Фундаментальное решение уравнений Пуассона и Лапласа

Фундаментальным решением этих уравнений является частное решение, соответствующее распределению скалярного электрического потенциала в бесконечной линейной однородной среде вокруг точечного электрического заряда при открытых граничных условиях φ() = 0:

φ = q/(4πε₀εR),

где R – расстояние между точечным зарядом и точкой наблюдения. Если в расчетной области известно распределение объемных и поверхностных зарядов, а также вектора диэлектрической поляризованности вещества, то распределение скалярного электрического потенциала может быть определено по формуле

φ = (ρ – divP)/(4πε₀R)dV + (σ – DivP)/(4πε₀R)dS (8)

Как правило, при анализе сложных электростатических полей распределение зарядов и поляризованности вещества неизвестно, поэтому прямое применение формулы (8) невозможно. В этом случае формула (8) используется в качестве основы для построения интегральных методов анализа электростатических полей.

Контрольные вопросы

1. Что такое электростатическое поле?

2. Какой вид имеют уравнения электростатики в интегральной и дифференциальной форме?

3. Какими выражениями описываются граничные условия для векторов электростатического поля на поверхностях раздела сред?

4. Какой вид имеет уравнение электростатики относительно скалярного электрического потенциала?

5. Как формулируется краевая задача анализа электростатического поля?

6. Чему равна энергия системы заряженных проводников?

7. Как формулируются следствия из теоремы о единственности решения краевой задачи электростатики относительно скалярного электрического потенциала?

8. Что является фундаментальным решением уравнений Пуассона и Лапласа для электростатического поля?

9. На каком соотношении основываются интегральные методы анализа электростатических полей?

§ 2.2. Электростатические поля простых геометрических форм Поле электрического диполя

Рис. 1.

φ(Q) = φ₊ + φ_- = q/(4πε₀εR₁) – q/(4πε₀εR₂) = q/(4πε₀ε)·(R₂ – R₁)/(R₁ R₂)

Если источником электростатического поля является точечный диполь с электрическим дипольным моментом (рис. 1)

P_э = qh, то h<<R₁, h<<R₂,

R₂R₁ R, R₂ – R₁ = h

R₂ – R₁ = hR/R

В результате получим

φ(Q) = 1/(4πε₀ε)·(qhR)/(R³) = P_э R/(4πε₀εR³) (9)

Зная распределение скалярного электрического потенциала, можно определить распределение вектора напряженности электрического поля

E(Q) = – grad φ(Q)

В выражении (9) от положения точки Q зависят R и R, поэтому для определения градиента выражения (9) можно применить правила дифференцирования из векторного анализа

grad (φ₁φ₂) = φ₁ grad φ₂ + φ₂ grad φ₁

grad (φⁿ) = nφ^{n – 1}gradφ

grad (FG) = (F)G +(G)F +F  rot G + G  rot F

(R) P_э = 0; rot P_э = 0; rot R = 0;

grad (P_эR) = (P_э )R = P_э

Окончательно получим

E(Q) = 1/(4πε₀ε)·(3(P_эR)R /R⁵ + P_э/R³)

или в сферической системе координат

E_R(Q) = 2P_эcos()/(4πε₀εR³)

E_θ(Q) = P_эsin()/(4πε₀εR³)

Можно доказать, что уравнение линий напряженности электрического поля (силовых линий) имеет

R =A sin() (10),

где А – параметр семейства линий; уравнение эквипотенциальных линий

R² =B cos() (11),

где В – параметр семейства линий потенциала.

Чтобы провести через некоторую точку линию напряженности или равнопотенциальную кривую следует подставить в (10) или (11) координаты этой точки и вычислить значение параметра А или В, соответствующее искомой кривой. Затем, задаваясь различными значениями θ, находят значение R искомых точек линии.

Если построить несколько произвольных равнопотенциальных поверхностей и рассечь их различными меридианными плоскостями, то в каждой такой плоскости получится одна и та же картина линий равного потенциала. Такое поле называют плоскомеридианным. В современной литературе такие поля называют «осесимметричными».