3. Разложение по стандартному базису

Рассмотрим в пространстве декартову систему координат . Обозначим через вектора единичной длины, направленные по осямсоответственно. Эту упорядоченную тройку векторов называютсястандартным базисом(см. рис.). Этот набор векторов ортонормирован в том смысле, что

Стандартный базис на плоскости состоит из двух векторов .

Теорема.Для любого вектора существуют единственный набор чиселназываемый координатами вектора относительно стандартного базиса и такой, что

Доказательство. Сначала заметим, что если-- параллелепипед с основанием, то

Итак, пусть нам дан произвольный вектор реализованный в начале координат. Опустим перпендикуляры из конца вектора, точкина оси. Получим точкисоотвественно. Достроим пирамидудо прямоугольного параллелепипедаи применим соотношение (8):. Так как, то для подходящего и единственным образом определенного числа(см. замечание после определения произведения вектора на число). Аналогично, и. Собирая все вместе, получаем (7)□

В координатах арифметические операции над векторами выражаются следующим образом. Пусть вектораимеют координатыисоответственно. Тогда координаты векторовибудут

соответственно.

Вектор можно проектировать на плоскость и прямую. Пусть заданы вектор и прямая или плоскостьПроекции точекнаобозначим. Тогда векторназовемпроекцией вектора на прямую (плоскость). Это определение корректно, т.е. результат не зависит от реализации вектора.Более того, проекция обладает свойством линейности:

Теорема.Пустьи известны координаты точеки–исоответственно. Тогда

Доказательство. Имеет место равенство .Из определения координат вектора вытекает, что координаты вектора, реализованного в начале координат, совпадают с координатами концевой точки. Следовательно,

Аналогично доказываются оставшиеся два равенства. □

4. Орт и направляющие косинусы

Длина вектора выражается через его координаты следующим образом

Эта формула есть простое следствие теоремы Пифагора.

Пусть - углы, которые образует ненулевой векторс осямисоответственно. Тогданазовемнаправляющими косинусами вектора.

Вектор, сонаправленный с ненулевым вектором , и имеющий единичную длину, назовемортоми обозначим.

Нетрудно видеть, что, если -- ненулевой вектор, то координаты ортаимеют вид, причем они совпадают с направляющими косинусами вектора:

Зная длину и направляющие косинусы, можно найти координаты вектора по формулам

2. Скалярное произведение геометрических векторов

Скалярным произведением векторовназывается произведение длин этих векторов на косинус угла между ними:

Если один из векторов нулевой, то и скалярное произведение равно 0.

Это произведение называется скалярным, поскольку двум векторам сопоставляется число -- скалярная величина. Отметим свойства скалярного произведения. Сразу из определения следует симметричность: скалярное произведение не зависит от порядка сомножителей: .

Скалярным квадратом называется скалярное произведение вектора на самого себя: . Имеет место положительная определенность и невырожденность скалярного произведения: если, то.

В частности, длина вектора выражается через скалярное произведение следующим образом:

Угол между ненулевыми векторами также выражается через скалярное произведение, ибо

Если векторы ортогональны, т. е. лежат на перпендикулярных прямых, то скалярное произведение равно нулю. Очевидно, верно и обратное утверждение. Таким образом, мы получаем критерий ортогональности:

В частности, имеет место ортонормированность стандартного базиса:

Для доказательства следующего свойства реализуем вектора в одной точке O, и прямую ℓ, на которой лежит вектор, превратим в ось Ox, выбрав положительное направление по вектору. Будем обозначатькоординаты векторовна оси Ox. Тогда

Мы применили формулу (14) предыдущего параграфа, а также применили правило покоординатного сложения векторов. Итак, мы доказали билинейность:

Действительно, равенство верно в силу симметричности скалярного произведения, а равенстводоказывается, как и выше:

Вычисление скалярного произведения в координатах. Еслии, то

Доказательство. Применяем билинейность и учитываем (4).

Следствие.Если вектораненулевые, то

В частности, вектора ортогональны тогда и только тогда, когда