§ 1.6. Граничные условия для векторов эмп. Закон сохранения заряда. Теорема Умова-Пойнтинга Граничные условия для векторов эмп

Пусть некоторая поверхность Sразделяет среды 1 и 2 (рис. 2).

Рис. 2.

Рассмотрим некоторую точку на этой поверхности. Вектор единичной нормали к поверхности Sв этой точке направлен из среды 1 в среду 2. Тогда поведение векторовH,B,E,Dв этой точке, в соответствии с уравнениями Максвелла описываются следующим образом

(H₁ – H₂)  n = τ,

где – поверхностная плотность тока, А/м.

Если τ= 0, тоH_1t–H_2t=0.

(E₂ – E₁)  n = (E_2c – E_1c)  n

Если E_2ct – E_1ct = 0, то E_2t – E_1t = 0

(B₂ – B₁)·n = 0, т. е. B_2n – B_1n = 0

(D₂ – D₁)·n = σ или D_2n – D_1n = σ

Здесь обозначено: H₁– вектор напряжённости магнитного поля на поверхности раздела сред в среде №1;H₂– то же в среде №2;H_1t– тангенциальная (касательная) составляющая вектора напряжённости магнитного поля на поверхности раздела сред в среде №1;H_2t– то же в среде №2;E₁вектор полной напряжённости электрического поля на поверхности раздела сред в среде №1;E₂– то же в среде №2;E_1c– сторонняя составляющая вектора напряжённости электрического поля на поверхности раздела сред в среде №1;E_2с– то же в среде №2;E_1t– тангенциальная составляющая вектора напряжённости электрического поля на поверхности раздела сред в среде №1;E_2t– то же в среде №2;E_1сt– тангенциальная сторонняя составляющая вектора напряжённости электрического поля на поверхности раздела сред в среде №1;E_2t– то же в среде №2;B₁– вектор магнитной индукции на поверхности раздела сред в среде №1;B₂– то же в среде №2;B_1n– нормальная составляющая вектора магнитной индукции на поверхности раздела сред в среде №1;B_2n– то же в среде №2;D₁– вектор электрического смещения на поверхности раздела сред в среде №1;D₂– то же в среде №2;D_1n– нормальная составляющая вектора электрического смещения на поверхности раздела сред в среде №1;D_2n– то же в среде №2;σ– поверхностная плотность электрического заряда на границе раздела сред, измеряемая в Кл/м².

Закон сохранения заряда

Если отсутствуют сторонние источники тока, то

rot H = δ_пр +

div(δ_пр+ )=0,

а в общем случае divδ_п = 0, т. е. вектор плотности полного тока не имеет истоков, т. е. линии полного тока всегда замкнуты

divδ_пр=–div = – divD= –

Это и есть закон сохранения заряда в дифференциальной форме

divδ_пр dV = – dV

divδ_пр dV = δ_пр dS =i_пр

dV=

Подставляя, получим i_пр= – .

Это равенство выражает закон сохранения заряда в интегральной форме.

Граничные условия для плотности тока

(δ_п2–δ_п1)n= 0, т. е.δ_п2n – δ_п1n= 0

Нормальная составляющая полной плотности тока всегда непрерывна. Если отсутствуют сторонние источники тока, то

(δ_пр2–δ_пр1)n= – .

Скачок нормальной составляющей плотности тока проводимости на поверхности раздела сред равен скорости изменения поверхностной плотности электрического заряда.

Теорема Умова-Пойнтинга

Объёмная плотность мощности, потребляемой материальной точкой в ЭМП, равна

p = δ_п(E – E_c) + H = (E – E_c)rot H – H rot(E – E_c) = – div((E –E_c)  H) (1)

Электромагнитная мощность, потребляемая внутри объёма Vравна

–div((E – E_c)H)dV = –((E – E_c)  H)dS

Эта мощность поступает в объем Vчерез замкнутую поверхностьSиз окружающего пространства, значит электромагнитная мощность, излучаемая объемомV в окружающее пространство, равно

P_изл = ((E – E_c)H)dS (2)

В соответствии с тождеством (1)

P_изл= ((E –E_c)H)dS= ((E_с –E)δ_п–H )dV= (δ_пE_с–δE)dV–

– δ_пр EdV– (E+H)dV=P_ист–P_т– (3)

Это и есть уравнение баланса мощностей для объема V. В общем случае в соответствии с равенством (3) электромагнитная мощность, генерируемая источниками внутри объемаV, идет на тепловые потери, на накопление энергии ЭМП и на излучение в окружающее пространство через замкнутую поверхность, ограничивающую этот объем.

P_ист=P_т+ +P_изл

Подынтегральное выражение в интеграле (2) называется вектором Пойнтинга:

П = (E – E_c)H,

где Пизмеряется в Вт/м².

Этот вектор равен плотности потока электромагнитной мощности в некоторой точке наблюдения. Равенство (3) – есть математическое выражение теоремы Умова-Пойнтинга.

Электромагнитная мощность, излучаемая областью Vв окружающее пространство равна потоку вектора Пойнтинга через замкнутую поверхностьS, ограничивающую областьV.