3. Векторное произведение

Тройку векторов назовемправой, если определитель

строго больше нуля. Если этот определитель меньше нуля, то тройку векторов назовем левой.

Определение.Векторным произведением вектора на векторназывается вектор, обозначаемыйтакой, что

1) он перпендикулярен плоскости векторов ;

2) длина этого вектора равна площади параллелограмма, построенного на векторах , т.е.

3) тройка векторов правая

Третий пункт в определении векторного произведения можно выразить таким наглядным способом: глядя из конца вектора , вращение откажется происходящим против часовой стрелки.

Если -- вектор силы, а-- вектор, описывающий рычаг, на конец которого действует сила, то векторное произведениедает момент силыaотносительно начала вектора.

Вычисление векторного произведения в координатах.Еслии, то

(2)

Доказательство. Обозначим вектор, стоящий в правой части (2) через и проверим свойства 1)-3) векторного произведения.

Отсюда следует, что . Аналогично,. Далее:

Учитывая, что и синусы таких углов неотрицательны, получаем равенство.

Проверим свойство 3), т.е. правонормированность тройки при условии, что:

Строгость неравенства здесь следует из того, что обе пропорции не могут иметь место, и поэтому одна из скобок не равна нулю.

Следствие.Площадь параллелограмма, построенного на векторахравна

В частности, если -- вектора на плоскости, то

Это можно трактовать как геометрический смысл определителя . Из свойств определителей легко следуют свойства векторного произведения:

ВП1. Билинейность -- и

ВП2. Кососимметичность: для всех векторов

ВП3. .

4. Смешанное произведение

Определение.Смешанным произведением векторовназывается число. Смешанное произведение обозначается как.

Вычисление смешанного произведения в координатах.Если,и, то

Доказательство. Имеем:

Как следствие получаем, что определение правой и левой тройки векторов можно переформулировать так: будет правой тройкой, если; если же, тройка векторовбудет левой.

Свойства смешанного произведения

СП1. Полилинейность, т.е. линейность по каждому аргументу.

СП2. Кососимметичность: -- при перестановке любых двух векторов смешанное произведение меняет знак.

СП3. .

Геометрический смысл смешанного произведения и определителя третьего порядка: смешанное произведениеравно объему параллелепипеда, построенного на векторах, если тройкаправая и равно этому объему со знаком минус, если тройкалевая.

Доказательство. Пусть тройка правая и-- объем параллелепипеда, построенного на векторах. Тогда

Здесь -- угол между вектором и векторным произведением. Если тройка левая, то векторное произведение направлено вниз (см. рис. 5) и в выкладки выше надо подставлятьвместо, что приводит к знаку минус.□