Часть 2

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Череповецкий Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Найти ранг матрицы:

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

22.03.2015

Размер:

2.73 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 62 3 4 5 6 > Следующая >>>

Примерный вариант

Решение.

Последовательно осуществляем линейные преобразования строк данной матрицы для приведения ее к ступенчатому виду.

1) Переставим в данной матрице первую и вторую строки.

2) Умножим на 2 первую строку и прибавим ее к третьей, полу-

	2	4	1	5	3
чим:	0	1	3	0	2
						.
	0	3	9	0	6

3) Умножим на (-3) вторую строку и прибавим ее к третьей, по-

Таким образом, получили матрицу ступенчатого вида, эквивалентную заданной. Очевидно, что все миноры третьего порядка равны нулю. Легко указать минор второго порядка, не равный нулю. Следовательно, ранг равен 2: rang = 2.

1.2 Системы линейных уравнений

Задание 1.2.1. Решить систему уравнений тремя способами:

1)методом Гаусса;

2)методом Крамера;

3)матричным методом.

Номер

Система уравнений

Номер

Система уравнений

варианта

2x 3y z 17

3x y 4z 0

y 3z 2

2x 4 y 3z 10

2z 16

6x y 2z

2x 2 y z 11

3x 2 y 3z 0

2 y 3z 7

3z 1

6x 5y z

2x 3y 4z 3

x y 2z 2

2x 2 y 3z 1

7z 22

x 5y 2z

10z 11

2x y 7z

2x 4 y 9z 28

2x y 2z 9

6z 1

9 y

9z 5

4x 2 y 3z 4

2x y z 6

2x 3y z 3

3y 2z 2

4z 8

2x y

2x 2 y z

3x 2 y 5z 6

4x 2x x 1

5x 2 y 2z 3

3x y 4z

2x x

3x 3

x 3y 5z 5

x 2 y 3z 6

3x 7 y z 3

z 3

2 y

2z 0

2x y

3x 4 y z 2

3x y

4z 3

x y 2z 3

5x 3y z 4

3z 9

2x y

2x 5y 2z 11

2 y

x 2 y

x 2 y 3z 6

4x y 2z 9

4z 20

2 y

5z 6

x 2 y 3z 1

2x 3x 11x 7

2x 5y 4z 1

5x3

4z 2

2x x

3x 1

2x 3y 4z 20

x 2 y 3z 7

x 5y 2z 16

2x y 2z

4 y

3z 21

4x 3y 2z 8

								Продолжение

1			2			3		4

		2x 3y 4z 7					5x 3y 4z 3
23			2 y 3z 5			27
23		x	2 y 3z 5			27	3x y 6z 1
		2x y 2z 7					2x 2 y 5z 7

	3x1 4x2 x3 1						2x y z 8
			5x2	3x3 1				5z 6
24	3x1		5x2	3x3 1		28	x 3y	5z 6
	6x		8x	x 3			3x y	7z 4
		1	2		3
		3x 2 y z 1					4x 3y z 2
25			y 2z 2			29
25		x	y 2z 2			29	x 2 y 2z 6
		2x 2 y			5z 3		3x y	2z 1

		3x 2 y 4z 15					2x 2 y 3z 1
26						30
26		4x 3y 5z 5				30	x 2 y 7
		x 6 y			3z 3		3x 2 y 8z 11

Примерный вариант

3x 2 y z 2,

Решить систему уравнений 2x y 2z 2,

4x 3y z 1.

Решение.

1)Метод Гаусса.

Расширенная матрица этой системы имеет вид:

	2
Умножим элементы первой строки этой матрицы на		и
	3

прибавим к соответствующим элементам второй строки. Аналогич-

	4
но, умножим элементы первой строки на		и прибавим к соот-
	3

ветствующим элементам третьей строки. В результате получим матрицу:



3	2			1			2
			7		4		10
0			7		4		10		.
0			3		3			3	.
			3		3			3
		1				7		5
0		1				7		5
0	3					3		3
	3					3		3

	Теперь умножим элементы второй строки полученной матрицы
на		1		и прибавим к соответствующим элементам третьей строки.
на	7			и прибавим к соответствующим элементам третьей строки.
	7


							3		2						1						2
											7				4						10
Имеем											7				4						10
							0				3				3							3	.
															15						15
							0		0						15						15
							0		0							7						7
																7						7
	Таким образом, получаем систему:

			3x 2 y z										2,
			3x 2 y z										2,
			7					4						10					откуда z = 1, y = 2, x = -1.
					y					z						,
			3		y			3		z				3		,
			3					3						3
						15		z				15

							7					7
							7					7
	Ответ: 1; 2; 1 .
	2) Метод Крамера.
		Вычислим определитель матрицы системы, разложив его по
элементам первой строки:
												2						1
										3		2						1
						∆ =				2			1					2		= 3(1 – 6) − 2(−2 − 8) + 1(6 + 4) =15.
										4		3					1

Так как ∆ = 15 ≠ 0, то данная система имеет единственное решение. Вычислим определители x , y , z :

	2		2	1
x		2	1	2		= 2(1 − 6) – 2(2 − 2) + 1(−6 + 1) = −10 − 5 = −15,
	1		3	1
			2	1
		3	2	1
y		2	2	2	= 3(2 − 2) − 2(−2 − 8) + 1(2 + 8) = 20 + 10 =30,
		4	1	1

		3		2	2
z		2	1		2	= 3(−1 + 6) − 2(2 + 8) + 2 (6 + 4) = 15 − 20 + 20 = 15.
		4		3	1
Найдем решение по формулам Крамера:
х =	х =			15 1,			y =	у		30	2,	z = z	15	1.

													15
				15					15				15

Ответ: 1; 2;1 .

3)Матричный метод.

	3	2	1
	2	1	2	,
A =
	4	3
			1

x X = y ,z

2 B = 2 .

Прежде всего найдем матрицу, обратную к матрице A. Для этого вычислим алгебраические дополнения:

А		1		2			5,		А				2	2			10,				А			2		1		10,
А		1		2			5,		А				2	2			10,				А			2		1		10,
11		3		1						12			4		1							13		4		3
		3		1									4		1									4		3
				1								3 1													3	2
А			2	1			5,		А			3 1				7,				А					3	2	1,
21			3	1						22		4		1							23				4	3
			3	1								4		1											4	3
				1							3 1												3 2
А	2			1	5,			А			3 1				4,				А				3 2			7.
31		1		2				32			2 2							33					2		1
		1		2							2 2												2		1
Отсюда
									5			5 5									5 5						5
					А	1		1		10		7			4				1			10			7	4			.
					А					10		7			4			15				10			7	4			.
																		15
										10		1			7							10			1	7
										10		1			7							10			1	7

Тогда

						5 5			5	2				5 2 5 ( 2) 5 1
Х А 1 В				1			10	7	4		2		1		10 2 7 ( 2) 4 1
Х А 1 В							10	7	4		2				10 2 7 ( 2) 4 1
			15										15
			15				10	1	7		1		15		10 2 1 ( 2) 7		1
							10	1	7		1				10 2 1 ( 2) 7		1
		15	1									x		1
	1
		30			2	. Таким образом, y								2		, или x = -1,	y = 2,
	15	30			2	. Таким образом, y								2		, или x = -1,	y = 2,
	15	15			1									1
		15			1							z		1

z = 1.

Ответ: 1; 2;1 .

Задание 1.2.2. Найти общее решение и одно из частных решений системы уравнений.

Номер	Система уравнений						Номер	Система уравнений
варианта	Система уравнений						варианта	Система уравнений
варианта							варианта

1					2		3	4

	2x 3y z 0							x 2 y 3z 0
1							7
1	5x y 3z 0						7	2x y z 0
	7x 2 y					2z 0		3x 3y 2z 0

		2x 2 y z 0						x y 2z 0
2				2 y 3z 0			8
2		x		2 y 3z 0			8	2x y 3z 0
		3x 2z				0		x 2 y 5z 0

	x y 2z 0							x 2 y 3z 0
3							9
3	2x 3y 7z 0						9	2x 3y 4z 0
	3x			2 y		9z 0		3x y z 0

	2x 4 y 9z 0							x 2 y 3z 0
4				3y 6z 0			10
4	7x			3y 6z 0			10	2x 5y 4z 0
	5x			7 y 15z 0				3x 7 y 7z 0

		2x y z 0						2x 3y 4z 0
5				3y 2z 0			11
5		x		3y 2z 0			11	x 5y 2z 0
		3x 4 y z 0						3x 2 y 6z 0

		4x 2x x 0						3x y 4z 0
			1		2	3
			1		2	3
6	x1		x2		x3 0		12	2x 4 y 3z 0
	3x x				0			5x 5y z 0
			1	2

Продолжение

1				2			3			4

		3x 2 y 3z 0							x 2 y 3z 0
13						0	22
13		x 5y 3z				0	22		2x y 2z 0
		2x		7 y	6z 0				3x 3y		5z	0

		2x 2 y 3z 0							2x 3y 4z 0
14						0	23			2 y 3z 0
14		x 5y 2z				0	23		x	2 y 3z 0
		3x		3y z		0			3x 5y		7z 0

			2x y 2z 0					3x 4x x 0
									1	2	3
						0			1	2	3	0
15		x 3y 3z				0	24	3x1		5x2	3x3	0
		3x 2 y			z	0		6x		9x	4x	0
									1	2	3
		2x 3y z 0							3x 2 y z 0
16						0	25
16		2x y 4z				0	25		x y 2z 0
		4 y 3z			0				2x y 3z			0

		5x 2 y 2z 0							3x 2 y 4z 0
17						0	26				5z 0
17		3x y 4z				0	26		4x 3y		5z 0
		2x		3y	6z 0				x 5y		9z 0

		3x 7 y z 0						5x 3y 4z 0
18						0	27
18		x 2 y 2z				0	27	3x y 6z 0
		4x		5y	3z 0			2x 4 y 10z 0

		5x 3y z 0							2x y z 0
19					2z 0		28			3y 5z 0
19		2x 5y			2z 0		28		x	3y 5z 0
		3x 8y z				0			3x 4 y		4z 0

		4x y 2z 0							4x 3y z 0
20							29			2 y 2z 0
20		5x 3y 5z 0					29		x	2 y 2z 0
		9x		4 y	7z 0				3x y 3z			0

	2x 3x 11x 0								2x 2 y 3z 0
			1	2		3				2 y 0
21	x1		x2	5x3		0	30		x	2 y 0
	x		2x 6x			0			3x 3z		0
		1		2	3

Примерный вариант

Найти общее решение и одно из частных решений системы

2x 5y z 0,

уравнений: 3x 4 y 2z 0,

x y z 0.

Решение. Выписываем расширенную матрицу системы, переставив в системе последнее уравнение на первое место:

1
1		1	1	0
		5
	2	5	1	0	.
	3	4	2	0

Умножим элементы первой строки на (-2) и прибавим к соответствующим элементам второй строки. Далее умножим первую строку на (-3) и прибавим к соответствующим элементам третьей строки. Получим матрицу:

1
1		1	1	0
		7	1
	0	7	1	0	.
	0	7	1	0

Умножим вторую строку полученной матрицы на (-1) и прибавим к соответствующим элементам третьей строки. Получим матрицу:

Таким образом, получаем систему

x y z 0, 7 y z 0.

Выберем свободное переменное, пусть им будет у. Тогда общее

решение системы имеет вид:

x 6 y, z 7 y,

где у – любое действительное число. Частное решение можно найти, подставив любое конкретное значение значение у. Например, при y 1 получим: x 6, z 7 . Тогда 6, 1, 7 – частное решение системы.

1.3.

Векторная алгебра

Задание 1.3.1. Заданы координаты точек: A, B, C, D.

m , если m AB ; 3) AB CD ; 4) cos B в

Найдите: 1)

; 2)

n AB CD ; 6)

треугольнике ABC;

, если

Прp AB ,

если

p 2BC BD ; 7)

BC BD ; 8)

площадь треугольника

BCD;

9) AB AC AD ; 10) объем пирамиды ABCD.

Номер

Координаты

варианта

точки A

точки B

точки C

точки D

(1; 2; 3)

(-1; 3; 5)

(3; 0;

(-2;2;6)

(2; -3; 0)

(7; 0; 2)

(4;1; 3)

(5; -2; 2)

(-1; 3; -2)

(0; 5; 0)

(1; 6;

(-2; 0; 3)

(3; 5; 1)

(2; 3; 4)

(7; 5;

(-1; 3; 3)

(3; -1; 2)

(5; 0; 4)

(6; 1;

(0; 2; 5)

(0; 2; 3)

(3; 1; 7)

(1; 2;

(-1; 0; 4)

(-2; 3; 1)

(0; 5; 2)

(-1; 6; 0)

(-3; 4; 5)

(1; 0; 5)

(3; 2; 7)

(-2; 4; 5)

(0; 2; 8)

(-5; 0; 1)

(3; -3; 0)

(4; 1;

(2; -2; 3)

(2; -1; 3)

(7; 0; 1)

(-3; 2; 0)

(5; -3; 4)

(1; 0; -1)

(2; -1; 3)

(0; -1; -2)

(1; -2; 3)

(2; -3; 4)

(0; 1; 3)

(5; -1; 1)

(0; -3; 0)

(4; 0; 1)

(3; -1; 0)

(2; -2; 1)

(0; -1; 5)

( 1; 2; 3)

(-1; 3; 4)

(5; 0; 3)

(2; -1; 4)

(1; 0; 3)

(-2; 1; 5)

(3; 2; 6)

(-1; 3; 3)

(0; -1; 4)

(3; 2; 7)

(2; -5; 4)

(1; 2; 5)

(3; 0; -1)

(6; 2; -3)

(4; -1; -5)

(2; 2; -2)

(0; 1; -2)

(2; 4; -3)

(1; 3; -2)

(3; -1; -4)

(-3; 5; 1)

(-1; 7; 6)

(0; 4; 3)

(-2; 1; -1)

				Продолжение

1	2	3	4	5

20	(4; -1; -1)	(7; 0; 3)	(5; -2; 0)	(1; -3; -5)

21	(2; -1; -3)	(4; 0; 2)	(-1; 2; -3)	(5; 1; 0)

22	(3; -1; 2)	(5; 1; 3)	(0; 2; 6)	(7; -1; -2)

23	(1; 2; 2)	(-1; 4; 7)	(3; 0; 3)	(-2; 2; 5)

24	(-2; 0; -1)	(0; 3; 1)	(-4; 2; 0)	(1; 3; -5)

25	(1; -1; 0)	(-2; 3; 1)	(3; -2; 2)	(5; -3; -2)

26	(-3; 0; -1)	(2; -4; -3)	(0; 5; -5)	(-6; 3; 2)

27	(1; -3; 2)	(-2; 0; 4)	(5; -2; 3)	(-1; -4; 4)

28	(5; 0; -1)	(2; -3; 3)	(6; 2; -3)	(4; -2; 2)

29	(-2; 3; 4)	(0; -1; 5)	(-3; 2; 2)	(-4; 0; 6)

30	(3; 1; -2)	(1; 2; -5)	(4; 3; -2)	(2; -3; -1)