 0 ,

то векторы

a1 ,

a2 ,

a3

некомпланарны и, следо-

вательно, образуют базис.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Разложим вектор b

по базису b x a1

y a2

z a3 , где x, y, z –

искомые координаты вектора b

в базисе

a1 ,

a2 ,

a3 . Записав коор-

динаты векторов

a1 ,

a2 , a3 ,

b

в столбцы, представим разложение

вектора b

в виде:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

1

 

 

1

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

x

2

y

1

z

1

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

Приравняв координаты векторов, стоящих в правой и левой частях равенства, получаем систему линейных уравнений относитель-

но x, y, z:

x y 2z 3,2x y z 6,

x 2 y 3z 1.

Решаем систему уравнений, например, методом Гаусса. Запишем расширенную матрицу системы и применим к ней элементарные преобразования:

1

 

 

( 2)(1)

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1

2

3

 

1

2

3

 

 

1

2

3

 

 

2

1

1

6

 

~

 

0

1

3

0

 

(3)

~

 

0

1

3

0

 

: ( 1) ~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

3

1

 

 

 

0 3

5

4

 

 

 

 

0 0

4

4

 

: ( 4)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

25

1 1

2

 

3

 

 

1

1

0

 

5

 

1

0

0

 

2

 

 

 

 

 

 

~

0

1

3

 

0

 

~

 

0

1

0

 

3

( 1)

~

0

1

0

 

3

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

1

 

1

( 3)( 2)

 

0

0

1

 

1

 

 

0

0

1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Итак, x = 2, y = 3,

z = -1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Следовательно, b 2 a1

3 a2

a3 или b (2; 3; 1).

 

2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

2.1. Прямая на плоскости

Задание 2.1.1. Даны координаты вершин треугольника A, B, C. Найдите: 1) уравнение стороны АB; 2) уравнение медианы АE; 3) уравнение и длину высоты CD; 4) уравнение прямой CN, параллельной AB.

Номер

Координаты

Координаты

Координаты

варианта

точки A

точки B

точки C

 

 

 

 

 

1

2

3

4

 

 

 

 

 

1

(7; 1)

(-5; -4)

(-9; -1)

 

 

 

 

 

2

(4; 11)

(-1; -1)

(7;

5)

 

 

 

 

3

(-10; 5)

(14; -2)

(-4; 22)

 

 

 

 

4

(1; 5)

(13; 0)

(19; 8)

 

 

 

 

5

(-20; 1)

(4; -6)

(-14; 18)

 

 

 

 

 

6

(3; 13)

(-2; 1)

(6;

7)

 

 

 

 

7

(6; 5)

(-6; 0)

(-10; 3)

 

 

 

 

8

(7; 11)

(2; -1)

(10; 5)

 

 

 

 

9

(-13; 5)

(11; -2)

(-7; 22)

 

 

 

 

 

10

(-1; 7)

(11; 2)

(17;

10)

 

 

 

 

11

(-15; -7)

(9; -14)

(-9; 10)

 

 

 

 

 

12

(6; 13)

(1;1)

(9;

7)

 

 

 

 

13

(8; 0)

(-4; -5)

(-8; -2)

 

 

 

 

 

26

Продолжение

1

2

3

4

 

 

 

 

 

 

14

(4; 14)

(-1; 2)

(7;

8)

 

 

 

 

15

(-13; -5)

(11; -12)

(-7; 12)

 

 

 

 

16

(0; 5)

(12; 0)

(18; 8)

 

 

 

 

17

(-8; 4)

(16; -3)

(-2; 21)

 

 

 

 

 

18

(6; 10)

(1; -2)

(9;

4)

 

 

 

 

19

(6; 1)

(-6; -4)

(-10; -1)

 

 

 

 

 

20

(4; 13)

(-1; 1)

(7;

7)

 

 

 

 

 

21

(5; 3)

(29; -4)

(11;

20)

 

 

 

 

22

(-1; 5)

(11; 0)

(17; 8)

 

 

 

 

23

(-10; 12)

(14; 5)

(-4; 29)

 

 

 

 

 

24

(6; 11)

(1; -1)

(9;

5)

 

 

 

 

25

(10; -1)

(-2; -6)

(-6; -3)

 

 

 

 

 

26

(4; 10)

(-1; -2)

(7;

4)

 

 

 

 

27

(-20; 4)

(4; -3)

(-14; 21)

 

 

 

 

28

(-2; 6)

(10; 1)

(16; 9)

 

 

 

 

29

(-10; 10)

(14; 3)

(-4; 27)

 

 

 

 

 

30

(6; 14)

(1; 2)

(9;

8)

 

 

 

 

 

Примерный вариант

 

 

 

 

Даны координаты

вершин

треугольника:

A (–6; –2),

B (–3; 2), C (– 8; 4).

 

 

 

 

 

 

 

Найдите: 1) уравнение стороны АB; 2) уравнение медианы АE;

3) уравнение и длину высоты CD; 4)

уравнение прямой CN, парал-

лельной AB.

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

 

 

 

 

 

 

 

1) Найдем уравнение стороны АВ по формуле

x x1

 

 

y y1

,

 

 

 

 

 

 

x 2 x1 y 2 y1

учитывая, что A (– 6; – 2),

B (– 3; 2):

 

 

 

 

 

 

27

x ( 6)

=

y ( 2)

 

x 6

 

y 2

4 x – 3 y + 18 = 0.

3 ( 6)

2 ( 2)

 

 

 

3

4

 

2)Точка E – середина отрезка BC

(рис. 1). Найдем координаты точки E по

B

координатам B (– 3;

 

2) и C (– 8;

4):

 

xE

xB xC

= 3 ( 8) =

11

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

D

yE

yB yC

 

=

2 4

= 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

11

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

E

 

 

 

; 3

.

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Найдем уравнение медианы AE по формуле

N

E

С

Рис. 1

 

 

 

x x1

 

y y1

,

x 2 x1

y 2 y1

 

 

 

11

 

 

учитывая, что A (– 6; – 2),

E

 

 

; 3

:

 

 

 

 

 

2

 

 

 

x 6

 

 

y 2

 

 

x 6

 

y 2

 

 

10 x y + 58 = 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11

6

3 2

 

1

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3)

Так как CD – высота, то CD АB nCD AB

.

 

 

Найдем координаты

 

 

 

 

 

 

по

координатам

A (–

6; –

2) и

 

 

АВ

B (– 3;

2):

 

 

3 6 ;

 

2 2 3; 4 .

 

 

 

 

 

АВ

 

 

 

 

 

Найдем

 

 

 

уравнение

 

 

 

высоты

 

CD

по

формуле

A (x x0) + B (y y0) = 0,

 

учитывая, что C (– 8;

4),

 

nCD 3; 4 :

3 (x – (- 8)) + 4 (y – 4) = 0

 

3 x + 4 y + 8 = 0.

 

 

 

 

 

Длину высоты CD найдем по формуле расстояния от точки до

прямой

d

 

 

Ax0 By0 C

 

,

 

учитывая, что

C (–8; 4),

(АB)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A2 B2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 x – 3 y + 18 = 0:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

 

 

4 8 3 4 18

 

 

 

 

 

 

 

26

 

 

 

26

5,2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

42 3 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

25

5

 

 

 

 

 

 

28

Таким образом |CD| = 5,2 (ед).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4) Так как прямая CN // АB,

то

 

S

CN AB

.

 

 

 

 

Найдем

уравнение

прямой

CN по

формуле

x x 0

 

y y 0

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

n

учитывая, что C (– 8; 4),

 

CN 3; 4 :

 

 

 

 

 

 

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

x 8

 

y 4

4x – 3 y + 44 = 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:

1) (АB):

4 x – 3 y + 18 = 0;

2)

(AE): 10 x y + 58 = 0;

3) (CD): 3 x + 4 y + 8 = 0, |CD| = 5,2

(ед);

4)

(CN): 4x – 3 y + 44 = 0.

2.2. Кривые второго порядка

Задание 2.2.1.

Даны уравнения. Выяснить, какие кривые описывают уравнения. Сделать чертеж.

Номер

Уравнения

Номер

Уравнения

варианта

варианта

 

 

 

 

 

 

1

2

3

4

 

 

 

 

1

x2 y2 2x 4 y 1 0

12

y2 2x 4y 14 0

 

 

 

 

2

4x2 9y2 16x 18y 11 0

13

x2 6x 2 y 7 0

 

 

 

 

3

4x2 9y2 16x 18y 29 0

14

y2 2x 6 y 7 0

 

 

 

 

4

x2 2x 8y 1 0

15

9x2 4 y2 36x 8y 68 0

 

 

 

 

5

y2 6x 6 y 9 0

16

9x2 4 y2 18x 16 y 29 0

 

 

 

 

6

x2 4 y2 2x 5 0

17

4x2 9y2 8x 36y 68 0

 

 

 

 

7

x2 4 y2 16 y 0

18

x2 y2 4x 2y 1 0

 

 

 

 

8

x2 4 y2 6x 7 0

19

y2 8x 2 y 1 0

 

 

 

 

9

x2 4 y2 16 y 32 0

20

x2 6x 6 y 9 0

 

 

 

 

10

x2 y2 6x 10y 33 0

21

x2 y2 10x 6y 33 0

 

 

 

 

11

x2 y2 2x 4y 7 0

22

4x2 y2 6 y 7 0

29

 

 

 

Продолжение

 

 

 

 

1

2

3

4

 

 

 

 

23

4x2 y2 16x 0

27

4x2 y2 16x 32 0

 

 

 

 

24

4x2 y2 2 y 5 0

28

y2 2x 6 y 7 0

 

 

 

 

25

x2 4x 2 y 14 0

29

x2 8x 6 y 16 0

 

 

 

 

26

x2 y2 4x 2y 7 0

30

4x2 y2 16x 2y 21 0

 

 

 

 

Примерный вариант

Выясните какие кривые описывают данные уравнения, сделайте чертеж.

1)x2 y2 8x 2y 8 0;

2)4x2 y2 6 y 7 0;

3)5x2 4 y2 10x 15 0;

4)y2 2x 4 y 2 0.

Решение.

1) x2 y2 8x 2y 8 0 .

Выделяя полные квадраты, получим:

(x2 8x) ( y2 2 y) 8 0;

(x2 8x 16) ( y2 2y 1) 16 1 8 0,

(x 4)2 ( y 1)2 25 – это уравнение окружности с центром С(4; -1) и радиусом R = 5 (см. рис. 2а).

2) 4x2 y2 6 y 7 0 .

Выделяя полные квадраты, получим:

4x2 ( y2 6 y) 7 0,

4x2 ( y2 6 y 9) 9 7 0, 4x2 ( y 3)2 16,

30

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]