Скалярная краевая задача электростатики в пакетах расширения matlab

В системе MATLAB имеются пакеты расширения, предназначенные для решения скалярных краевых задач, основанных на уравнениях вида (4). В практике инженерных расчётов чаще всего решаются двумерные и трёхмерные задачи электростатики. При двумерном моделировании можно рассчитывать плоскопараллельные и осесимметричные поля (поля многопроводных систем: кабельных и воздушных линий и коридоров линий). Двумерный вариант уравнения (4) без учёта векторного поля остаточной поляризованности вещества может решаться средствами PDE Toolbox MATLAB (продукт фирмы MathWorks).

Электростатические задачи могут решаться также в системе конечноэлементных расчётов FEMLAB, которая также представляет собой пакет расширения MATLAB, но не входит в стандартную комплектацию MATLAB и поставляется отдельно. Разработчик этого пакета – шведская фирма Comsol.

Применительно к задачам электростатики FEMLAB отличается от PDE Toolbox тем, что в FEMLAB есть возможность учесть распределение вектора остаточной поляризованности вещества, есть также возможность решать трёхмерные задачи. В системе FEMLAB есть средства расчёта интегральных параметров поля: зарядов, напряжений, энергии поля, ёмкостных коэффициентов и др.

Энергия системы заряженных проводников

Энергия электростатического поля системы заряженных проводников равна

W_эл = 0,5EDdV = – 0,5D grad φdV = – 0,5div (φD)dV + + 0,5φdivD dV = – 0,5φDdS + 0,5φρ dV

φDdS = 0, т.к. с ростом радиуса замкнутой поверхности произведение убывает быстрее, чем растет площадь поверхности (в наихудшем случае произведение φD является бесконечно малой величиной третьего порядка, а площадь поверхности интегрирования – бесконечно большой величиной второго порядка).

W_эл = 0,5φρ dV = 0,5φ_iρdV = 0,5 φ_i q_i (7)

φ_i – потенциал i-го – проводника, q_i – заряд i-го – проводника.

Формула (7) справедлива, если φ() = 0. В противном случае формула (7) справедлива, еслиq_i = 0 (сумма зарядов всех тел системы равна нулю).

Понятие о методе изображений

При анализе электростатических полей обычно требуется определить распределение векторов E, D а также распределение скалярного электрического потенциала, если известны форма и расположение проводников и диэлектриков и неоднородные граничные условия:

а) потенциалы проводников;

б) суммарный заряд каждого проводника, потенциал которого неизвестен.

Решение, удовлетворяющее уравнению (4) и вышеназванным граничным условиям, является единственным.

Из этой теоремы, которую называют теоремой единственности, вытекают два важных следствия.

Следствие 1. Электрическое поле (и соответствующее ему решение) в некотором объеме, ограниченном равнопотенциальными поверхностями, не изменится, если эти поверхности станут проводящими, т.е. превратятся в границы проводников, которым сообщены соответствующие потенциалы.

Следствие 2. Электростатическое поле по одну сторону от поверхности S (не обязательно равнопотенциальной) не изменяется, если по другую сторону этой поверхности изменить параметры среды и распределение зарядов так, чтобы сохранились граничные условия на поверхности S.

Вновь распределенные заряды называются изображениями преобразованных зарядов, а основанный на таком преобразовании метод расчета – методом изображений.

Оба следствия из теоремы о единственности позволяют значительно расширить область применения интегральных форм уравнений электростатики для расчета полей.